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1. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ A=108°$, $BE$平分$∠ ABC$交$AD$于点$E$,则$∠ BED=\_\_\_\_\_\_$.
答案
1. 144°
解析
【分析】
解题时先从平行四边形的性质入手：①平行四边形邻角互补，可由已知∠A的度数求出∠ABC的度数；②再结合角平分线的定义，算出∠EBC的度数；③最后利用平行四边形对边平行的性质，根据两直线平行同旁内角互补，即可求出∠BED的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD//BC，∠A + ∠ABC = 180°
∵ ∠A = 108°
∴ ∠ABC = 180° - 108° = 72°
∵ BE平分∠ABC
∴ ∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×72° = 36°
又
∵ AD//BC
∴ ∠BED + ∠EBC = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴ ∠BED = 180° - 36° = 144°
【答案】
144°
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考查平行四边形性质与角平分线、平行线性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握相关几何图形的基础性质，准确梳理角与角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
解题时先从平行四边形的性质入手：①平行四边形邻角互补，可由已知∠A的度数求出∠ABC的度数；②再结合角平分线的定义，算出∠EBC的度数；③最后利用平行四边形对边平行的性质，根据两直线平行同旁内角互补，即可求出∠BED的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD//BC，∠A + ∠ABC = 180°
∵ ∠A = 108°
∴ ∠ABC = 180° - 108° = 72°
∵ BE平分∠ABC
∴ ∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×72° = 36°
又
∵ AD//BC
∴ ∠BED + ∠EBC = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴ ∠BED = 180° - 36° = 144°
【答案】
144°
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考查平行四边形性质与角平分线、平行线性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握相关几何图形的基础性质，准确梳理角与角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
2. 有下列图形：① 线段；② 等边三角形；③ 平行四边形；④ 矩形；B C
⑤ 正方形.其中是轴对称图形的是
⑤ 正方形.其中是轴对称图形的是
①②④⑤
.(填序号)答案
2. ①②④⑤
解析
【分析】
解题时首先要明确轴对称图形的定义：沿某一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。接下来我们只需按照这个定义，逐个判断给出的5种图形是否符合要求即可，注意不要混淆轴对称和中心对称的特点，尤其要注意平行四边形的对称性判断。
【解析】
首先回忆轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形。
逐个分析各图形：
①线段：沿线段的垂直平分线或线段本身所在直线对折，直线两旁的部分可完全重合，是轴对称图形；
②等边三角形：沿任意一条边上的高所在的直线对折，直线两旁的部分可完全重合，是轴对称图形；
③平行四边形：无论沿哪条直线对折，都无法使直线两旁的部分完全重合，不属于轴对称图形；
④矩形：沿两组对边中点的连线所在直线对折，直线两旁的部分可完全重合，是轴对称图形；
⑤正方形：沿对边中点连线或对角线所在直线对折，直线两旁的部分都可完全重合，是轴对称图形。
综上，是轴对称图形的为①②④⑤。
【答案】
①②④⑤
【知识点】
轴对称图形的判定；常见平面图形的对称性
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对轴对称图形定义的理解和应用，解题时要注意区分轴对称图形与中心对称图形，避免误将平行四边形判定为轴对称图形。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确轴对称图形的定义：沿某一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。接下来我们只需按照这个定义，逐个判断给出的5种图形是否符合要求即可，注意不要混淆轴对称和中心对称的特点，尤其要注意平行四边形的对称性判断。
【解析】
首先回忆轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形。
逐个分析各图形：
①线段：沿线段的垂直平分线或线段本身所在直线对折，直线两旁的部分可完全重合，是轴对称图形；
②等边三角形：沿任意一条边上的高所在的直线对折，直线两旁的部分可完全重合，是轴对称图形；
③平行四边形：无论沿哪条直线对折，都无法使直线两旁的部分完全重合，不属于轴对称图形；
④矩形：沿两组对边中点的连线所在直线对折，直线两旁的部分可完全重合，是轴对称图形；
⑤正方形：沿对边中点连线或对角线所在直线对折，直线两旁的部分都可完全重合，是轴对称图形。
综上，是轴对称图形的为①②④⑤。
【答案】
①②④⑤
【知识点】
轴对称图形的判定；常见平面图形的对称性
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对轴对称图形定义的理解和应用，解题时要注意区分轴对称图形与中心对称图形，避免误将平行四边形判定为轴对称图形。
【难度系数】
0.8
3. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端.小明想测量A，B间的距离，但A，B两点无法直接到达，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达点A，B的点C，分别找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为15 m，则可得到A，B两点间的距离为
30
m.答案
3. 30
解析
【分析】
要测量无法直接到达的A、B两点的距离，可借助三角形中位线的性质求解。首先观察到D、E分别是AC、BC的中点，因此DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，中位线的长度等于第三边长度的一半，已知DE的长度，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵D是AC的中点，E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$\boldsymbol{DE=\frac{1}{2}AB}$，
已知$DE=15\ \mathrm{m}$，
∴$AB=2DE=2×15=30\ \mathrm{m}$。
【答案】
30
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题是三角形中位线定理在实际测量场景中的典型应用，解题关键是准确识别图形中的中位线，利用中位线和第三边的数量关系即可快速求出不可直接测量的距离。
【难度系数】
0.85
要测量无法直接到达的A、B两点的距离，可借助三角形中位线的性质求解。首先观察到D、E分别是AC、BC的中点，因此DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，中位线的长度等于第三边长度的一半，已知DE的长度，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵D是AC的中点，E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$\boldsymbol{DE=\frac{1}{2}AB}$，
已知$DE=15\ \mathrm{m}$，
∴$AB=2DE=2×15=30\ \mathrm{m}$。
【答案】
30
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题是三角形中位线定理在实际测量场景中的典型应用，解题关键是准确识别图形中的中位线，利用中位线和第三边的数量关系即可快速求出不可直接测量的距离。
【难度系数】
0.85
4. 如图,在菱形ABCD中,AC=6, BD=8, P是边BC上的一动点,则AP的最小值为
4.8
.答案
4. 4.8
解析
【分析】
根据垂线段最短可知，当AP垂直于BC时，AP的长度最小。解题时先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长；再分别用“对角线乘积的一半”和“底×高”两种方法表示菱形的面积，建立等式即可求出AP的最小值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴菱形对角线互相垂直平分，
∴两条对角线的一半长度分别为$6÷2=3$，$8÷2=4$，
由勾股定理可得菱形的边长$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
菱形的面积$S=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×6×8=24$，
根据垂线段最短，当$AP⊥ BC$时，AP的长度最小，此时菱形面积也可表示为$S=BC× AP$，
代入数据得$24=5× AP$，
解得$AP=24÷5=4.8$。
【答案】
4.8
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题综合考查了菱形的性质、垂线段最短的应用，利用面积法建立等式求高是解题的关键，是几何中较为常见的综合小题。
【难度系数】
0.7
根据垂线段最短可知，当AP垂直于BC时，AP的长度最小。解题时先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长；再分别用“对角线乘积的一半”和“底×高”两种方法表示菱形的面积，建立等式即可求出AP的最小值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴菱形对角线互相垂直平分，
∴两条对角线的一半长度分别为$6÷2=3$，$8÷2=4$，
由勾股定理可得菱形的边长$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
菱形的面积$S=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×6×8=24$，
根据垂线段最短，当$AP⊥ BC$时，AP的长度最小，此时菱形面积也可表示为$S=BC× AP$，
代入数据得$24=5× AP$，
解得$AP=24÷5=4.8$。
【答案】
4.8
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题综合考查了菱形的性质、垂线段最短的应用，利用面积法建立等式求高是解题的关键，是几何中较为常见的综合小题。
【难度系数】
0.7
5. 如图,正方形ABCD的边长为6,点E在正方形ABCD内,若$S_{△ BED}=12$,点F,G分别在边BC,DC上,且四边形EFCG为正方形,则$DG=$
5
.答案
5. 5
解析
【分析】
要求DG的长度，已知正方形ABCD边长为6，DG=DC-CG，因此只需先求出小正方形EFCG的边长即可。首先先计算△BCD的面积，结合已知的△BED的面积，可得到△BCE与△DCE的面积和；△BCE以BC为底时高等于小正方形的边长，△DCE以DC为底时高也等于小正方形的边长，据此列方程即可求出小正方形边长，进而得到DG的长度。
【解析】
∵ 正方形ABCD的边长为6
∴ BC=DC=6，$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × BC × DC=\frac{1}{2} × 6 × 6=18$
已知$S_{△ BED}=12$，则$S_{△ BCE}+S_{△ DCE}=S_{△ BCD}-S_{△ BED}=18-12=6$
设正方形EFCG的边长为$x$，则$EF ⊥ BC$，$EG ⊥ DC$，$EF=EG=x$
∴ $S_{△ BCE}=\frac{1}{2} × BC × EF=\frac{1}{2} × 6 × x=3x$
$S_{△ DCE}=\frac{1}{2} × DC × EG=\frac{1}{2} × 6 × x=3x$
可得方程：$3x+3x=6$，解得$x=1$
即小正方形边长$CG=1$，因此$DG=DC-CG=6-1=5$
【答案】
5
【知识点】
正方形的性质，三角形面积计算，和差法求面积
【点评】
本题是典型的几何面积计算题型，解题核心是利用面积的和差关系建立等量关系，再结合正方形的性质列方程求解，熟练掌握面积和差法就能快速完成解答。
【难度系数】
0.65
要求DG的长度，已知正方形ABCD边长为6，DG=DC-CG，因此只需先求出小正方形EFCG的边长即可。首先先计算△BCD的面积，结合已知的△BED的面积，可得到△BCE与△DCE的面积和；△BCE以BC为底时高等于小正方形的边长，△DCE以DC为底时高也等于小正方形的边长，据此列方程即可求出小正方形边长，进而得到DG的长度。
【解析】
∵ 正方形ABCD的边长为6
∴ BC=DC=6，$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × BC × DC=\frac{1}{2} × 6 × 6=18$
已知$S_{△ BED}=12$，则$S_{△ BCE}+S_{△ DCE}=S_{△ BCD}-S_{△ BED}=18-12=6$
设正方形EFCG的边长为$x$，则$EF ⊥ BC$，$EG ⊥ DC$，$EF=EG=x$
∴ $S_{△ BCE}=\frac{1}{2} × BC × EF=\frac{1}{2} × 6 × x=3x$
$S_{△ DCE}=\frac{1}{2} × DC × EG=\frac{1}{2} × 6 × x=3x$
可得方程：$3x+3x=6$，解得$x=1$
即小正方形边长$CG=1$，因此$DG=DC-CG=6-1=5$
【答案】
5
【知识点】
正方形的性质，三角形面积计算，和差法求面积
【点评】
本题是典型的几何面积计算题型，解题核心是利用面积的和差关系建立等量关系，再结合正方形的性质列方程求解，熟练掌握面积和差法就能快速完成解答。
【难度系数】
0.65
6. 直角三角形的两条直角边边长分别为12和5，则该直角三角形斜边上的中线长是(
A.26
B.13
C.30
D.6.5
D
).A.26
B.13
C.30
D.6.5
答案
6. D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分两步思考：首先，题目给出直角三角形的两条直角边长度，我们可以先用勾股定理求出斜边的长度；其次，根据直角三角形的重要性质：斜边上的中线等于斜边的一半，就可以直接算出斜边上的中线长度，对应选出正确选项即可。
【解析】
第一步：利用勾股定理计算斜边长度。
设直角三角形的两条直角边为$a=12$，$b=5$，斜边为$c$，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，代入数值得：
$c^2=12^2+5^2=144+25=169$，因为边长为正数，所以$c=\sqrt{169}=13$。
第二步：根据直角三角形斜边中线的性质计算中线长。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此斜边上的中线长为$\frac{1}{2}c=\frac{1}{2}×13=6.5$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础常规题，考察两个基础几何性质的综合应用，只要熟练掌握相关定理，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以分两步思考：首先，题目给出直角三角形的两条直角边长度，我们可以先用勾股定理求出斜边的长度；其次，根据直角三角形的重要性质：斜边上的中线等于斜边的一半，就可以直接算出斜边上的中线长度，对应选出正确选项即可。
【解析】
第一步：利用勾股定理计算斜边长度。
设直角三角形的两条直角边为$a=12$，$b=5$，斜边为$c$，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，代入数值得：
$c^2=12^2+5^2=144+25=169$，因为边长为正数，所以$c=\sqrt{169}=13$。
第二步：根据直角三角形斜边中线的性质计算中线长。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此斜边上的中线长为$\frac{1}{2}c=\frac{1}{2}×13=6.5$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础常规题，考察两个基础几何性质的综合应用，只要熟练掌握相关定理，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.8
7. 下列说法正确的是(
A.两组对角分别相等的四边形是矩形
B.有两个角是直角的四边形是矩形
C.有一个角是直角的平行四边形是矩形
D.有一个角是直角,且一组对边相等的四边形是矩形
C
).A.两组对角分别相等的四边形是矩形
B.有两个角是直角的四边形是矩形
C.有一个角是直角的平行四边形是矩形
D.有一个角是直角,且一组对边相等的四边形是矩形
答案
7. C
解析
【分析】
本题考查矩形的判定相关知识，解题思路如下：首先回忆矩形的定义与判定定理，明确矩形判定的核心要求：要么是“含直角的平行四边形”，要么是“三个内角为直角的四边形”；再逐一分析每个选项，结合反例排除不符合判定要求的错误选项，最终锁定正确答案。
【解析】
先明确矩形的常用判定方法：①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形。
对各选项逐一分析：
A选项：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形（如菱形属于平行四边形，两组对角相等但不是矩形），故A错误；
B选项：有两个角是直角的四边形不一定是矩形，如直角梯形有两个内角是直角，属于梯形不是矩形，故B错误；
C选项：表述完全符合矩形的定义，即有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C正确；
D选项：可举反例：直角梯形有一个角是直角，也可满足一组对边相等，但它不是矩形，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定、平行四边形的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是熟练掌握矩形的判定定理，同时要能结合常见的特殊四边形（如梯形、菱形等）举反例，排除错误选项，注意区分平行四边形和矩形判定条件的差异。
【难度系数】
0.8
本题考查矩形的判定相关知识，解题思路如下：首先回忆矩形的定义与判定定理，明确矩形判定的核心要求：要么是“含直角的平行四边形”，要么是“三个内角为直角的四边形”；再逐一分析每个选项，结合反例排除不符合判定要求的错误选项，最终锁定正确答案。
【解析】
先明确矩形的常用判定方法：①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形。
对各选项逐一分析：
A选项：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形（如菱形属于平行四边形，两组对角相等但不是矩形），故A错误；
B选项：有两个角是直角的四边形不一定是矩形，如直角梯形有两个内角是直角，属于梯形不是矩形，故B错误；
C选项：表述完全符合矩形的定义，即有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C正确；
D选项：可举反例：直角梯形有一个角是直角，也可满足一组对边相等，但它不是矩形，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定、平行四边形的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是熟练掌握矩形的判定定理，同时要能结合常见的特殊四边形（如梯形、菱形等）举反例，排除错误选项，注意区分平行四边形和矩形判定条件的差异。
【难度系数】
0.8
