14. 如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=3 cm,边AB上有一个动点P从点B出发向点A移动,速度为2 cm/s,且移动到点A时停止.设点P移动的时间为t s,移动中形成的$△ ADP$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$.
(1) 当$t=2$时,$△ ADP$的面积为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$;
(2) 请用含$t$的式子表示$S$.

14. (1) 12
(2) $S=-3t+18(0 ≤ t ≤ 6)$

【分析】
本题是矩形中的动点面积问题，解题思路如下：首先根据矩形的性质可知△ADP是直角三角形，AD的长度等于BC固定为3cm，只需用动点的运动时间表示出直角边AP的长度，再结合直角三角形面积公式即可求解。（1）问直接代入t=2算出AP长度，再计算面积；（2）问将AP用含t的代数式表示，代入面积公式化简，同时结合P的运动范围确定t的取值范围。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD=BC=3cm。
点P的运动速度为2cm/s，运动时间为t s，因此PB=2t cm，AP=AB-PB=(12-2t) cm。
点P从B到A的总运动时间为$12÷2=6\ \mathrm{s}$，故t的取值范围是$0≤t≤6$。
(1) 当$t=2$时，$AP=12-2×2=8\ \mathrm{cm}$，
△ADP的面积$S=\frac{1}{2}×AP×AD=\frac{1}{2}×8×3=12\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 把$AP=(12-2t)\ \mathrm{cm}$代入面积公式：
$S=\frac{1}{2}×(12-2t)×3=3×(6-t)=-3t+18$，
结合t的取值范围，得$S=-3t+18(0 ≤ t ≤ 6)$。
【答案】
(1) 12
(2) $S=-3t+18(0 ≤ t ≤ 6)$
【知识点】
矩形的性质，三角形面积计算，动点函数关系式
【点评】
本题属于基础的动点几何问题，核心是将动点的运动时间转化为对应线段的长度，结合几何图形的面积公式建立关系式，求解时要注意结合实际运动情况确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8

15. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC，BD相交于点O，$AE ⊥ BD$于点E，且$BE:ED=1:3$，$AB=6\ \mathrm{cm}$，则AC的长为多少？

15. 12 cm

【分析】
解题时先从矩形的性质入手，矩形的对角线相等且互相平分，因此可得OA=OB。结合已知的BE:ED=1:3，设参数表示各线段长度后可推得BE=OE，再结合AE⊥BD的条件，可知AE是OB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得OA=AB，最后结合AC=2OA即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，且$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$（矩形的对角线相等且互相平分）
∴OA=OB
设$BE=x\ \mathrm{cm}$，由$BE:ED=1:3$可得$ED=3x\ \mathrm{cm}$
∴$BD=BE+ED=4x\ \mathrm{cm}$
∴$OB=\frac{1}{2}BD=2x\ \mathrm{cm}$
∴$OE=OB-BE=2x - x = x\ \mathrm{cm}$，即$BE=OE$
又
∵$AE⊥ BD$
∴AE是线段OB的垂直平分线
∴$OA=AB=6\ \mathrm{cm}$
∴$AC=2OA=2×6=12\ \mathrm{cm}$
【答案】
12 cm
【知识点】
矩形的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是通过线段比例关系推出BE=OE，进而结合垂直条件得到OA与AB的等量关系，考查学生对矩形性质、垂直平分线性质的运用能力，是矩形相关的典型常考题。
【难度系数】
0.7