登录
12. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ BAD$，$∠ ADC$的平分线$AF$，$DE$分别与线段$BC$交于点$F$，$E$，$AF$与$DE$交于点$G$.求证：
(1) $AF ⊥ DE$；
(2) $BF=CE$.
(1) $AF ⊥ DE$；
(2) $BF=CE$.
答案
12. (1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形, $\therefore AB // DC. \therefore ∠ DAB + ∠ ADC = 180°$.
$\because ∠ DAG=\frac{1}{2} ∠ DAB, ∠ ADG = \frac{1}{2} ∠ ADC, \therefore ∠ DAG + ∠ ADG = \frac{1}{2} (∠ DAB + ∠ ADC)=90°. \therefore ∠ AGD = 90°,$ 即 $AF ⊥ DE$
(2) $\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形, $\therefore AD// BC. \therefore ∠ DAF=∠ AFB.$ 又$\because ∠ BAF=∠ DAF, \therefore ∠ AFB=∠ BAF. \therefore AB=BF.$同理,$CD=CE. \because AB=CD, \therefore BF=CE$
$\because ∠ DAG=\frac{1}{2} ∠ DAB, ∠ ADG = \frac{1}{2} ∠ ADC, \therefore ∠ DAG + ∠ ADG = \frac{1}{2} (∠ DAB + ∠ ADC)=90°. \therefore ∠ AGD = 90°,$ 即 $AF ⊥ DE$
(2) $\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形, $\therefore AD// BC. \therefore ∠ DAF=∠ AFB.$ 又$\because ∠ BAF=∠ DAF, \therefore ∠ AFB=∠ BAF. \therefore AB=BF.$同理,$CD=CE. \because AB=CD, \therefore BF=CE$
解析
【分析】
(1) 要证$AF⊥DE$，即需证两条直线的夹角为$90°$。首先利用平行四边形邻角互补的性质得到$∠ DAB+∠ ADC=180°$，再结合角平分线的定义，可推出两个半角之和为$90°$，最后根据三角形内角和即可得到$∠ AGD=90°$，完成垂直的证明。
(2) 要证$BF=CE$，可通过等量代换证明两条线段都等于平行四边形的对边。首先利用平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，结合角平分线定义可推出$△ ABF$和$△ DCE$均为等腰三角形，得到$BF=AB$、$CE=CD$，再利用平行四边形对边相等的性质，即可推导出$BF=CE$。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AB // DC$，
$\therefore ∠ DAB + ∠ ADC = 180°$。
$\because AF$平分$∠ BAD$，$DE$平分$∠ ADC$，
$\therefore ∠ DAG=\frac{1}{2} ∠ DAB$，$∠ ADG = \frac{1}{2} ∠ ADC$，
$\therefore ∠ DAG + ∠ ADG = \frac{1}{2} (∠ DAB + ∠ ADC)=\frac{1}{2}×180°=90°$。
在$△ AGD$中，$∠ AGD=180°-(∠ DAG + ∠ ADG)=90°$，即 $AF ⊥ DE$。
(2) 证明：
$\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AD // BC$，$AB=CD$，
$\therefore ∠ DAF=∠ AFB$。
又$\because ∠ BAF=∠ DAF$，
$\therefore ∠ AFB=∠ BAF$，
$\therefore AB=BF$。
同理可证$CD=CE$。
$\because AB=CD$，
$\therefore BF=CE$。
【答案】
(1) $AF ⊥ DE$成立；
(2) $BF=CE$成立。
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形的基础综合题，解题时需结合平行四边形的角、边性质，配合角平分线的定义推导角度相等关系，进而得到垂直结论和等腰三角形，最终完成边相等的证明，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.75
(1) 要证$AF⊥DE$，即需证两条直线的夹角为$90°$。首先利用平行四边形邻角互补的性质得到$∠ DAB+∠ ADC=180°$，再结合角平分线的定义，可推出两个半角之和为$90°$，最后根据三角形内角和即可得到$∠ AGD=90°$，完成垂直的证明。
(2) 要证$BF=CE$，可通过等量代换证明两条线段都等于平行四边形的对边。首先利用平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，结合角平分线定义可推出$△ ABF$和$△ DCE$均为等腰三角形，得到$BF=AB$、$CE=CD$，再利用平行四边形对边相等的性质，即可推导出$BF=CE$。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AB // DC$，
$\therefore ∠ DAB + ∠ ADC = 180°$。
$\because AF$平分$∠ BAD$，$DE$平分$∠ ADC$，
$\therefore ∠ DAG=\frac{1}{2} ∠ DAB$，$∠ ADG = \frac{1}{2} ∠ ADC$，
$\therefore ∠ DAG + ∠ ADG = \frac{1}{2} (∠ DAB + ∠ ADC)=\frac{1}{2}×180°=90°$。
在$△ AGD$中，$∠ AGD=180°-(∠ DAG + ∠ ADG)=90°$，即 $AF ⊥ DE$。
(2) 证明：
$\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AD // BC$，$AB=CD$，
$\therefore ∠ DAF=∠ AFB$。
又$\because ∠ BAF=∠ DAF$，
$\therefore ∠ AFB=∠ BAF$，
$\therefore AB=BF$。
同理可证$CD=CE$。
$\because AB=CD$，
$\therefore BF=CE$。
【答案】
(1) $AF ⊥ DE$成立；
(2) $BF=CE$成立。
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形的基础综合题，解题时需结合平行四边形的角、边性质，配合角平分线的定义推导角度相等关系，进而得到垂直结论和等腰三角形，最终完成边相等的证明，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.75
13. 如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,点$E$,$F$在$AC$上,点$G$,$H$在$BD$上,且$AE=CF$,$BG=DH$.
(1) 若$AC=AD$,$∠ CAD=70°$,试求$∠ ABC$的度数;
(2) 求证:四边形$EGFH$是平行四边形.
(1) 若$AC=AD$,$∠ CAD=70°$,试求$∠ ABC$的度数;
(2) 求证:四边形$EGFH$是平行四边形.
答案
13. (1) $55°$
(2) 提示：证明 $OE=OF$，$OG=OH. \therefore$ 四边形 $EGFH$ 是平行四边形
(2) 提示：证明 $OE=OF$，$OG=OH. \therefore$ 四边形 $EGFH$ 是平行四边形
解析
【分析】
（1）先利用等腰三角形两底角相等的性质，求出△ACD中∠ADC的度数，再根据平行四边形对角相等的性质，即可得到∠ABC的度数。
（2）要证明四边形EGFH是平行四边形，可选用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理：先根据平行四边形对角线互相平分得到OA=OC、OB=OD，结合已知AE=CF、BG=DH，通过线段和差推导得出OE=OF、OG=OH，即可得证。
【解析】
（1）解：
∵$AC=AD$，
∴$△ ACD$是等腰三角形
∵$∠CAD=70°$，
∴$∠ADC=\frac{180°-∠CAD}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$
∵四边形$ABCD$是平行四边形，平行四边形对角相等
∴$∠ABC=∠ADC=55°$
（2）证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，对角线$AC$、$BD$交于点$O$
∴$OA=OC$，$OB=OD$（平行四边形的对角线互相平分）
∵$AE=CF$，
∴$OA-AE=OC-CF$，即$OE=OF$
∵$BG=DH$，
∴$OB-BG=OD-DH$，即$OG=OH$
∴四边形$EGFH$的对角线互相平分，因此四边形$EGFH$是平行四边形。
【答案】
（1）$\boxed{55°}$；（2）四边形$EGFH$是平行四边形，证明如上。
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形相关的基础综合题，第一小问结合等腰三角形性质求角度，难度较低；第二小问通过证明对角线互相平分来判定平行四边形，解题的核心是熟练运用平行四边形的性质与判定定理。
【难度系数】
0.7
（1）先利用等腰三角形两底角相等的性质，求出△ACD中∠ADC的度数，再根据平行四边形对角相等的性质，即可得到∠ABC的度数。
（2）要证明四边形EGFH是平行四边形，可选用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理：先根据平行四边形对角线互相平分得到OA=OC、OB=OD，结合已知AE=CF、BG=DH，通过线段和差推导得出OE=OF、OG=OH，即可得证。
【解析】
（1）解：
∵$AC=AD$，
∴$△ ACD$是等腰三角形
∵$∠CAD=70°$，
∴$∠ADC=\frac{180°-∠CAD}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$
∵四边形$ABCD$是平行四边形，平行四边形对角相等
∴$∠ABC=∠ADC=55°$
（2）证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，对角线$AC$、$BD$交于点$O$
∴$OA=OC$，$OB=OD$（平行四边形的对角线互相平分）
∵$AE=CF$，
∴$OA-AE=OC-CF$，即$OE=OF$
∵$BG=DH$，
∴$OB-BG=OD-DH$，即$OG=OH$
∴四边形$EGFH$的对角线互相平分，因此四边形$EGFH$是平行四边形。
【答案】
（1）$\boxed{55°}$；（2）四边形$EGFH$是平行四边形，证明如上。
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形相关的基础综合题，第一小问结合等腰三角形性质求角度，难度较低；第二小问通过证明对角线互相平分来判定平行四边形，解题的核心是熟练运用平行四边形的性质与判定定理。
【难度系数】
0.7
