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1 如图，$AB// CD$，则下列结论一定正确的是 （
A.$∠ 1=∠ 2$
B.$∠ 2=∠ 3$
C.$∠ 1=∠ 4$
D.$∠ 3=∠ 4$
C
）A.$∠ 1=∠ 2$
B.$∠ 2=∠ 3$
C.$∠ 1=∠ 4$
D.$∠ 3=∠ 4$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时先运用平行线的性质：两直线平行，内错角相等。首先明确已知平行的直线是AB和CD，再找两条平行线被截线AC所截形成的对应角，逐一判断各选项的角是否符合平行线的性质推导关系，其余选项涉及的角对应的平行关系题目未给出，无法推导相等。
【解析】
根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等。
已知$AB// CD$，直线AC为截线，$∠ 1$和$∠ 4$是AB、CD被AC所截形成的内错角，因此$∠ 1=∠ 4$，C选项正确。
其余选项分析：
A选项：$∠ 1$和$∠ 2$是AD、BC被AC所截的内错角，仅当$AD// BC$时相等，题目未给出该条件，错误；
B选项：$∠ 2$和$∠ 3$是AD、BC被AC所截的内错角，仅当$AD// BC$时相等，无推导依据，错误；
D选项：$∠ 3$和$∠ 4$无对应的平行推导关系，无法判断相等，错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；内错角的识别
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题，解题核心是准确识别平行直线与截线对应的角，避免混淆不同组平行线对应的角关系。
【难度系数】
0.8
解题时先运用平行线的性质：两直线平行，内错角相等。首先明确已知平行的直线是AB和CD，再找两条平行线被截线AC所截形成的对应角，逐一判断各选项的角是否符合平行线的性质推导关系，其余选项涉及的角对应的平行关系题目未给出，无法推导相等。
【解析】
根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等。
已知$AB// CD$，直线AC为截线，$∠ 1$和$∠ 4$是AB、CD被AC所截形成的内错角，因此$∠ 1=∠ 4$，C选项正确。
其余选项分析：
A选项：$∠ 1$和$∠ 2$是AD、BC被AC所截的内错角，仅当$AD// BC$时相等，题目未给出该条件，错误；
B选项：$∠ 2$和$∠ 3$是AD、BC被AC所截的内错角，仅当$AD// BC$时相等，无推导依据，错误；
D选项：$∠ 3$和$∠ 4$无对应的平行推导关系，无法判断相等，错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；内错角的识别
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题，解题核心是准确识别平行直线与截线对应的角，避免混淆不同组平行线对应的角关系。
【难度系数】
0.8
2 新情境 生活实际 [2024 福建]在同一平面内,将直尺、含$30°$角的三角尺和木工角尺$(CD ⊥ DE)$按如图所示的方式摆放.若$AB // CD$,则$∠ 1$的度数为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
A
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先明确含30°角的三角尺的锐角度数，再利用平行线的性质得到同位角相等，接着结合木工角尺垂直的条件得到直角，最后根据平角的度数为180°，通过角的和差计算即可求出∠1的度数。
【解析】
∵ 三角尺是含30°角的直角三角尺，
∴ ∠ABD = 60°，
∵ AB // CD，根据两直线平行，同位角相等，
∴ ∠CDB = ∠ABD = 60°，
∵ CD ⊥ DE，
∴ ∠CDE = 90°，
又
∵ 点B、D在同一条水平直线上，∠CDB + ∠CDE + ∠1 = 180°，
∴ ∠1 = 180° - 60° - 90° = 30°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；垂直的定义；角的和差计算
【点评】
本题结合生活中常见工具的摆放场景考查几何基础知识，解题的核心是准确梳理不同角之间的位置与数量关系，属于对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先明确含30°角的三角尺的锐角度数，再利用平行线的性质得到同位角相等，接着结合木工角尺垂直的条件得到直角，最后根据平角的度数为180°，通过角的和差计算即可求出∠1的度数。
【解析】
∵ 三角尺是含30°角的直角三角尺，
∴ ∠ABD = 60°，
∵ AB // CD，根据两直线平行，同位角相等，
∴ ∠CDB = ∠ABD = 60°，
∵ CD ⊥ DE，
∴ ∠CDE = 90°，
又
∵ 点B、D在同一条水平直线上，∠CDB + ∠CDE + ∠1 = 180°，
∴ ∠1 = 180° - 60° - 90° = 30°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；垂直的定义；角的和差计算
【点评】
本题结合生活中常见工具的摆放场景考查几何基础知识，解题的核心是准确梳理不同角之间的位置与数量关系，属于对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
3 [2024凉山]将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当$DF// AB$时，$∠ EDB$的度数为________.
答案
3. $15°$
解析
【分析】
解决本题的思路如下：首先明确一副直角三角尺的固定内角度数，等腰直角三角尺的锐角均为45°，含30°角的直角三角尺的较小锐角为30°；再利用平行线的性质，找到与待求角相关的等角；最后通过角度的差运算求出∠EDB的度数。
【解析】
解：由直角三角尺的角度特征可得，∠ABC=45°，∠EDF=30°。
∵ $DF// AB$，
∴ $∠ FDB=∠ ABC=45°$（两直线平行，内错角相等）。
∴ $∠ EDB=∠ FDB-∠ EDF=45°-30°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
平行线的性质；三角尺的角度特征
【点评】
本题侧重考查基础几何知识的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，准确识别图形中角的和差关系，结合三角尺的固定角度完成计算。
【难度系数】
0.8
解决本题的思路如下：首先明确一副直角三角尺的固定内角度数，等腰直角三角尺的锐角均为45°，含30°角的直角三角尺的较小锐角为30°；再利用平行线的性质，找到与待求角相关的等角；最后通过角度的差运算求出∠EDB的度数。
【解析】
解：由直角三角尺的角度特征可得，∠ABC=45°，∠EDF=30°。
∵ $DF// AB$，
∴ $∠ FDB=∠ ABC=45°$（两直线平行，内错角相等）。
∴ $∠ EDB=∠ FDB-∠ EDF=45°-30°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
平行线的性质；三角尺的角度特征
【点评】
本题侧重考查基础几何知识的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，准确识别图形中角的和差关系，结合三角尺的固定角度完成计算。
【难度系数】
0.8
4 如图，直线$a// b$，直线$AB⊥ AC$。若$∠ 1=50°$，则$∠ 2=$
$40°$
。答案
4. $40°$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据垂直的定义，得出∠BAC=90°；第二步，利用直线a//b的条件，结合平行线的性质，找到∠1和∠2之间的数量关系：因为a平行b，同位角相等可得∠2等于∠B，再结合直角三角形两个锐角互余，可知∠B+∠1=90°，因此∠2+∠1=90°；第三步代入∠1的度数即可算出∠2的大小。
【解析】
解：
∵ AB⊥AC，
∴ ∠BAC=90°，即△ABC是直角三角形，
∴ ∠B + ∠1 = 90°（直角三角形两锐角互余），
又
∵ 直线a//b，直线AB为截线，
∴ ∠2 = ∠B（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠2 + ∠1 = 90°，
已知∠1=50°，代入得：
∠2=90°-50°=40°
【答案】
40°
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题是平行线性质与垂直、直角三角形性质的基础综合题，解题的核心是利用平行线的性质完成角的等量转换，再结合直角的条件计算角度，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，先根据垂直的定义，得出∠BAC=90°；第二步，利用直线a//b的条件，结合平行线的性质，找到∠1和∠2之间的数量关系：因为a平行b，同位角相等可得∠2等于∠B，再结合直角三角形两个锐角互余，可知∠B+∠1=90°，因此∠2+∠1=90°；第三步代入∠1的度数即可算出∠2的大小。
【解析】
解：
∵ AB⊥AC，
∴ ∠BAC=90°，即△ABC是直角三角形，
∴ ∠B + ∠1 = 90°（直角三角形两锐角互余），
又
∵ 直线a//b，直线AB为截线，
∴ ∠2 = ∠B（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠2 + ∠1 = 90°，
已知∠1=50°，代入得：
∠2=90°-50°=40°
【答案】
40°
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题是平行线性质与垂直、直角三角形性质的基础综合题，解题的核心是利用平行线的性质完成角的等量转换，再结合直角的条件计算角度，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
5 [2024 甘孜]如图，$AB// CD$，$AD$ 平分$∠ BAC$，$∠ 1=30°$，则$∠ 2=\_\_\_\_\_\_°$。
答案
5. 30
解析
【分析】
解题时先从已知的平行线条件入手，利用平行线的内错角相等性质，先求出∠BAD的度数；再结合AD是角平分线的条件，根据角平分线的定义，即可得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴$∠ BAD = ∠ 1 = 30°$，
又
∵$AD$平分$∠ BAC$，
∴$∠ 2 = ∠ BAD = 30°$。
【答案】
30
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何题，将平行线性质与角平分线定义结合考查，解题的关键是准确识别图形中的内错角，结合已知条件推导角度关系。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的平行线条件入手，利用平行线的内错角相等性质，先求出∠BAD的度数；再结合AD是角平分线的条件，根据角平分线的定义，即可得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴$∠ BAD = ∠ 1 = 30°$，
又
∵$AD$平分$∠ BAC$，
∴$∠ 2 = ∠ BAD = 30°$。
【答案】
30
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何题，将平行线性质与角平分线定义结合考查，解题的关键是准确识别图形中的内错角，结合已知条件推导角度关系。
【难度系数】
0.8
6 如图,点 D,E 分别在 AB,BC 上,DE//AC,AF//BC,∠1=70°,则∠2 的度数为
$70°$
.答案
6. $70°$
解析
【分析】
解题时先观察图形中的平行关系，已知DE//AC、AF//BC两组平行线，首先利用DE和AC平行的性质，找到与已知∠1相等的同位角∠C，再利用AF和BC平行的性质，找到与∠C相等的内错角∠2，通过角的等量代换就能求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵DE//AC（已知），
∴∠C = ∠1 = 70°（两直线平行，同位角相等）。
又
∵AF//BC（已知），
∴∠2 = ∠C = 70°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
$70°$
【知识点】
平行线的性质；同位角相等；内错角相等
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题核心是准确识别平行线所截形成的相等的同位角、内错角，熟练掌握平行线的性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形中的平行关系，已知DE//AC、AF//BC两组平行线，首先利用DE和AC平行的性质，找到与已知∠1相等的同位角∠C，再利用AF和BC平行的性质，找到与∠C相等的内错角∠2，通过角的等量代换就能求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵DE//AC（已知），
∴∠C = ∠1 = 70°（两直线平行，同位角相等）。
又
∵AF//BC（已知），
∴∠2 = ∠C = 70°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
$70°$
【知识点】
平行线的性质；同位角相等；内错角相等
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题核心是准确识别平行线所截形成的相等的同位角、内错角，熟练掌握平行线的性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
7 已知三条不同的直线$a,b,c$在同一平面内，给出下列说法：① 如果$a// b,a⊥ c$，那么$b⊥ c$；② 如果$b// a,c// a$，那么$b// c$；③ 如果$b⊥ a,c⊥ a$，那么$b⊥ c$；④ 如果$b⊥ a,c⊥ a$，那么$b// c$。其中，正确的是________（填序号）。
答案
7. ①②④
解析
【分析】
本题考查同一平面内直线平行与垂直的相关性质，解题思路是逐个分析4个说法，结合已学的平行线性质、平行公理推论、垂直相关的结论判断每个说法的正误，最终选出正确的序号。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
① 已知$a// b$，$a⊥ c$，根据平行线的性质：若一条直线垂直于一组平行线中的一条直线，则它也垂直于另一条直线，可得$b⊥ c$，故①正确；
② 已知$b// a$，$c// a$，根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$b// c$，故②正确；
③ 已知$b⊥ a$，$c⊥ a$，同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以可得$b// c$，不是$b⊥ c$，故③错误；
④ 结合③的分析，同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得$b// c$，故④正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
平行线的性质、平行公理推论、垂直与平行的关系
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查同一平面内平行、垂直的基本判定和性质，解题时需注意前提条件是三条直线在同一平面内，熟练掌握相关基础结论是做对本题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查同一平面内直线平行与垂直的相关性质，解题思路是逐个分析4个说法，结合已学的平行线性质、平行公理推论、垂直相关的结论判断每个说法的正误，最终选出正确的序号。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
① 已知$a// b$，$a⊥ c$，根据平行线的性质：若一条直线垂直于一组平行线中的一条直线，则它也垂直于另一条直线，可得$b⊥ c$，故①正确；
② 已知$b// a$，$c// a$，根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$b// c$，故②正确；
③ 已知$b⊥ a$，$c⊥ a$，同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以可得$b// c$，不是$b⊥ c$，故③错误；
④ 结合③的分析，同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得$b// c$，故④正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
平行线的性质、平行公理推论、垂直与平行的关系
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查同一平面内平行、垂直的基本判定和性质，解题时需注意前提条件是三条直线在同一平面内，熟练掌握相关基础结论是做对本题的关键。
【难度系数】
0.8
8 [2024呼和浩特改编]如图,直线a,b被直线c,d所截.若$∠1+∠2=180°,∠3=104°$,求$∠4$的度数.
答案
8. 如图,因为$∠ 1+∠ 2=180°,∠ 1+∠ 5=180°$,所以$∠ 2=∠ 5$.所以$a//b$.所以$∠ 4=∠ 6$.因为$∠ 3=104°,∠ 3+∠ 6=180°$,所以$∠ 6=180°-∠ 3=180°-104°=76°$.所以$∠ 4=76°$
解析
【分析】
首先从已知条件$∠ 1+∠ 2=180°$入手，结合邻补角和为$180°$的性质，可得$∠ 1$与它的邻补角$∠ 5$的和也是$180°$，根据同角的补角相等推出$∠ 2=∠ 5$，这两个角是直线$a$、$b$被直线$c$所截形成的同位角，由此可判定$a// b$。得到两直线平行后，寻找$∠ 4$和已知$∠ 3$的关联：$∠ 3$和它的邻补角$∠ 6$和为$180°$，可先求出$∠ 6$的度数，再根据两直线平行同位角相等，得到$∠ 4=∠ 6$，即可求出$∠ 4$的度数。
【解析】
解：如图，
∵ $∠ 1+∠ 2=180°$，$∠ 1+∠ 5=180°$（邻补角的定义），
∴ $∠ 2=∠ 5$（同角的补角相等），
∴ $a// b$（同位角相等，两直线平行），
∴ $∠ 4=∠ 6$（两直线平行，同位角相等），
又
∵ $∠ 3=104°$，$∠ 3+∠ 6=180°$（邻补角的定义），
∴ $∠ 6=180°-∠ 3=180°-104°=76°$，
∴ $∠ 4=76°$。
【答案】
$∠ 4=76°$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；邻补角的性质
【点评】
本题属于几何基础常考题，综合考查平行线的判定与性质，解题时要理清逻辑顺序：先判定直线平行，再利用平行的性质结合角度关系求解未知角，熟练掌握相关定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先从已知条件$∠ 1+∠ 2=180°$入手，结合邻补角和为$180°$的性质，可得$∠ 1$与它的邻补角$∠ 5$的和也是$180°$，根据同角的补角相等推出$∠ 2=∠ 5$，这两个角是直线$a$、$b$被直线$c$所截形成的同位角，由此可判定$a// b$。得到两直线平行后，寻找$∠ 4$和已知$∠ 3$的关联：$∠ 3$和它的邻补角$∠ 6$和为$180°$，可先求出$∠ 6$的度数，再根据两直线平行同位角相等，得到$∠ 4=∠ 6$，即可求出$∠ 4$的度数。
【解析】
解：如图，
∵ $∠ 1+∠ 2=180°$，$∠ 1+∠ 5=180°$（邻补角的定义），
∴ $∠ 2=∠ 5$（同角的补角相等），
∴ $a// b$（同位角相等，两直线平行），
∴ $∠ 4=∠ 6$（两直线平行，同位角相等），
又
∵ $∠ 3=104°$，$∠ 3+∠ 6=180°$（邻补角的定义），
∴ $∠ 6=180°-∠ 3=180°-104°=76°$，
∴ $∠ 4=76°$。
【答案】
$∠ 4=76°$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；邻补角的性质
【点评】
本题属于几何基础常考题，综合考查平行线的判定与性质，解题时要理清逻辑顺序：先判定直线平行，再利用平行的性质结合角度关系求解未知角，熟练掌握相关定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
9 一辆汽车第一次向右拐$50°$，要使行驶方向与原来的方向相同，第二次应该（
A.向左拐$130°$
B.向右拐$50°$
C.向右拐$130°$
D.向左拐$50°$
D
）A.向左拐$130°$
B.向右拐$50°$
C.向右拐$130°$
D.向左拐$50°$
答案
9. D
解析
【分析】
解题时首先明确核心条件：两次拐弯后行驶方向与原方向相同，说明最终行驶路线与初始路线平行且同向。我们可以通过画示意图梳理路线关系：初始路线、第一次拐弯后的路线、第二次拐弯后的路线构成了“三线八角”的模型，两次拐弯形成的角是一组同位角。根据平行线的性质，要使两条路线平行，同位角需大小相等，且两次拐弯方向相反才能保证行驶方向同向，由此即可推出第二次拐弯的方向和角度。
【解析】
我们将汽车初始行驶方向记为直线$AB$，第一次向右拐$50°$后，行驶方向变为直线$BC$，此时向右的拐角为$50°$。
要使最终行驶方向与原方向$AB$相同，说明第二次拐弯后的行驶直线$CD$与$AB$平行且同向。根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，第二次拐弯的角度大小需和第一次拐弯的角度相等，即$50°$；同时为了保证路线同向，拐弯方向要与第一次相反，第一次向右拐，因此第二次要向左拐。
综上，第二次应该向左拐$50°$，选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；方向角识别
【点评】
本题结合生活中的行车拐弯场景考查平行线性质的实际应用，解题的关键是将“行驶方向与原方向相同”转化为“前后路线平行且同向”的数学条件，能有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确核心条件：两次拐弯后行驶方向与原方向相同，说明最终行驶路线与初始路线平行且同向。我们可以通过画示意图梳理路线关系：初始路线、第一次拐弯后的路线、第二次拐弯后的路线构成了“三线八角”的模型，两次拐弯形成的角是一组同位角。根据平行线的性质，要使两条路线平行，同位角需大小相等，且两次拐弯方向相反才能保证行驶方向同向，由此即可推出第二次拐弯的方向和角度。
【解析】
我们将汽车初始行驶方向记为直线$AB$，第一次向右拐$50°$后，行驶方向变为直线$BC$，此时向右的拐角为$50°$。
要使最终行驶方向与原方向$AB$相同，说明第二次拐弯后的行驶直线$CD$与$AB$平行且同向。根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，第二次拐弯的角度大小需和第一次拐弯的角度相等，即$50°$；同时为了保证路线同向，拐弯方向要与第一次相反，第一次向右拐，因此第二次要向左拐。
综上，第二次应该向左拐$50°$，选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；方向角识别
【点评】
本题结合生活中的行车拐弯场景考查平行线性质的实际应用，解题的关键是将“行驶方向与原方向相同”转化为“前后路线平行且同向”的数学条件，能有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
