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10 新情境 学科融合 [2024 南充]如图,两个平面镜平行放置,光线经过平面镜反射时,$∠1=∠2=40°$,则$∠3$的度数为 （
A.$80°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$120°$
C
）A.$80°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$120°$
答案
10. C
解析
【分析】
解题时先抓住题中两个平面镜平行的条件，联想到平行线的性质；再结合光线反射时入射角等于反射角的规律，得到下方平面镜处入射、反射光线与镜面的夹角；最后利用平角和为180°的性质，通过角的和差计算求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵两个平面镜互相平行，
根据两直线平行，内错角相等，可得连接两个反射点的光线与下方平面镜的夹角等于∠2=40°，
由光的反射规律可知，下方平面镜处反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角，也为40°，
又
∵下方平面镜处的三个角构成平角，和为180°，
∴∠3=180°-40°-40°=100°。
【答案】C
【知识点】平行线的性质；平角的定义；角的计算
【点评】本题是跨学科融合的基础题型，将物理的光的反射规律与数学的平行线性质、角度计算结合考查，解题关键是准确运用平行线的性质找到对应相等的角，再结合平角的定义计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时先抓住题中两个平面镜平行的条件，联想到平行线的性质；再结合光线反射时入射角等于反射角的规律，得到下方平面镜处入射、反射光线与镜面的夹角；最后利用平角和为180°的性质，通过角的和差计算求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵两个平面镜互相平行，
根据两直线平行，内错角相等，可得连接两个反射点的光线与下方平面镜的夹角等于∠2=40°，
由光的反射规律可知，下方平面镜处反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角，也为40°，
又
∵下方平面镜处的三个角构成平角，和为180°，
∴∠3=180°-40°-40°=100°。
【答案】C
【知识点】平行线的性质；平角的定义；角的计算
【点评】本题是跨学科融合的基础题型，将物理的光的反射规律与数学的平行线性质、角度计算结合考查，解题关键是准确运用平行线的性质找到对应相等的角，再结合平角的定义计算即可。
【难度系数】
0.8
11 如图，$AD// BC$，$∠ C=30°$，$∠ ADB:∠ BDC=1:2$，则$∠ DBC$的度数是（
A.$30°$
B.$36°$
C.$45°$
D.$50°$
D
）A.$30°$
B.$36°$
C.$45°$
D.$50°$
答案
11. D
解析
【分析】
解题时先从已知条件AD//BC入手，回忆平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补、内错角相等。我们要求的∠DBC和∠ADB是平行线AD、BC被BD所截形成的内错角，二者相等，因此只需先求出∠ADB的度数即可。接下来由AD//BC可得∠ADC与∠C互补，结合∠C=30°可算出∠ADC的总度数，再根据∠ADB与∠BDC的比例关系，就能求出∠ADB的度数，最终得到∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵$AD// BC$，
∴$∠ ADC + ∠ C = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），$∠ ADB = ∠ DBC$（两直线平行，内错角相等）。
已知$∠ C=30°$，
∴$∠ ADC=180° - 30°=150°$。
∵$∠ ADB:∠ BDC=1:2$，设$∠ ADB=x$，则$∠ BDC=2x$，
可得$x+2x=150°$，
解得$x=50°$，即$∠ ADB=50°$，
∴$∠ DBC=∠ ADB=50°$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，角度和差计算，比例的应用
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握平行线的性质，找到已知角和未知角的数量关系，结合比例条件即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件AD//BC入手，回忆平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补、内错角相等。我们要求的∠DBC和∠ADB是平行线AD、BC被BD所截形成的内错角，二者相等，因此只需先求出∠ADB的度数即可。接下来由AD//BC可得∠ADC与∠C互补，结合∠C=30°可算出∠ADC的总度数，再根据∠ADB与∠BDC的比例关系，就能求出∠ADB的度数，最终得到∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵$AD// BC$，
∴$∠ ADC + ∠ C = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），$∠ ADB = ∠ DBC$（两直线平行，内错角相等）。
已知$∠ C=30°$，
∴$∠ ADC=180° - 30°=150°$。
∵$∠ ADB:∠ BDC=1:2$，设$∠ ADB=x$，则$∠ BDC=2x$，
可得$x+2x=150°$，
解得$x=50°$，即$∠ ADB=50°$，
∴$∠ DBC=∠ ADB=50°$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，角度和差计算，比例的应用
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握平行线的性质，找到已知角和未知角的数量关系，结合比例条件即可快速求解。
【难度系数】
0.8
12 [2025 盐城]七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的. 小明用七巧板拼成的“丹顶鹤”如图所示，且过点 C 作直线 $ AB // DE $. 若 $ ∠ 1 = 20° $，则 $ ∠ 2 $ 的度数是（
A.$ 15° $
B.$ 20° $
C.$ 25° $
D.$ 30° $
B
）A.$ 15° $
B.$ 20° $
C.$ 25° $
D.$ 30° $
答案
12. B
解析
【分析】
解题时首先回忆七巧板的组成特征，其中等腰直角三角形的锐角均为45°；再结合已知条件AB//DE，想到利用平行线的内错角相等的性质，找到包含∠1、∠2和45°角的等量关系，化简后即可求出∠2的度数。
【解析】
∵ 七巧板中的等腰直角三角形的锐角为45°，且AB//DE
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”可得：∠1 + 45° = ∠2 + 45°
等式两边同时减去45°，得∠2 = ∠1
∵ ∠1 = 20°
∴ ∠2 = 20°
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合传统益智玩具七巧板考查平行线性质的应用，情境新颖，解题的核心是准确识别七巧板的角度特征，结合平行线的性质梳理角的等量关系，整体考查基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆七巧板的组成特征，其中等腰直角三角形的锐角均为45°；再结合已知条件AB//DE，想到利用平行线的内错角相等的性质，找到包含∠1、∠2和45°角的等量关系，化简后即可求出∠2的度数。
【解析】
∵ 七巧板中的等腰直角三角形的锐角为45°，且AB//DE
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”可得：∠1 + 45° = ∠2 + 45°
等式两边同时减去45°，得∠2 = ∠1
∵ ∠1 = 20°
∴ ∠2 = 20°
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合传统益智玩具七巧板考查平行线性质的应用，情境新颖，解题的核心是准确识别七巧板的角度特征，结合平行线的性质梳理角的等量关系，整体考查基础。
【难度系数】
0.8
13 若两条平行线被第三条直线所截，则任意一组同位角的平分线互相________，任意一组内错角的平分线互相________，任意一组同旁内角的平分线互相________（填“平行”或“垂直”）。
答案
13. 平行 平行 垂直
解析
【分析】
解题时可结合平行线的性质与角平分线的定义，通过推导角的数量关系判断平分线的位置：首先回忆平行线被第三条直线所截后，同位角、内错角、同旁内角的固有性质；再根据角平分线的定义，得到平分线拆分出的小角和原角的数量关系；最后通过小角的等量关系或和差关系，结合平行线判定规则、垂直的定义，判断两条平分线的位置关系即可。
【解析】
1. 同位角的平分线：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。设一组同位角的度数均为$α$，它们的平分线拆分出的小角度数均为$\frac{1}{2}α$，这两个小角为一组新的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定两条平分线互相平行。
2. 内错角的平分线：
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。设一组内错角的度数均为$β$，它们的平分线拆分出的小角度数均为$\frac{1}{2}β$，这两个小角为一组新的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定两条平分线互相平行。
3. 同旁内角的平分线：
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即一组同旁内角的和为$180°$。它们的平分线拆分出的两个小角的和为$\frac{1}{2}×180°=90°$，因此两条平分线的夹角为$180°-90°=90°$，根据垂直的定义，可判定两条平分线互相垂直。
【答案】
平行；平行；垂直
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行线与垂直判定
【点评】
本题属于平行线章节的基础综合题，核心考查平行线性质与判定的结合应用，需要通过角平分线建立原角与分角的数量关系，再结合角的位置推导直线的位置，是该模块的常考题型，需熟练掌握角的等量代换思路。
【难度系数】
0.8
解题时可结合平行线的性质与角平分线的定义，通过推导角的数量关系判断平分线的位置：首先回忆平行线被第三条直线所截后，同位角、内错角、同旁内角的固有性质；再根据角平分线的定义，得到平分线拆分出的小角和原角的数量关系；最后通过小角的等量关系或和差关系，结合平行线判定规则、垂直的定义，判断两条平分线的位置关系即可。
【解析】
1. 同位角的平分线：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。设一组同位角的度数均为$α$，它们的平分线拆分出的小角度数均为$\frac{1}{2}α$，这两个小角为一组新的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定两条平分线互相平行。
2. 内错角的平分线：
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。设一组内错角的度数均为$β$，它们的平分线拆分出的小角度数均为$\frac{1}{2}β$，这两个小角为一组新的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定两条平分线互相平行。
3. 同旁内角的平分线：
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即一组同旁内角的和为$180°$。它们的平分线拆分出的两个小角的和为$\frac{1}{2}×180°=90°$，因此两条平分线的夹角为$180°-90°=90°$，根据垂直的定义，可判定两条平分线互相垂直。
【答案】
平行；平行；垂直
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行线与垂直判定
【点评】
本题属于平行线章节的基础综合题，核心考查平行线性质与判定的结合应用，需要通过角平分线建立原角与分角的数量关系，再结合角的位置推导直线的位置，是该模块的常考题型，需熟练掌握角的等量代换思路。
【难度系数】
0.8
14 新情境 学科融合 平面镜反射光线的规律如下:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.如图①,一束光线 m 射到平面镜α上,被平面镜α反射后的光线为 n,则$∠1=∠2$.如图②,一束光线 AB 先后经平面镜 OM,ON 反射后,反射光线 CD 与 AB 平行.若$∠NCD=62°$,求$∠MBA$的度数.
答案
14. 由题意,得$∠ OCB=∠ NCD=62°,∠ MBA=∠ OBC$,所以$∠ BCD=180°-∠ OCB-∠ NCD=180°-62°-62°=56°$.因为$CD//AB$,所以$∠ ABC+∠ BCD=180°$.所以$∠ ABC=180°-∠ BCD=180°-56°=124°$.所以$∠ MBA = \frac{1}{2}（180°-∠ ABC）=28°$
解析
【分析】
解题时首先结合题目给出的平面镜反射规律，先确定两组相等的角：$∠ OCB=∠ NCD$，$∠ MBA=∠ OBC$。第一步利用平角为$180°$的性质算出$∠ BCD$的度数；再根据$CD// AB$的条件，利用平行线“同旁内角互补”的性质算出$∠ ABC$的度数；最后结合平角定义和反射得到的等角关系，即可算出$∠ MBA$的度数。
【解析】
解：根据平面镜反射规律可得：$∠ OCB=∠ NCD$，$∠ MBA=∠ OBC$。
已知$∠ NCD=62°$，因此$∠ OCB=62°$，
由平角的定义可得：$∠ BCD=180°-∠ OCB-∠ NCD=180°-62°-62°=56°$。
因为$CD// AB$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ ABC+∠ BCD=180°$，
则$∠ ABC=180°-∠ BCD=180°-56°=124°$。
又因为$∠ MBA+∠ OBC+∠ ABC=180°$，且$∠ MBA=∠ OBC$，
所以$∠ MBA=\frac{1}{2}×(180°-∠ ABC)=\frac{1}{2}×(180°-124°)=28°$。
【答案】
$28°$
【知识点】
平面镜反射规律，平行线的性质，角的运算
【点评】
本题属于跨学科融合类题目，将物理光的反射规律和数学中平行线性质、角度计算相结合，解题的核心是准确提取题目给出的反射等角关系，结合平行线性质逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合题目给出的平面镜反射规律，先确定两组相等的角：$∠ OCB=∠ NCD$，$∠ MBA=∠ OBC$。第一步利用平角为$180°$的性质算出$∠ BCD$的度数；再根据$CD// AB$的条件，利用平行线“同旁内角互补”的性质算出$∠ ABC$的度数；最后结合平角定义和反射得到的等角关系，即可算出$∠ MBA$的度数。
【解析】
解：根据平面镜反射规律可得：$∠ OCB=∠ NCD$，$∠ MBA=∠ OBC$。
已知$∠ NCD=62°$，因此$∠ OCB=62°$，
由平角的定义可得：$∠ BCD=180°-∠ OCB-∠ NCD=180°-62°-62°=56°$。
因为$CD// AB$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ ABC+∠ BCD=180°$，
则$∠ ABC=180°-∠ BCD=180°-56°=124°$。
又因为$∠ MBA+∠ OBC+∠ ABC=180°$，且$∠ MBA=∠ OBC$，
所以$∠ MBA=\frac{1}{2}×(180°-∠ ABC)=\frac{1}{2}×(180°-124°)=28°$。
【答案】
$28°$
【知识点】
平面镜反射规律，平行线的性质，角的运算
【点评】
本题属于跨学科融合类题目，将物理光的反射规律和数学中平行线性质、角度计算相结合，解题的核心是准确提取题目给出的反射等角关系，结合平行线性质逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
15 如图,在三角形 ABC 中,E 是 AB 上一点,$AD⊥BC,EF⊥BC$,垂足分别为 D,F,G 为 AC 上的一点,连接 DG,且$∠1+∠2=180^{\circ }$.试判断$∠DGC$与$∠BAC$之间的大小关系,并说明理由.
答案
15. $∠ DGC=∠ BAC$ 理由:因为$AD⊥ BC,EF⊥ BC$,所以$∠ EFD=∠ ADC=90°$.所以$EF//AD$.所以$∠ 1+∠ EAD=180°$.因为$∠ 1+∠ 2=180°$,所以$∠ EAD=∠ 2$.所以$AB//DG$.所以$∠ DGC=∠ BAC$.
解析
【分析】
要判断∠DGC与∠BAC的大小关系，可通过推导直线平行，利用平行线的性质得到角的关系：首先由EF、AD都垂直于BC，可判定EF与AD平行，再结合∠1+∠2=180°的条件推出AB与DG平行，最后根据平行线的性质即可得到两个角的大小关系。
【解析】
解：∠DGC=∠BAC，理由如下：
∵$AD⊥BC$，$EF⊥BC$，
∴$∠EFD=∠ADC=90°$（垂直的定义），
∴$EF// AD$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴$∠1+∠EAD=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵$∠1+∠2=180°$（已知），
∴$∠EAD=∠2$（同角的补角相等），
∴$AB// DG$（内错角相等，两直线平行），
∴$∠DGC=∠BAC$（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
$∠DGC=∠BAC$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题是平行线判定与性质的综合应用类题目，解题的关键是结合已知的垂直关系和角的数量关系，逐步推导得到直线的平行关系，再利用平行线的性质得到待求角的关系，是平行线章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.75
要判断∠DGC与∠BAC的大小关系，可通过推导直线平行，利用平行线的性质得到角的关系：首先由EF、AD都垂直于BC，可判定EF与AD平行，再结合∠1+∠2=180°的条件推出AB与DG平行，最后根据平行线的性质即可得到两个角的大小关系。
【解析】
解：∠DGC=∠BAC，理由如下：
∵$AD⊥BC$，$EF⊥BC$，
∴$∠EFD=∠ADC=90°$（垂直的定义），
∴$EF// AD$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴$∠1+∠EAD=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵$∠1+∠2=180°$（已知），
∴$∠EAD=∠2$（同角的补角相等），
∴$AB// DG$（内错角相等，两直线平行），
∴$∠DGC=∠BAC$（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
$∠DGC=∠BAC$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题是平行线判定与性质的综合应用类题目，解题的关键是结合已知的垂直关系和角的数量关系，逐步推导得到直线的平行关系，再利用平行线的性质得到待求角的关系，是平行线章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.75
