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1 如图，$AB// EF$，$CD$ 平分 $∠ ACE$。若 $∠ A=155°$，$∠ E=105°$，则 $∠ ACD$ 的度数为________。
答案
$50°$
解析
【分析】
这是平行线中的“拐点”类问题，解题核心是过拐点作已知平行线的辅助线，利用平行线的性质求解。第一步，过点C作CG//AB，结合已知AB//EF，可得CG//AB//EF；第二步，根据“两直线平行，同旁内角互补”，分别求出∠ACG和∠ECG的度数，相加得到∠ACE的总度数；第三步，利用角平分线的定义，将∠ACE除以2即可得到∠ACD的度数。
【解析】
解：过点C作CG//AB。
∵ AB//EF，CG//AB，
∴ CG//AB//EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵ AB//CG，
∴ ∠A + ∠ACG = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
已知∠A=155°，则∠ACG = 180° - 155° = 25°。
∵ EF//CG，
∴ ∠E + ∠ECG = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
已知∠E=105°，则∠ECG = 180° - 105° = 75°。
∴ ∠ACE = ∠ACG + ∠ECG = 25° + 75° = 100°。
又
∵ CD平分∠ACE，
∴ ∠ACD = $\frac{1}{2}$∠ACE = $\frac{1}{2}$×100° = 50°。
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，平行公理推论
【点评】
本题是平行线拐点问题的基础题型，通过作辅助线构造平行线，将拐角拆分为两组同旁内角的补角，结合角平分线性质即可求解，掌握过拐点作平行线的技巧是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
这是平行线中的“拐点”类问题，解题核心是过拐点作已知平行线的辅助线，利用平行线的性质求解。第一步，过点C作CG//AB，结合已知AB//EF，可得CG//AB//EF；第二步，根据“两直线平行，同旁内角互补”，分别求出∠ACG和∠ECG的度数，相加得到∠ACE的总度数；第三步，利用角平分线的定义，将∠ACE除以2即可得到∠ACD的度数。
【解析】
解：过点C作CG//AB。
∵ AB//EF，CG//AB，
∴ CG//AB//EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵ AB//CG，
∴ ∠A + ∠ACG = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
已知∠A=155°，则∠ACG = 180° - 155° = 25°。
∵ EF//CG，
∴ ∠E + ∠ECG = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
已知∠E=105°，则∠ECG = 180° - 105° = 75°。
∴ ∠ACE = ∠ACG + ∠ECG = 25° + 75° = 100°。
又
∵ CD平分∠ACE，
∴ ∠ACD = $\frac{1}{2}$∠ACE = $\frac{1}{2}$×100° = 50°。
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，平行公理推论
【点评】
本题是平行线拐点问题的基础题型，通过作辅助线构造平行线，将拐角拆分为两组同旁内角的补角，结合角平分线性质即可求解，掌握过拐点作平行线的技巧是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
2 如图，$AB// DE$，试说明$∠ ABC+∠ BCD+∠ CDE=360°$。
答案
如图,连接 BD. 因为 $AB// DE$,所以$∠ ABD+∠ BDE=180°$.
因为三角形 BCD 的内角和为 $180°$,所以$∠ DBC+∠ BCD+∠ CDB=180°$.所以$∠ ABD+∠ BDE+∠ DBC+∠ BCD+∠ CDB=360°$.所以$∠ ABC+∠ BCD+∠ CDE=360°$
解析
【分析】
要证明三个角的和为360°，我们已知平行线的同旁内角互补（和为180°）、三角形内角和为180°，两个180°相加刚好是360°。观察图形存在拐点C，我们可以通过连接BD构造辅助线：一方面利用AB//DE得到一组同旁内角和为180°，另一方面得到△BCD，其内角和为180°，将两部分的角相加刚好对应待证的三个角，即可完成证明。
【解析】
1. 作辅助线：连接BD，如图所示。
2. 因为$AB// DE$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ ABD + ∠ BDE = 180°$。
3. 在$△ BCD$中，根据三角形内角和定理，可得$∠ DBC + ∠ BCD + ∠ CDB = 180°$。
4. 将上述两个等式左右两边分别相加，得：
$∠ ABD + ∠ BDE + ∠ DBC + ∠ BCD + ∠ CDB = 180° + 180° = 360°$
5. 又因为$∠ ABD + ∠ DBC = ∠ ABC$，$∠ BDE + ∠ CDB = ∠ CDE$，代入上式即可得证。
【答案】
如图,连接 BD. 因为 $AB// DE$,所以$∠ ABD+∠ BDE=180°$.
因为三角形 BCD 的内角和为 $180°$,所以$∠ DBC+∠ BCD+∠ CDB=180°$.所以$∠ ABD+∠ BDE+∠ DBC+∠ BCD+∠ CDB=360°$.所以$∠ ABC+∠ BCD+∠ CDE=360°$
【知识点】
平行线的性质、三角形内角和定理、角的和差运算
【点评】
本题是平行线中典型的“拐点”类问题，通过构造辅助线将待求角的和转化为我们熟知的平行线同旁内角和、三角形内角和两部分，很好地考查了基础知识的综合运用能力，掌握合适的辅助线构造方法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
要证明三个角的和为360°，我们已知平行线的同旁内角互补（和为180°）、三角形内角和为180°，两个180°相加刚好是360°。观察图形存在拐点C，我们可以通过连接BD构造辅助线：一方面利用AB//DE得到一组同旁内角和为180°，另一方面得到△BCD，其内角和为180°，将两部分的角相加刚好对应待证的三个角，即可完成证明。
【解析】
1. 作辅助线：连接BD，如图所示。
2. 因为$AB// DE$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ ABD + ∠ BDE = 180°$。
3. 在$△ BCD$中，根据三角形内角和定理，可得$∠ DBC + ∠ BCD + ∠ CDB = 180°$。
4. 将上述两个等式左右两边分别相加，得：
$∠ ABD + ∠ BDE + ∠ DBC + ∠ BCD + ∠ CDB = 180° + 180° = 360°$
5. 又因为$∠ ABD + ∠ DBC = ∠ ABC$，$∠ BDE + ∠ CDB = ∠ CDE$，代入上式即可得证。
【答案】
如图,连接 BD. 因为 $AB// DE$,所以$∠ ABD+∠ BDE=180°$.
因为三角形 BCD 的内角和为 $180°$,所以$∠ DBC+∠ BCD+∠ CDB=180°$.所以$∠ ABD+∠ BDE+∠ DBC+∠ BCD+∠ CDB=360°$.所以$∠ ABC+∠ BCD+∠ CDE=360°$
【知识点】
平行线的性质、三角形内角和定理、角的和差运算
【点评】
本题是平行线中典型的“拐点”类问题，通过构造辅助线将待求角的和转化为我们熟知的平行线同旁内角和、三角形内角和两部分，很好地考查了基础知识的综合运用能力，掌握合适的辅助线构造方法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
3 [2024 巴中]如图,直线$m// n$,一块含有$30°$角的直角三角尺按如图所示的方式放置.若$∠ 1=40°$,则$∠ 2$的度数为 （
A.$70°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
A
）A.$70°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
答案
A
解析
【分析】
本题是平行线与直角三角尺结合的角度计算问题，解题思路如下：首先利用对顶角相等，把已知的∠1转化到包含30°角的三角形中；接着用三角形内角和定理算出三角形第三个内角的度数；再通过邻补角的性质得到直线n上与∠2为内错角的角的度数；最后利用平行线的性质即可求出∠2的度数，所有推导用到的都是基础几何性质，按步骤推导即可。
【解析】
解：设直角三角尺的30°角顶点为E，三角尺左侧边与直线n交于点B，右侧边与直线n交于点D。
1. 根据对顶角相等，可得$∠ EDB = ∠ 1 = 40°$；
2. 在$△ BED$中，已知$∠ BED=30°$，$∠ EDB=40°$，由三角形内角和为$180°$，得：
$∠ EBD = 180° - ∠ BED - ∠ EDB = 180° - 30° - 40° = 110°$；
3. $∠ EBD$和它的邻补角$∠ ABn$之和为$180°$，因此：
$∠ ABn = 180° - ∠ EBD = 180° - 110° =70°$；
4. 因为直线$m// n$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 2 = ∠ ABn =70°$。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和；对顶角的性质
【点评】
本题是平行线相关角度计算的典型基础题，侧重考查基础几何性质的综合运用能力，解题的核心是找到已知角和待求角之间的关联，结合相关性质逐步推导即可。
【难度系数】
0.85
本题是平行线与直角三角尺结合的角度计算问题，解题思路如下：首先利用对顶角相等，把已知的∠1转化到包含30°角的三角形中；接着用三角形内角和定理算出三角形第三个内角的度数；再通过邻补角的性质得到直线n上与∠2为内错角的角的度数；最后利用平行线的性质即可求出∠2的度数，所有推导用到的都是基础几何性质，按步骤推导即可。
【解析】
解：设直角三角尺的30°角顶点为E，三角尺左侧边与直线n交于点B，右侧边与直线n交于点D。
1. 根据对顶角相等，可得$∠ EDB = ∠ 1 = 40°$；
2. 在$△ BED$中，已知$∠ BED=30°$，$∠ EDB=40°$，由三角形内角和为$180°$，得：
$∠ EBD = 180° - ∠ BED - ∠ EDB = 180° - 30° - 40° = 110°$；
3. $∠ EBD$和它的邻补角$∠ ABn$之和为$180°$，因此：
$∠ ABn = 180° - ∠ EBD = 180° - 110° =70°$；
4. 因为直线$m// n$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 2 = ∠ ABn =70°$。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和；对顶角的性质
【点评】
本题是平行线相关角度计算的典型基础题，侧重考查基础几何性质的综合运用能力，解题的核心是找到已知角和待求角之间的关联，结合相关性质逐步推导即可。
【难度系数】
0.85
4【习题再现】
（1）苏科版初中数学教材七上第202页第22题：如图①，AB//CD，点E在AB，CD之间.写出∠AEC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由.
【迁移思考】
（2）小明在完成（1）中的探究后，对第192页的第5题又作了探究与变式思考：
① 如图②，在长方体盒子底部有一面平面镜，点A处有一个光源，光线的反射角等于入射角，法线OE与平面镜l垂直，即OE⊥BC，垂足为O，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点D.小明认为∠AOB＝∠COD，请说明理由.
② 如图③，在长方体盒子里放置4块平面镜AB，BC，CD，DA，其中AD//CB.若光线从AD上的点E处射出，在平面镜AB上经点F反射后，到达平面镜BC上的点G……其传播路径为E→F→G→H→E→F，…，请判断∠EFG与∠GHE之间的数量关系，并说明理由.
（1）苏科版初中数学教材七上第202页第22题：如图①，AB//CD，点E在AB，CD之间.写出∠AEC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由.
【迁移思考】
（2）小明在完成（1）中的探究后，对第192页的第5题又作了探究与变式思考：
① 如图②，在长方体盒子底部有一面平面镜，点A处有一个光源，光线的反射角等于入射角，法线OE与平面镜l垂直，即OE⊥BC，垂足为O，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点D.小明认为∠AOB＝∠COD，请说明理由.
② 如图③，在长方体盒子里放置4块平面镜AB，BC，CD，DA，其中AD//CB.若光线从AD上的点E处射出，在平面镜AB上经点F反射后，到达平面镜BC上的点G……其传播路径为E→F→G→H→E→F，…，请判断∠EFG与∠GHE之间的数量关系，并说明理由.
答案
（1）$∠ AEC=∠ A+∠ C$ 理由:如图,过点 E 作 $EM// AB$.
因为 $AB// CD$,所以 $AB// EM// CD$. 所以 $∠ AEM=∠ A$, $∠ CEM=∠ C$. 所以 $∠ AEM+∠ CEM=∠ A+∠ C$. 因为 $∠ AEC=∠ AEM+∠ CEM$,所以 $∠ AEC=∠ A+∠ C$.
（2）① 理由:因为 $OE⊥ BC$,所以 $∠ EOC=∠ EOB=90°$. 所以 $∠ AOE+∠ AOB=∠ DOE+∠ COD=90°$. 因为光线的反射角等于入射角,所以 $∠ DOE=∠ AOE$. 所以 $∠ AOB=∠ COD$.
② $∠ EFG=∠ GHE$ 理由:由 ①,易得 $∠ AEF=∠ DEH$, $∠ BGF=∠ CGH$. 所以 $∠ AEF+∠ BGF=∠ DEH+∠ CGH$. 因为 $AD// CB$,由 (1) 的结论,易得 $∠ EFG=∠ AEF+∠ BGF$, $∠ GHE=∠ DEH+∠ CGH$,所以 $∠ EFG=∠ GHE$.
解析
【分析】
（1）本题是平行线间典型的“拐点”问题，已知AB//CD，点E在两条平行线之间，推导角的数量关系的通用方法是过拐点作已知平行线的辅助线，构造内错角相等的关系，再结合角的和差运算即可得到结论。
（2）①结合光的反射规律考查余角的性质，首先根据法线垂直镜面得到两个直角，再利用反射角等于入射角的条件，根据等角的余角相等即可推导两个角相等。
（2）②是前两问的综合应用，首先根据光的反射规律得到对应角相等，再结合AD//CB的条件，直接套用（1）得到的拐点模型结论，将∠EFG和∠GHE分别转化为两组角的和，对比两组和的关系即可得到两角的数量关系。
【解析】
（1）$\boldsymbol{∠AEC=∠A+∠C}$，理由如下：
过点E作$EM// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore AB// EM// CD$，
$\therefore ∠AEM=∠A$（两直线平行，内错角相等），$∠CEM=∠C$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠AEM+∠CEM=∠A+∠C$，
又$\because ∠AEC=∠AEM+∠CEM$，
$\therefore ∠AEC=∠A+∠C$。
（2）①理由如下：
$\because OE⊥BC$，
$\therefore ∠EOC=∠EOB=90°$，
$\therefore ∠AOE+∠AOB=90°$，$∠DOE+∠COD=90°$，
$\because$ 光线反射时反射角等于入射角，
$\therefore ∠DOE=∠AOE$，
$\therefore ∠AOB=∠COD$（等角的余角相等）。
②$\boldsymbol{∠EFG=∠GHE}$，理由如下：
由光的反射规律，结合①的结论易得$∠AEF=∠DEH$，$∠BGF=∠CGH$，
$\therefore ∠AEF+∠BGF=∠DEH+∠CGH$，
$\because AD// CB$，根据（1）的结论可得：$∠EFG=∠AEF+∠BGF$，$∠GHE=∠DEH+∠CGH$，
$\therefore ∠EFG=∠GHE$。
【答案】
（1）$∠ AEC=∠ A+∠ C$ 理由:如图,过点 E 作 $EM// AB$.
因为 $AB// CD$,所以 $AB// EM// CD$. 所以 $∠ AEM=∠ A$, $∠ CEM=∠ C$. 所以 $∠ AEM+∠ CEM=∠ A+∠ C$. 因为 $∠ AEC=∠ AEM+∠ CEM$,所以 $∠ AEC=∠ A+∠ C$.
（2）① 理由:因为 $OE⊥ BC$,所以 $∠ EOC=∠ EOB=90°$. 所以 $∠ AOE+∠ AOB=∠ DOE+∠ COD=90°$. 因为光线的反射角等于入射角,所以 $∠ DOE=∠ AOE$. 所以 $∠ AOB=∠ COD$.
② $∠ EFG=∠ GHE$ 理由:由 ①,易得 $∠ AEF=∠ DEH$, $∠ BGF=∠ CGH$. 所以 $∠ AEF+∠ BGF=∠ DEH+∠ CGH$. 因为 $AD// CB$,由 (1) 的结论,易得 $∠ EFG=∠ AEF+∠ BGF$, $∠ GHE=∠ DEH+∠ CGH$,所以 $∠ EFG=∠ GHE$.
【知识点】
平行线的性质；等角的余角相等；角的和差计算
【点评】
本题以平行线性质为核心，从基础的拐点模型探究出发，结合光的反射的实际场景进行拓展，层层递进，既考查了基础几何推理能力，也考查了知识迁移和综合应用的能力，有助于提升模型应用意识。
【难度系数】
0.7
（1）本题是平行线间典型的“拐点”问题，已知AB//CD，点E在两条平行线之间，推导角的数量关系的通用方法是过拐点作已知平行线的辅助线，构造内错角相等的关系，再结合角的和差运算即可得到结论。
（2）①结合光的反射规律考查余角的性质，首先根据法线垂直镜面得到两个直角，再利用反射角等于入射角的条件，根据等角的余角相等即可推导两个角相等。
（2）②是前两问的综合应用，首先根据光的反射规律得到对应角相等，再结合AD//CB的条件，直接套用（1）得到的拐点模型结论，将∠EFG和∠GHE分别转化为两组角的和，对比两组和的关系即可得到两角的数量关系。
【解析】
（1）$\boldsymbol{∠AEC=∠A+∠C}$，理由如下：
过点E作$EM// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore AB// EM// CD$，
$\therefore ∠AEM=∠A$（两直线平行，内错角相等），$∠CEM=∠C$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠AEM+∠CEM=∠A+∠C$，
又$\because ∠AEC=∠AEM+∠CEM$，
$\therefore ∠AEC=∠A+∠C$。
（2）①理由如下：
$\because OE⊥BC$，
$\therefore ∠EOC=∠EOB=90°$，
$\therefore ∠AOE+∠AOB=90°$，$∠DOE+∠COD=90°$，
$\because$ 光线反射时反射角等于入射角，
$\therefore ∠DOE=∠AOE$，
$\therefore ∠AOB=∠COD$（等角的余角相等）。
②$\boldsymbol{∠EFG=∠GHE}$，理由如下：
由光的反射规律，结合①的结论易得$∠AEF=∠DEH$，$∠BGF=∠CGH$，
$\therefore ∠AEF+∠BGF=∠DEH+∠CGH$，
$\because AD// CB$，根据（1）的结论可得：$∠EFG=∠AEF+∠BGF$，$∠GHE=∠DEH+∠CGH$，
$\therefore ∠EFG=∠GHE$。
【答案】
（1）$∠ AEC=∠ A+∠ C$ 理由:如图,过点 E 作 $EM// AB$.
因为 $AB// CD$,所以 $AB// EM// CD$. 所以 $∠ AEM=∠ A$, $∠ CEM=∠ C$. 所以 $∠ AEM+∠ CEM=∠ A+∠ C$. 因为 $∠ AEC=∠ AEM+∠ CEM$,所以 $∠ AEC=∠ A+∠ C$.
（2）① 理由:因为 $OE⊥ BC$,所以 $∠ EOC=∠ EOB=90°$. 所以 $∠ AOE+∠ AOB=∠ DOE+∠ COD=90°$. 因为光线的反射角等于入射角,所以 $∠ DOE=∠ AOE$. 所以 $∠ AOB=∠ COD$.
② $∠ EFG=∠ GHE$ 理由:由 ①,易得 $∠ AEF=∠ DEH$, $∠ BGF=∠ CGH$. 所以 $∠ AEF+∠ BGF=∠ DEH+∠ CGH$. 因为 $AD// CB$,由 (1) 的结论,易得 $∠ EFG=∠ AEF+∠ BGF$, $∠ GHE=∠ DEH+∠ CGH$,所以 $∠ EFG=∠ GHE$.
【知识点】
平行线的性质；等角的余角相等；角的和差计算
【点评】
本题以平行线性质为核心，从基础的拐点模型探究出发，结合光的反射的实际场景进行拓展，层层递进，既考查了基础几何推理能力，也考查了知识迁移和综合应用的能力，有助于提升模型应用意识。
【难度系数】
0.7
