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1. 将一块直角三角尺和一把直尺如图放置,若$∠ α=43°$,则$∠ β$的度数是（
A.$43°$
B.$45°$
C.$47°$
D.$57°$
C
）A.$43°$
B.$45°$
C.$47°$
D.$57°$
答案
1.C
解析
【分析】要计算∠β的度数，需结合直尺对边平行的性质和直角三角尺的直角特征。首先，直尺的两边互相平行，过直角三角尺的直角顶点作直尺一边的平行线，利用平行线的内错角相等，可知∠α与它对应的内错角相等，∠β与另一个内错角相等，而这两个内错角的和等于直角三角尺的直角（90°），因此∠α + ∠β = 90°，由此可计算∠β。
【解析】因为直尺的对边互相平行，过直角三角尺的直角顶点作直尺一边的平行线，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠α与该平行线截直尺形成的内错角相等，∠β与另一个内错角相等；又因为直角三角尺的直角为90°，所以∠α + ∠β = 90°。已知∠α=43°，则∠β=90° - 43°=47°。
【答案】C
【知识点】平行线的性质、直角的性质
【点评】本题是基础几何角度计算问题，核心是利用平行线的内错角相等结合直角的度数关系求解，属于常见的几何基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】因为直尺的对边互相平行，过直角三角尺的直角顶点作直尺一边的平行线，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠α与该平行线截直尺形成的内错角相等，∠β与另一个内错角相等；又因为直角三角尺的直角为90°，所以∠α + ∠β = 90°。已知∠α=43°，则∠β=90° - 43°=47°。
【答案】C
【知识点】平行线的性质、直角的性质
【点评】本题是基础几何角度计算问题，核心是利用平行线的内错角相等结合直角的度数关系求解，属于常见的几何基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
2. 已知直线 $l_{1} // l_{2}$ ,将一块直角三角尺 ABC (其中 $∠ A=30°,∠ C=60°$ ) 按如图所示的方式放置,若 $∠ 1=84°$ , 则 $∠ 2$ 的度数是（
A.$56°$
B.$64°$
C.$66°$
D.$76°$
C
）A.$56°$
B.$64°$
C.$66°$
D.$76°$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行线的性质和直角三角尺的角度特征，通过角的和差关系推导∠2的度数：首先明确直角三角尺的内角，再利用三角形外角性质求出相关角，最后借助平行线的内错角相等得到∠2的度数。
【解析】
已知直线$ l_1 // l_2 $，直角三角尺$ ABC $中，$ ∠ A=30° $，$ ∠ C=60° $，因此$ ∠ ABC=90° $。
设直线$ l_2 $与$ AC $交于点$ D $，则$ ∠ 1 $是$ △ BCD $的外角，根据三角形外角性质：$ ∠ 1 = ∠ C + ∠ CBD $。代入$ ∠ 1=84° $、$ ∠ C=60° $，得：
$ ∠ CBD = ∠ 1 - ∠ C = 84° - 60° = 24° $。
又因为$ ∠ ABC = ∠ CBD + ∠ ABE = 90° $，所以：
$ ∠ ABE = 90° - ∠ CBD = 90° - 24° = 66° $。
由于$ l_1 // l_2 $，根据平行线内错角相等，可得$ ∠ 2 = ∠ ABE = 66° $。
【答案】
C
【知识点】
平行线性质，三角形外角，直角三角形角度
【点评】
本题结合平行线性质与三角形外角性质考查角度计算，核心是利用平行线转化角，找到角之间的和差关系，属于基础几何角度题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合平行线的性质和直角三角尺的角度特征，通过角的和差关系推导∠2的度数：首先明确直角三角尺的内角，再利用三角形外角性质求出相关角，最后借助平行线的内错角相等得到∠2的度数。
【解析】
已知直线$ l_1 // l_2 $，直角三角尺$ ABC $中，$ ∠ A=30° $，$ ∠ C=60° $，因此$ ∠ ABC=90° $。
设直线$ l_2 $与$ AC $交于点$ D $，则$ ∠ 1 $是$ △ BCD $的外角，根据三角形外角性质：$ ∠ 1 = ∠ C + ∠ CBD $。代入$ ∠ 1=84° $、$ ∠ C=60° $，得：
$ ∠ CBD = ∠ 1 - ∠ C = 84° - 60° = 24° $。
又因为$ ∠ ABC = ∠ CBD + ∠ ABE = 90° $，所以：
$ ∠ ABE = 90° - ∠ CBD = 90° - 24° = 66° $。
由于$ l_1 // l_2 $，根据平行线内错角相等，可得$ ∠ 2 = ∠ ABE = 66° $。
【答案】
C
【知识点】
平行线性质，三角形外角，直角三角形角度
【点评】
本题结合平行线性质与三角形外角性质考查角度计算，核心是利用平行线转化角，找到角之间的和差关系，属于基础几何角度题。
【难度系数】
0.5
3. 将一副三角尺和一张对边平行的纸条按如图所示的方式摆放，两块三角尺的一条直角边重合，含$30^{\circ }$角的三角尺的斜边与纸条一边重合，含$45^{\circ }$角的三角尺的一个顶点在纸条的另一边上，则$∠1$的度数是（
A.$15^{\circ }$
B.$22.5^{\circ }$
C.$30^{\circ }$
D.$45^{\circ }$
A
）A.$15^{\circ }$
B.$22.5^{\circ }$
C.$30^{\circ }$
D.$45^{\circ }$
答案
3.A
解析
【分析】
要计算∠1的度数，需结合纸条对边平行的性质和三角尺的固定角度：首先明确三角尺的角度，含45°角的三角尺的锐角为45°，含30°角的三角尺的锐角为30°；再利用平行线的内错角相等，得到45°角等于∠1与30°角的和，通过角度差即可求出∠1。
【解析】
∵ 纸条的两条对边互相平行，根据平行线的内错角相等的性质，
∴ 含45°角的三角尺的锐角（45°）等于∠1与含30°角的三角尺的锐角（30°）的和，
∴ ∠1 = 45° - 30° = 15°，
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质、三角尺角度计算
【点评】
本题结合平行线的性质和三角尺的固定角度考查角度计算，解题关键是利用平行线的内错角关系理清角度的和差，属于基础几何题型。
【难度系数】
0.6
要计算∠1的度数，需结合纸条对边平行的性质和三角尺的固定角度：首先明确三角尺的角度，含45°角的三角尺的锐角为45°，含30°角的三角尺的锐角为30°；再利用平行线的内错角相等，得到45°角等于∠1与30°角的和，通过角度差即可求出∠1。
【解析】
∵ 纸条的两条对边互相平行，根据平行线的内错角相等的性质，
∴ 含45°角的三角尺的锐角（45°）等于∠1与含30°角的三角尺的锐角（30°）的和，
∴ ∠1 = 45° - 30° = 15°，
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质、三角尺角度计算
【点评】
本题结合平行线的性质和三角尺的固定角度考查角度计算，解题关键是利用平行线的内错角关系理清角度的和差，属于基础几何题型。
【难度系数】
0.6
4. 如图,直线 $AB// CD,GE⊥ EF$ 于点 E. 若 $∠ BGE=60°$, 则 $∠ EFD$ 的度数是（
A.$60°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$70°$
B
）A.$60°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$70°$
答案
4.B
解析
【分析】本题是平行线间的拐点问题，解题思路是过拐点E作AB的平行线，利用平行公理的推论得到三条直线互相平行，结合平行线的内错角相等、垂直的定义，将已知角与所求角建立联系，逐步计算出∠EFD的度数。
【解析】过点E作EM//AB，
∵ AB//CD（已知），
∴ EM//CD（平行于同一直线的两直线互相平行），
根据“两直线平行，内错角相等”，得∠BGE = ∠GEM，
已知∠BGE=60°，
∴ ∠GEM=60°，
又
∵ GE⊥EF（已知），
∴ ∠GEF=90°（垂直的定义），
∴ ∠MEF = ∠GEF - ∠GEM = 90° - 60° = 30°，
再由EM//CD，得∠MEF = ∠EFD（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠EFD=30°，故选B。
【答案】B
【知识点】平行线的性质、垂直的定义
【点评】本题考查平行线性质的应用，属于基础题，解题关键是掌握平行线拐点问题的辅助线作法，利用平行线的内错角相等转化角度，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】过点E作EM//AB，
∵ AB//CD（已知），
∴ EM//CD（平行于同一直线的两直线互相平行），
根据“两直线平行，内错角相等”，得∠BGE = ∠GEM，
已知∠BGE=60°，
∴ ∠GEM=60°，
又
∵ GE⊥EF（已知），
∴ ∠GEF=90°（垂直的定义），
∴ ∠MEF = ∠GEF - ∠GEM = 90° - 60° = 30°，
再由EM//CD，得∠MEF = ∠EFD（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠EFD=30°，故选B。
【答案】B
【知识点】平行线的性质、垂直的定义
【点评】本题考查平行线性质的应用，属于基础题，解题关键是掌握平行线拐点问题的辅助线作法，利用平行线的内错角相等转化角度，难度适中。
【难度系数】0.6
5. 已知直线 $a// b$,一块含 $30°$ 角的三角尺按如图所示的方式放置,$∠ 2=45°$,则 $∠ 1$ 的度数为（
A.$100°$
B.$135°$
C.$155°$
D.$165°$
D
）A.$100°$
B.$135°$
C.$155°$
D.$165°$
答案
5.D
解析
【分析】
要计算∠1的度数，需结合平行线的性质和三角尺的角度特征。已知直线$a//b$，∠2=45°，三角尺含30°角，通过作辅助线将分散的角度关联，利用平行线的性质推导∠1的度数。
【解析】
过三角尺与直线$a$、$b$相交的顶点作直线$c // a$，
因为$a // b$，根据平行公理的推论，可得$c // b$。
由平行线的内错角相等，可知∠2与直线$c$和三角尺边形成的内错角相等，即该角为45°。
已知三角尺含30°角，其另一个锐角为60°，因此直线$c$与三角尺另一边形成的角为$60° - 45° = 15°$。
又因为$a // c$，根据平行线的同旁内角互补，∠1与这个15°角互补，即$∠1 = 180° - 15° = 165°$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质、三角尺的角度
【点评】
本题结合平行线性质与三角尺角度，通过作辅助线转化角度，考查学生对平行线性质的灵活应用，属于中等难度题。
【难度系数】
0.4
要计算∠1的度数，需结合平行线的性质和三角尺的角度特征。已知直线$a//b$，∠2=45°，三角尺含30°角，通过作辅助线将分散的角度关联，利用平行线的性质推导∠1的度数。
【解析】
过三角尺与直线$a$、$b$相交的顶点作直线$c // a$，
因为$a // b$，根据平行公理的推论，可得$c // b$。
由平行线的内错角相等，可知∠2与直线$c$和三角尺边形成的内错角相等，即该角为45°。
已知三角尺含30°角，其另一个锐角为60°，因此直线$c$与三角尺另一边形成的角为$60° - 45° = 15°$。
又因为$a // c$，根据平行线的同旁内角互补，∠1与这个15°角互补，即$∠1 = 180° - 15° = 165°$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质、三角尺的角度
【点评】
本题结合平行线性质与三角尺角度，通过作辅助线转化角度，考查学生对平行线性质的灵活应用，属于中等难度题。
【难度系数】
0.4
6. 如图,$AB// CD,EF⊥ CD$于点$F$,若$∠ BEF=150^{\circ }$,则$∠ ABE$的度数为（
A.$30^{\circ }$
B.$40^{\circ }$
C.$50^{\circ }$
D.$60^{\circ }$
D
）A.$30^{\circ }$
B.$40^{\circ }$
C.$50^{\circ }$
D.$60^{\circ }$
答案
6.D
解析
【分析】
要解决本题，需利用平行线的性质，通过作辅助线拆分拐点处的角度。已知AB//CD、EF⊥CD，过拐点E作平行于AB的辅助线EG，可使EG也平行于CD，结合EF⊥CD的直角，将∠BEF拆分为两个角，再利用平行线内错角相等的性质求出∠ABE。
【解析】
过点E作EG//AB，
∵ AB//CD（已知），
∴ EG//CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∵ EF⊥CD（已知），
∴ ∠EFD=90°（垂直的定义）。
∵ EG//CD，
∴ ∠GEF + ∠EFD=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠GEF=180° - 90°=90°。
又
∵ ∠BEF=150°（已知），
∴ ∠BEG=∠BEF - ∠GEF=150° - 90°=60°。
∵ EG//AB，
∴ ∠ABE=∠BEG（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠ABE=60°，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质、垂线的性质
【点评】
本题是平行线拐点角度计算的基础题型，通过作辅助线构造平行关系，结合平行线性质求解角度，需掌握辅助线作法和平行线相关性质，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用平行线的性质，通过作辅助线拆分拐点处的角度。已知AB//CD、EF⊥CD，过拐点E作平行于AB的辅助线EG，可使EG也平行于CD，结合EF⊥CD的直角，将∠BEF拆分为两个角，再利用平行线内错角相等的性质求出∠ABE。
【解析】
过点E作EG//AB，
∵ AB//CD（已知），
∴ EG//CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∵ EF⊥CD（已知），
∴ ∠EFD=90°（垂直的定义）。
∵ EG//CD，
∴ ∠GEF + ∠EFD=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠GEF=180° - 90°=90°。
又
∵ ∠BEF=150°（已知），
∴ ∠BEG=∠BEF - ∠GEF=150° - 90°=60°。
∵ EG//AB，
∴ ∠ABE=∠BEG（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠ABE=60°，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质、垂线的性质
【点评】
本题是平行线拐点角度计算的基础题型，通过作辅助线构造平行关系，结合平行线性质求解角度，需掌握辅助线作法和平行线相关性质，难度适中。
【难度系数】
0.5
7. 如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角$∠ A=120°$,第二次拐的角$∠ B=140°$,第三次拐的角是$∠ C$,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,则$∠ C=$（
A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$160°$
D
）A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$160°$
答案
7.D
解析
【分析】
要解决本题，需利用“第三次拐弯后的道路与第一次拐弯前的道路平行”这一条件，通过作辅助线构造平行关系，结合平行线的性质建立角之间的联系，进而求出∠C的度数。具体思路：过点B作与初始道路平行的辅助线，将∠B拆分为两个角，分别与∠A、∠C形成内错角或同旁内角，再利用平行线的性质计算∠C。
【解析】
过点B作BD//AE（AE为第一次拐弯前的道路，CF为第三次拐弯后的道路，由题意知AE//CF），则BD//AE//CF。
因为BD//AE，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠ABD=∠A=120°。
已知∠ABC=140°，所以∠DBC=∠ABC - ∠ABD=140° - 120°=20°。
又因为BD//CF，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠DBC + ∠C=180°，因此∠C=180° - ∠DBC=180° - 20°=160°。
【答案】
160°
【知识点】
平行线的性质、辅助线的作法
【点评】
本题是平行线性质在实际问题中的应用，关键在于通过作辅助线构造平行关系，将分散的角转化为可利用平行线性质求解的角，考查学生对平行线性质的掌握及辅助线的构造能力。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用“第三次拐弯后的道路与第一次拐弯前的道路平行”这一条件，通过作辅助线构造平行关系，结合平行线的性质建立角之间的联系，进而求出∠C的度数。具体思路：过点B作与初始道路平行的辅助线，将∠B拆分为两个角，分别与∠A、∠C形成内错角或同旁内角，再利用平行线的性质计算∠C。
【解析】
过点B作BD//AE（AE为第一次拐弯前的道路，CF为第三次拐弯后的道路，由题意知AE//CF），则BD//AE//CF。
因为BD//AE，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠ABD=∠A=120°。
已知∠ABC=140°，所以∠DBC=∠ABC - ∠ABD=140° - 120°=20°。
又因为BD//CF，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠DBC + ∠C=180°，因此∠C=180° - ∠DBC=180° - 20°=160°。
【答案】
160°
【知识点】
平行线的性质、辅助线的作法
【点评】
本题是平行线性质在实际问题中的应用，关键在于通过作辅助线构造平行关系，将分散的角转化为可利用平行线性质求解的角，考查学生对平行线性质的掌握及辅助线的构造能力。
【难度系数】
0.5
