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11. 各顶点都在方格纸的格点(横竖格线的交点)上的多边形称为格点多边形,它的面积$S$可用公式$S=a+\dfrac{1}{2}b-1$($a$是多边形内的格点数,$b$是多边形边界上的格点数)计算,这个公式称为“皮克(Pick)定理”.如图是一个格点五边形,则该五边形的面积$S=$
6
.答案
11.6
解析
【分析】
要计算格点五边形的面积，需运用皮克定理，该公式需要确定多边形内部的格点数$a$和边界上的格点数$b$。解题思路是：先数出该五边形内部的格点数$a$，再数出边界上的格点数$b$，最后将两者代入皮克公式$S=a+\dfrac{1}{2}b-1$计算面积。
【解析】
首先，数出该五边形内部的格点数$a=4$，边界上的格点数$b=6$；
将$a=4$，$b=6$代入皮克公式：
$S = 4 + \dfrac{1}{2}×6 -1 = 4 + 3 -1 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
皮克定理、格点多边形面积计算
【点评】
本题考查皮克定理的应用，解题关键是准确数出格点多边形内部和边界的格点数，代入公式即可求出面积，难度适中。
【难度系数】
0.6
要计算格点五边形的面积，需运用皮克定理，该公式需要确定多边形内部的格点数$a$和边界上的格点数$b$。解题思路是：先数出该五边形内部的格点数$a$，再数出边界上的格点数$b$，最后将两者代入皮克公式$S=a+\dfrac{1}{2}b-1$计算面积。
【解析】
首先，数出该五边形内部的格点数$a=4$，边界上的格点数$b=6$；
将$a=4$，$b=6$代入皮克公式：
$S = 4 + \dfrac{1}{2}×6 -1 = 4 + 3 -1 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
皮克定理、格点多边形面积计算
【点评】
本题考查皮克定理的应用，解题关键是准确数出格点多边形内部和边界的格点数，代入公式即可求出面积，难度适中。
【难度系数】
0.6
12. 如图,从一个多边形的某个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,可以把这个多边形分割成若干个三角形.
(1)根据以上多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律,猜测$n(n ≥ 4)$边形可以分割成
(2)若一个多边形按以上方法可分割成 120 个三角形,则这个多边形的边数$n=$
(1)根据以上多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律,猜测$n(n ≥ 4)$边形可以分割成
$(n-2)$
个三角形;(2)若一个多边形按以上方法可分割成 120 个三角形,则这个多边形的边数$n=$
122
.答案
12.(1)$(n-2)$ (2)122
解析
【分析】
首先观察给出的图形：四边形（边数为4）从一个顶点出发连接其余顶点，分割出2个三角形，对应4-2=2；五边形（边数为5）分割出3个三角形，对应5-2=3；六边形（边数为6）分割出4个三角形，对应6-2=4。由此可总结出多边形边数与分割成三角形个数的规律，再利用规律解决第二问。
【解析】
(1) 观察图形可得：边数为4的多边形分割成2个三角形，即4-2=2；边数为5的多边形分割成3个三角形，即5-2=3；边数为6的多边形分割成4个三角形，即6-2=4。因此，n边形（n≥4）可以分割成(n-2)个三角形。
(2) 已知该多边形按方法分割成120个三角形，根据(1)的规律，列方程：n-2=120，解得n=122。
【答案】
(1)(n-2)；(2)122
【知识点】
多边形的对角线、多边形分割三角形
【点评】
本题通过观察图形找规律，考查多边形分割三角形的个数与边数的关系，核心是从具体例子中推导通用公式，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.3
首先观察给出的图形：四边形（边数为4）从一个顶点出发连接其余顶点，分割出2个三角形，对应4-2=2；五边形（边数为5）分割出3个三角形，对应5-2=3；六边形（边数为6）分割出4个三角形，对应6-2=4。由此可总结出多边形边数与分割成三角形个数的规律，再利用规律解决第二问。
【解析】
(1) 观察图形可得：边数为4的多边形分割成2个三角形，即4-2=2；边数为5的多边形分割成3个三角形，即5-2=3；边数为6的多边形分割成4个三角形，即6-2=4。因此，n边形（n≥4）可以分割成(n-2)个三角形。
(2) 已知该多边形按方法分割成120个三角形，根据(1)的规律，列方程：n-2=120，解得n=122。
【答案】
(1)(n-2)；(2)122
【知识点】
多边形的对角线、多边形分割三角形
【点评】
本题通过观察图形找规律，考查多边形分割三角形的个数与边数的关系，核心是从具体例子中推导通用公式，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.3
13. (1)如图①,从五边形的一个顶点出发,除去这个顶点本身及与它相邻的两个顶点,能画出$(5-3)$条对角线. 这样依次从五边形的 5 个顶点出发,可以画$5×(5-3)$条对角线,但发现其中每一条对角线都重复画了一次,所以五边形共有
(2)同理,从一个$n$边形的一个顶点出发,除去它本身及与它相邻的两个顶点,有$(n-3)$条对角线. 这样从$n$个顶点出发,可以画$n(n-3)$条对角线,但每一条对角线都重复算了一次,所以$n$边形共有
(3)如图②,当$n=10$时,求这个十边形的对角线条数.
5
条对角线；(2)同理,从一个$n$边形的一个顶点出发,除去它本身及与它相邻的两个顶点,有$(n-3)$条对角线. 这样从$n$个顶点出发,可以画$n(n-3)$条对角线,但每一条对角线都重复算了一次,所以$n$边形共有
$\dfrac{n(n-3)}{2}$
条对角线；(3)如图②,当$n=10$时,求这个十边形的对角线条数.
答案
13.(1)5 (2)$\dfrac{n(n-3)}{2}$
(3)解:当$n=10$时,$\dfrac{n(n-3)}{2}=\dfrac{10(10-3)}{2}=35$(条),
即这个十边形的对角线有 35 条.
(3)解:当$n=10$时,$\dfrac{n(n-3)}{2}=\dfrac{10(10-3)}{2}=35$(条),
即这个十边形的对角线有 35 条.
解析
【分析】
本题考查多边形对角线条数的计算，解题思路为：先明确从多边形一个顶点出发的对角线条数，再考虑所有顶点计算时对角线重复的情况，推导得出多边形对角线条数的公式，最后代入对应n的值计算即可。对于（1），五边形每个顶点出发的对角线数为5-3=2，5个顶点计算时总共有5×2=10条，但每条对角线被两个顶点各算一次，需除以2得到实际数量；（2）同理，n边形按此规律推导公式；（3）将n=10代入公式计算即可。
【解析】
（1）从五边形的一个顶点出发有$(5-3)=2$条对角线，5个顶点共计算$5×2=10$条对角线，由于每条对角线被重复计算了1次，因此五边形的对角线条数为$\frac{5×(5-3)}{2}=5$；
（2）同理，n边形从一个顶点出发有$(n-3)$条对角线，n个顶点共计算$n(n-3)$条对角线，每条对角线重复计算1次，故n边形的对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$；
（3）当$n=10$时，代入公式得：$\frac{10×(10-3)}{2}=\frac{10×7}{2}=35$（条），即十边形的对角线有35条。
【答案】
(1)5；(2)$\dfrac{n(n-3)}{2}$；(3)35条
【知识点】
多边形对角线公式，代数式求值
【点评】
本题是多边形对角线的基础计算题，核心是理解对角线重复计算的原理，推导并运用公式，难度较低，用于巩固多边形相关基础知识点。
【难度系数】
0.6
本题考查多边形对角线条数的计算，解题思路为：先明确从多边形一个顶点出发的对角线条数，再考虑所有顶点计算时对角线重复的情况，推导得出多边形对角线条数的公式，最后代入对应n的值计算即可。对于（1），五边形每个顶点出发的对角线数为5-3=2，5个顶点计算时总共有5×2=10条，但每条对角线被两个顶点各算一次，需除以2得到实际数量；（2）同理，n边形按此规律推导公式；（3）将n=10代入公式计算即可。
【解析】
（1）从五边形的一个顶点出发有$(5-3)=2$条对角线，5个顶点共计算$5×2=10$条对角线，由于每条对角线被重复计算了1次，因此五边形的对角线条数为$\frac{5×(5-3)}{2}=5$；
（2）同理，n边形从一个顶点出发有$(n-3)$条对角线，n个顶点共计算$n(n-3)$条对角线，每条对角线重复计算1次，故n边形的对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$；
（3）当$n=10$时，代入公式得：$\frac{10×(10-3)}{2}=\frac{10×7}{2}=35$（条），即十边形的对角线有35条。
【答案】
(1)5；(2)$\dfrac{n(n-3)}{2}$；(3)35条
【知识点】
多边形对角线公式，代数式求值
【点评】
本题是多边形对角线的基础计算题，核心是理解对角线重复计算的原理，推导并运用公式，难度较低，用于巩固多边形相关基础知识点。
【难度系数】
0.6
