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8. 某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现，他把这个发现抽象成数学问题. 如图，已知$AB// CD$，若$∠ BAE=88^{\circ }$，$∠ DCE=121^{\circ }$，则$∠ E$的度数是
33°
.答案
8.33°
解析
【分析】要计算∠E的度数，已知AB//CD，可通过延长DC与AE相交构造三角形，利用平行线的内错角相等得到∠DFE，再结合三角形外角的性质，用∠DCE减去∠DFE即可求出∠E。
【解析】延长DC交AE于点F，
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠BAE = ∠DFE = 88°（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠DCE是△CEF的外角，
∴ ∠DCE = ∠DFE + ∠E（三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），
∴ ∠E = ∠DCE - ∠DFE = 121° - 88° = 33°。
【答案】33°
【知识点】平行线的性质、三角形外角性质
【点评】本题考查平行线的性质与三角形外角性质的综合应用，通过构造辅助线转化角度关系是解题关键，属于中等难度的几何基础题，需要学生掌握基本几何定理的应用。
【难度系数】0.5
【解析】延长DC交AE于点F，
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠BAE = ∠DFE = 88°（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠DCE是△CEF的外角，
∴ ∠DCE = ∠DFE + ∠E（三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），
∴ ∠E = ∠DCE - ∠DFE = 121° - 88° = 33°。
【答案】33°
【知识点】平行线的性质、三角形外角性质
【点评】本题考查平行线的性质与三角形外角性质的综合应用，通过构造辅助线转化角度关系是解题关键，属于中等难度的几何基础题，需要学生掌握基本几何定理的应用。
【难度系数】0.5
9. 如图,$AB// CD$,AM平分$∠ BAP$,$∠ PCM=2∠ MCD$,$2∠ M-∠ P=10^{\circ }$,则$∠ PCD=$
30°
.答案
9.30°
解析
【分析】
本题需结合平行线性质、角平分线定义，通过设未知数表示相关角，利用折线角的角度关系建立方程求解。先设∠MCD为x，由已知得∠PCM=2x，进而表示∠PCD；再设∠M为y，根据平行线和角平分线的关系推导∠BAP，再得出∠P与y、x的关系，最后结合已知条件求解x，得到∠PCD。
【解析】
设∠MCD = x，因为∠PCM = 2∠MCD，所以∠PCM = 2x，因此∠PCD = ∠PCM + ∠MCD = 3x。
设∠AMC = ∠M = y，
由于AB//CD，AM为截线，根据平行线的内错角与三角形外角的关系，得∠BAM = ∠M + ∠MCD = y + x。
又因为AM平分∠BAP，所以∠BAP = 2∠BAM = 2(y + x)。
再根据AB//CD的折线角关系，可得∠P = ∠BAP - ∠PCD = 2(y + x) - 3x = 2y - x。
已知2∠M - ∠P = 10°，即2y - (2y - x) = 10°，解得x = 10°。
因此∠PCD = 3x = 3×10° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
平行线性质、角平分线、三角形外角
【点评】
本题综合运用平行线性质、角平分线定义和角度转换，设未知数建立方程是解题核心，需熟练掌握折线角的推导方法，属于中等难度的几何角度计算题。
【难度系数】
0.4
本题需结合平行线性质、角平分线定义，通过设未知数表示相关角，利用折线角的角度关系建立方程求解。先设∠MCD为x，由已知得∠PCM=2x，进而表示∠PCD；再设∠M为y，根据平行线和角平分线的关系推导∠BAP，再得出∠P与y、x的关系，最后结合已知条件求解x，得到∠PCD。
【解析】
设∠MCD = x，因为∠PCM = 2∠MCD，所以∠PCM = 2x，因此∠PCD = ∠PCM + ∠MCD = 3x。
设∠AMC = ∠M = y，
由于AB//CD，AM为截线，根据平行线的内错角与三角形外角的关系，得∠BAM = ∠M + ∠MCD = y + x。
又因为AM平分∠BAP，所以∠BAP = 2∠BAM = 2(y + x)。
再根据AB//CD的折线角关系，可得∠P = ∠BAP - ∠PCD = 2(y + x) - 3x = 2y - x。
已知2∠M - ∠P = 10°，即2y - (2y - x) = 10°，解得x = 10°。
因此∠PCD = 3x = 3×10° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
平行线性质、角平分线、三角形外角
【点评】
本题综合运用平行线性质、角平分线定义和角度转换，设未知数建立方程是解题核心，需熟练掌握折线角的推导方法，属于中等难度的几何角度计算题。
【难度系数】
0.4
10. 如图,某段河水流经 B,C,D 三点拐弯后与原来流向相同,若$∠ ABC=6∠ CDE$,$∠ BCD=4∠ CDE$,则$∠ CDE=$
20°
.答案
10.20°
解析
【分析】
要解决本题，首先根据“拐弯后与原来流向相同”得出AB//DE，通过作辅助线构造平行关系，利用平行线的性质将折线处的角转化为可计算的等量关系，进而建立方程求解∠CDE。
【解析】
过点C作CF//AB，
∵ AB与DE流向相同，
∴ AB//DE，
∴ CF//DE（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵ AB//CF，
∴ ∠ABC + ∠BCF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠BCF = 180° - ∠ABC。
∵ CF//DE，
∴ ∠DCF = ∠CDE（两直线平行，内错角相等）。
设∠CDE = x，根据题意得：∠ABC = 6x，∠BCD = 4x。
又
∵ ∠BCD = ∠BCF + ∠DCF，
代入得：4x = (180° - 6x) + x，
化简得：9x = 180°，解得x = 20°，即∠CDE = 20°。
【答案】
20°
【知识点】
平行线的性质、平行公理推论
【点评】
本题考查平行线性质的应用，核心是通过作辅助线构造平行线，将分散的角度转化为关联关系，属于几何基础题，需要掌握折线与平行线的角度转化方法。
【难度系数】
0.4
要解决本题，首先根据“拐弯后与原来流向相同”得出AB//DE，通过作辅助线构造平行关系，利用平行线的性质将折线处的角转化为可计算的等量关系，进而建立方程求解∠CDE。
【解析】
过点C作CF//AB，
∵ AB与DE流向相同，
∴ AB//DE，
∴ CF//DE（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵ AB//CF，
∴ ∠ABC + ∠BCF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠BCF = 180° - ∠ABC。
∵ CF//DE，
∴ ∠DCF = ∠CDE（两直线平行，内错角相等）。
设∠CDE = x，根据题意得：∠ABC = 6x，∠BCD = 4x。
又
∵ ∠BCD = ∠BCF + ∠DCF，
代入得：4x = (180° - 6x) + x，
化简得：9x = 180°，解得x = 20°，即∠CDE = 20°。
【答案】
20°
【知识点】
平行线的性质、平行公理推论
【点评】
本题考查平行线性质的应用，核心是通过作辅助线构造平行线，将分散的角度转化为关联关系，属于几何基础题，需要掌握折线与平行线的角度转化方法。
【难度系数】
0.4
11. 如图,直线 $l_{1} // l_{2}$,若 $∠ A=125°,∠ B=85°$,则 $∠ 1+∠ 2$ 的度数为
30°
.答案
11.30°
解析
【分析】本题是两条平行线间的折线角度问题，需通过过拐点作平行线的辅助线方法，将∠1、∠2与已知的∠A、∠B联系起来，利用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补）建立等式，进而求解∠1+∠2的度数。
【解析】过点A作AE//l₁，过点B作BF//l₂，
∵ l₁//l₂，
∴ AE//BF//l₁//l₂。根据平行线的内错角相等，可得∠1=∠EAC，∠2=∠FBD。又
∵ ∠A=125°，
∴ ∠CAB=∠A - ∠1=125° - ∠1；
∵ ∠B=85°，
∴ ∠ABF=∠B - ∠2=85° - ∠2。
∵ AE//BF，
∴ ∠CAB + ∠ABF=180°（两直线平行，同旁内角互补），代入得：(125° - ∠1)+(85° - ∠2)=180°，整理得：210° - (∠1+∠2)=180°，解得：∠1+∠2=30°。
【答案】30°
【知识点】平行线的性质、辅助线作法
【点评】本题通过作辅助线将折线问题转化为平行线的角度问题，核心是利用平行线的同旁内角互补性质，考查学生对平行线性质的应用能力，属于基础几何题。
【难度系数】0.5
【解析】过点A作AE//l₁，过点B作BF//l₂，
∵ l₁//l₂，
∴ AE//BF//l₁//l₂。根据平行线的内错角相等，可得∠1=∠EAC，∠2=∠FBD。又
∵ ∠A=125°，
∴ ∠CAB=∠A - ∠1=125° - ∠1；
∵ ∠B=85°，
∴ ∠ABF=∠B - ∠2=85° - ∠2。
∵ AE//BF，
∴ ∠CAB + ∠ABF=180°（两直线平行，同旁内角互补），代入得：(125° - ∠1)+(85° - ∠2)=180°，整理得：210° - (∠1+∠2)=180°，解得：∠1+∠2=30°。
【答案】30°
【知识点】平行线的性质、辅助线作法
【点评】本题通过作辅助线将折线问题转化为平行线的角度问题，核心是利用平行线的同旁内角互补性质，考查学生对平行线性质的应用能力，属于基础几何题。
【难度系数】0.5
12. 如图,已知 $AB// CD$,试说明: $∠ PAB+∠ APC+∠ PCD=360°$.
答案
12.解:过点 P 作PQ//AB,如答图.
因为AB//CD,所以AB//CD//PQ,
所以∠BAP+∠APQ=180°,∠CPQ+∠PCD=180°,
所以∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360°,
即∠PAB+∠APC+∠PCD=360°.
解析
【分析】要证明∠PAB+∠APC+∠PCD=360°，这是平行线间的拐点问题，可通过添加辅助线，过拐点P作AB的平行线，利用平行线的传递性得到三条直线互相平行，再结合“两直线平行，同旁内角互补”的性质，将三个角转化为两组互补的同旁内角，从而推导得出结论。
【解析】过点P作PQ//AB，如答图。
∵ AB//CD（已知），
∴ AB//CD//PQ（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴ ∠PAB + ∠APQ = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∠PCD + ∠CPQ = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠PAB + ∠APQ + ∠CPQ + ∠PCD = 180° + 180° = 360°，
又
∵ ∠APQ + ∠CPQ = ∠APC，
∴ ∠PAB + ∠APC + ∠PCD = 360°。
【答案】12.解:过点 P 作PQ//AB,如答图.
因为AB//CD,所以AB//CD//PQ,
所以∠BAP+∠APQ=180°,∠CPQ+∠PCD=180°,
所以∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360°,
即∠PAB+∠APC+∠PCD=360°.
【知识点】平行线的性质、平行公理推论
【点评】本题是平行线拐点问题的典型题型，通过添加辅助线将分散的角转化为同旁内角，体现了转化思想，熟练掌握平行线的性质是解题关键。
【难度系数】0.5
【解析】过点P作PQ//AB，如答图。
∵ AB//CD（已知），
∴ AB//CD//PQ（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴ ∠PAB + ∠APQ = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∠PCD + ∠CPQ = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠PAB + ∠APQ + ∠CPQ + ∠PCD = 180° + 180° = 360°，
又
∵ ∠APQ + ∠CPQ = ∠APC，
∴ ∠PAB + ∠APC + ∠PCD = 360°。
【答案】12.解:过点 P 作PQ//AB,如答图.
因为AB//CD,所以AB//CD//PQ,
所以∠BAP+∠APQ=180°,∠CPQ+∠PCD=180°,
所以∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360°,
即∠PAB+∠APC+∠PCD=360°.
【知识点】平行线的性质、平行公理推论
【点评】本题是平行线拐点问题的典型题型，通过添加辅助线将分散的角转化为同旁内角，体现了转化思想，熟练掌握平行线的性质是解题关键。
【难度系数】0.5
13. 已知在四边形 $ABCD$ 中$,AD// BC,E$ 是线段 $CD$ 上一点.
(1)如图①,试说明:$∠ AEB=∠ DAE+∠ CBE.$
(2)若 $AE$ 平分$∠ DAC,∠ CAB=∠ CBA.$
①如图②,$∠ ABE+∠ AEB=$
②如图③,$∠ ACD$ 的平分线与 $BA$ 的延长线交于点 $F$,与 $AE$ 交于点 $P$,若$∠ F=55°$,求$∠ D$的度数.
(1)如图①,试说明:$∠ AEB=∠ DAE+∠ CBE.$
(2)若 $AE$ 平分$∠ DAC,∠ CAB=∠ CBA.$
①如图②,$∠ ABE+∠ AEB=$
90
$°$;②如图③,$∠ ACD$ 的平分线与 $BA$ 的延长线交于点 $F$,与 $AE$ 交于点 $P$,若$∠ F=55°$,求$∠ D$的度数.
答案
13.(1)解:如答图,过点 E 作EF//AD交AB于点F.
因为AD//BC,所以EF//BC,
所以∠DAE=∠AEF,∠CBE=∠BEF,
所以∠AEB=∠AEF+∠BEF=∠DAE+∠CBE.
(2)①90
②解:由①知∠BAE=90°,
所以∠FAE=90°.
因为∠F=55°,所以∠APF=35°,所以∠APC=145°,
所以∠PAC+∠ACP=35°.
因为AE平分∠DAC,CF平分∠ACD,
所以∠DAC+∠ACD=2(∠PAC+∠ACP)=70°,
所以∠D=180°-70°=110°.
解析
【分析】
第(1)问要证明∠AEB=∠DAE+∠CBE，因AD//BC，故过点E作EF//AD，根据平行线的传递性得EF//BC，利用平行线内错角相等，将∠AEB拆分为∠AEF和∠BEF，对应等于∠DAE和∠CBE，即可完成证明；第(2)问①需结合角平分线、平行线性质及已知∠CAB=∠CBA，推导∠BAE为直角，进而得∠ABE+∠AEB=90°；第②问利用角平分线定义、三角形内角和定理，结合已知∠F=55°，逐步求出∠DAC+∠ACD，最终由三角形内角和得∠D的度数。
【解析】
(1) 如答图，过点E作EF//AD交AB于点F。
∵ AD//BC，
∴ EF//BC，
∴ ∠DAE=∠AEF，∠CBE=∠BEF，
∴ ∠AEB=∠AEF+∠BEF=∠DAE+∠CBE。
(2) ①
∵ AD//BC，
∴ ∠DAC=∠ACB，
又
∵ AE平分∠DAC，
∴ ∠DAC=2∠DAE=2∠CAE，
∵ ∠CAB=∠CBA，在△ABC中，∠CBA+∠ACB+∠CAB=180°，即2∠CAB + 2∠DAE=180°，化简得∠CAB + ∠DAE=90°，
而∠BAE=∠DAE + ∠CAB，故∠BAE=90°，
在△ABE中，∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=90°。
② 由①知∠BAE=90°，
∴ ∠FAE=180°-∠BAE=90°，
在△AFP中，∠F=55°，
∴ ∠APF=180°-∠FAE -∠F=180°-90°-55°=35°，
∴ ∠APC=180°-∠APF=145°，
在△APC中，∠PAC + ∠ACP=180°-∠APC=180°-145°=35°，
∵ AE平分∠DAC，CF平分∠ACD，
∴ ∠DAC=2∠PAC，∠ACD=2∠ACP，
∴ ∠DAC + ∠ACD=2(∠PAC + ∠ACP)=2×35°=70°，
在△ACD中，∠D=180°-(∠DAC + ∠ACD)=180°-70°=110°。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) ①90；②110°
【知识点】
平行线的性质，角平分线，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查平行线性质、角平分线定义及三角形内角和，需通过作辅助线转化角的关系，逻辑推导要求较高，是几何综合的典型题型。
【难度系数】
0.5
第(1)问要证明∠AEB=∠DAE+∠CBE，因AD//BC，故过点E作EF//AD，根据平行线的传递性得EF//BC，利用平行线内错角相等，将∠AEB拆分为∠AEF和∠BEF，对应等于∠DAE和∠CBE，即可完成证明；第(2)问①需结合角平分线、平行线性质及已知∠CAB=∠CBA，推导∠BAE为直角，进而得∠ABE+∠AEB=90°；第②问利用角平分线定义、三角形内角和定理，结合已知∠F=55°，逐步求出∠DAC+∠ACD，最终由三角形内角和得∠D的度数。
【解析】
(1) 如答图，过点E作EF//AD交AB于点F。
∵ AD//BC，
∴ EF//BC，
∴ ∠DAE=∠AEF，∠CBE=∠BEF，
∴ ∠AEB=∠AEF+∠BEF=∠DAE+∠CBE。
(2) ①
∵ AD//BC，
∴ ∠DAC=∠ACB，
又
∵ AE平分∠DAC，
∴ ∠DAC=2∠DAE=2∠CAE，
∵ ∠CAB=∠CBA，在△ABC中，∠CBA+∠ACB+∠CAB=180°，即2∠CAB + 2∠DAE=180°，化简得∠CAB + ∠DAE=90°，
而∠BAE=∠DAE + ∠CAB，故∠BAE=90°，
在△ABE中，∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=90°。
② 由①知∠BAE=90°，
∴ ∠FAE=180°-∠BAE=90°，
在△AFP中，∠F=55°，
∴ ∠APF=180°-∠FAE -∠F=180°-90°-55°=35°，
∴ ∠APC=180°-∠APF=145°，
在△APC中，∠PAC + ∠ACP=180°-∠APC=180°-145°=35°，
∵ AE平分∠DAC，CF平分∠ACD，
∴ ∠DAC=2∠PAC，∠ACD=2∠ACP，
∴ ∠DAC + ∠ACD=2(∠PAC + ∠ACP)=2×35°=70°，
在△ACD中，∠D=180°-(∠DAC + ∠ACD)=180°-70°=110°。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) ①90；②110°
【知识点】
平行线的性质，角平分线，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查平行线性质、角平分线定义及三角形内角和，需通过作辅助线转化角的关系，逻辑推导要求较高，是几何综合的典型题型。
【难度系数】
0.5
