1. 如图,一块月饼放在桌子上用刀切下去,1刀可以切成2块,2刀最多可以切成4块;3刀最多可以切成7块,4刀最多可以切成11块.

上述问题转化为数学模型,实际上就是$n$条直线最多把平面分成几块的问题,有没有规律呢?
(1)填下表:

(2)设$n$条直线把平面最多分成的块数是$S$,请写出$S$关于$n$的表达式.
2. (2024·滨海县期末)根据以下素材,探索完成任务.
| 探究三角尺中的学问 |
| --- |
| 素材1 | 如图,$C$为直线$MN$上一点,$∠ ACB=90°$,$∠ A=30°$. |
| 素材2 | 如图③,三角尺$ACB$固定不动,将三角尺$DOE$的直角顶点$O$与三角尺$ACB$的顶点$A$重合,按三角尺$DOE$的一条直角边与$AC$边的夹角为$α$摆放. |
| 问题解决 |
| 任务1 | 如图①,若$∠ BCN=30°$,图中哪些角与$∠ BCN$互余? |
| 任务2 | 如图②,已知射线$CT$是$∠ ACN$的平分线,且$∠ BCN:∠ TCN=2:3$,求$∠ ACM$的度数. |
| 任务3 | 当$α=42°$时,求三角尺$DOE$的另一条直角边与$AB$边夹角的度数. |

1. 解:(1)
| 直线条数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 分成的最多块数 | 2 | 4 | 7 | 11 | 16 | 22 | … |
(2)$S=1+(1+2+3+\dots+n)=1+\frac{(n+1)n}{2}=\frac{n^2+n+2}{2}$.
2. 解:任务1:
因为$∠ ACB=90°$,所以$∠ A+∠ B=90°$,$∠ ACM+∠ BCN=90°$.
因为$∠ A=∠ BCN=30°$,所以$∠ BCN+∠ B=90°$,
所以与$∠ BCN$互余的角有$∠ B$,$∠ ACM$.
任务2:因为$∠ BCN:∠ TCN=2:3$,
所以设$∠ BCN=2x°$,$∠ TCN=3x°$.
因为$∠ ACB=90°$,$∠ BCN=2x°$,所以$∠ ACN=90°+2x°$.
因为$CT$是$∠ ACN$的平分线,所以$∠ ACN=2∠ TCN$,
所以$90°+2x°=2×3x°$,所以$x=22.5$,
所以$∠ ACN=90°+2x°=135°$,
所以$∠ ACM=180°-∠ ACN=180°-135°=45°$.
任务3:若$OD$与$AC$边的夹角为$42°$,
①当$OD$在$AC$下方时,如答图①,
因为$∠ CAD=42°$,$∠ DAE=90°$,所以$∠ CAE=90°-42°=48°$.
因为$∠ BAC=30°$,所以$∠ BAE=30°+48°=78°$;

②当$OD$在$AC$上方时,如答图②,
因为$∠ CAD=42°$,$∠ DAE=90°$,$∠ BAC=30°$,
所以$∠ BAE=30°+42°+90°=162°$;

若$OE$与$AC$边的夹角为$42°$,
①当$OE$在$AC$下方时,如答图③,
因为$∠ CAE=42°$,$∠ BAC=30°$,
所以$∠ BAE=42°-30°=12°$.
因为$∠ DAE=90°$,所以$∠ BAD=12°+90°=102°$;

②当$OE$在$AC$上方时,如答图④,
因为$∠ CAE=42°$,$∠ BAC=30°$,$∠ DAE=90°$,
所以$∠ BAD=90°-42°-30°=18°$.

综上,三角尺$DOE$的另一条直角边与$AB$边的夹角可能是$78°$,$162°$,$102°$,$18°$.

【分析】
本题分为两部分，第一部分是n条直线最多分平面的规律探索，核心思路是：第k条直线与前k-1条直线都相交时，新增k个平面块，由此从n=1开始递推找规律，进而推导公式；第二部分是三角尺的角度问题，任务1利用互余的定义（两角和为90°）结合直角三角形的角关系找角，任务2利用角平分线的性质设未知数列方程求解，任务3需分情况讨论三角尺直角边与AC的位置关系（上下方），避免漏解。
【解析】
1. 关于n条直线分平面的问题：
(1) 递推分析：1条直线分平面为2块；2条直线最多新增2块，共4块；3条直线最多新增3块，共7块；4条直线最多新增4块，共11块；5条直线最多新增5块，共16块；6条直线最多新增6块，共22块，故表格依次填2,4,7,11,16,22。
(2) 公式推导：初始平面为1块，每加第k条直线新增k块，因此总块数$S=1+(1+2+…+n)$，其中$1+2+…+n=\frac{n(n+1)}{2}$，故$S=1+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+n+2}{2}$。
2. 三角尺角度问题：
任务1：因为$∠ACB=90°$，所以$∠ACM + ∠BCN=180°-90°=90°$，$∠A + ∠B=90°$，又$∠A=∠BCN=30°$，所以$∠B=90°-∠A=60°$，$∠ACM=90°-∠BCN=60°$，因此与$∠BCN$互余的角是$∠B$和$∠ACM$。
任务2：设$∠BCN=2x°$，$∠TCN=3x°$，因为CT是$∠ACN$的平分线，所以$∠ACN=2∠TCN=6x°$，又$∠ACN=∠ACB + ∠BCN=90°+2x°$，故$6x=90+2x$，解得$x=22.5$，所以$∠ACN=6×22.5=135°$，则$∠ACM=180°-135°=45°$。
任务3：分四种情况讨论：
① 若OD与AC夹角为42°，OD在AC下方：$∠CAE=90°-42°=48°$，$∠BAE=∠BAC + ∠CAE=30°+48°=78°$；
② 若OD与AC夹角为42°，OD在AC上方：$∠BAE=∠BAC + ∠CAD + ∠DAE=30°+42°+90°=162°$；
③ 若OE与AC夹角为42°，OE在AC下方：$∠CAE=42°$，$∠BAD=∠DAE + (∠CAE - ∠BAC)=90° + (42°-30°)=102°$；
④ 若OE与AC夹角为42°，OE在AC上方：$∠BAD=∠DAE - ∠BAC - ∠CAE=90°-30°-42°=18°$；
综上，夹角为78°,162°,102°,18°。
【答案】
1. (1) 表格依次填：2,4,7,11,16,22；(2) $S=\frac{n^2+n+2}{2}$
2. 任务1：与$∠BCN$互余的角是$∠B$、$∠ACM$；任务2：$∠ACM=45°$；任务3：夹角为78°,162°,102°,18°
【知识点】
直线分平面、角的互余、角平分线性质、角的计算
【点评】
本题包含规律探索与几何角度计算，第一问需掌握直线分平面的递推规律，第二问需结合互余、角平分线的性质，且任务3需分类讨论，考查学生的逻辑推理与分类思想，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5