10. 如图,点$O$在直线$AB$上,$∠ AOC=∠ DOE=90^{ \circ }$,则图中与$∠ BOD$互补的角是.

10.$∠ AOD,∠ COE$

【分析】要找出与∠BOD互补的角，需依据“互补的两个角和为180°”的定义，结合图形中的平角、直角性质及角的和差关系推导：首先，AB是直线，∠AOB为平角（180°），可直接找到一个补角；再利用已知的两个直角，通过同角的余角相等，推导另一个与∠BOD和为180°的角。
【解析】1. 根据补角定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。
2. 因为点O在直线AB上，所以∠AOB=180°，即∠AOD + ∠BOD=180°，因此∠AOD与∠BOD互补。
3. 已知∠AOC=90°，所以∠AOD + ∠COD=90°；又∠DOE=90°，所以∠COE + ∠COD=90°。根据“同角的余角相等”，可得∠AOD=∠COE，因此∠COE + ∠BOD=∠AOD + ∠BOD=180°，故∠COE也与∠BOD互补。
综上，与∠BOD互补的角是∠AOD、∠COE。
【答案】∠AOD,∠COE
【知识点】补角的定义，角的和差，余角的性质
【点评】本题考查补角的识别，核心是利用平角、直角的性质，结合角的和差关系推导，属于基础题型，需学生熟练掌握补角、余角的相关概念。
【难度系数】0.5

11.一个角的余角和它的补角的比是$3:7$,求这个角的度数.

解:设这个角的度数为$x$,则它的余角为$(90°-x)$,补角为$(180°-x)$.根据题意,得
$7(90°-x)=3(180°-x)$,解得$x=22.5°$.
答:这个角的度数为$22.5°$.

【分析】首先明确余角和补角的定义：若两个角的和为90°，则互为余角；若两个角的和为180°，则互为补角。设这个角的度数为$ x $，可表示出它的余角和补角，再根据两者的比例关系，利用比例的基本性质列出一元一次方程，解方程即可求出该角的度数。
【解析】解：设这个角的度数为$ x $，根据余角和补角的定义，它的余角为$ (90° - x) $，补角为$ (180° - x) $。
由题意，余角与补角的比为$ 3:7 $，根据比例的基本性质可得方程：
$ 7(90° - x) = 3(180° - x) $
展开括号：$ 630° - 7x = 540° - 3x $
移项合并同类项：$ -4x = -90° $
系数化为1：$ x = 22.5° $
答：这个角的度数为$ 22.5° $。
【答案】这个角的度数为$ 22.5° $
【知识点】余角、补角，一元一次方程应用
【点评】本题考查余角和补角的概念，通过设未知数建立方程求解，属于基础题型，核心是利用比例关系转化为方程解决角度问题。
【难度系数】0.6

12. 如图,点 A,O,E 在同一条直线上,$∠ AOB=40°$,$∠ EOD=25°$,$∠ COD=∠ DOE$.
(1)写出图中所有互补的角;
(2)求$∠ COB$的度数.

解:(1)因为点 A,O,E 在同一条直线上,
所以$∠ AOB+∠ BOE=180°$,$∠ AOC+∠ COE=180°$,$∠ AOD+∠ DOE=180°$.
因为$∠ COD=∠ DOE$,所以$∠ COD+∠ AOD=180°$.
所以图中所有互补的角有$∠ AOB$与$∠ BOE$,$∠ AOC$与$∠ COE$,$∠ AOD$与$∠ DOE$,$∠ COD$与$∠ AOD$.
(2)因为$∠ EOD=25°$,$∠ COD=∠ DOE$,
所以$∠ COE=2∠ EOD=50°$,
所以$∠ COB=180°-∠ AOB-∠ COE=180°-40°-50°=90°$.

【分析】首先明确互补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互补。由于点A、O、E在同一直线上，∠AOE为平角（180°），据此可找出所有和为180°的角对；对于角度计算部分，先利用已知∠COD=∠DOE求出∠COE，再结合平角的性质，通过减法计算∠COB的度数。
【解析】(1) 因为点A，O，E在同一条直线上，所以∠AOE=180°，可得：
∠AOB + ∠BOE = 180°，∠AOC + ∠COE = 180°，∠AOD + ∠DOE = 180°。
又因为∠COD=∠DOE，所以∠COD + ∠AOD = ∠DOE + ∠AOD = 180°。
因此，图中互补的角为：∠AOB与∠BOE，∠AOC与∠COE，∠AOD与∠DOE，∠COD与∠AOD。
(2) 已知∠EOD=25°，且∠COD=∠DOE，所以∠COE=∠COD + ∠DOE=25°+25°=50°。
因为∠AOE=180°，所以∠COB=∠AOE - ∠AOB - ∠COE=180°-40°-50°=90°。
【答案】(1) ∠AOB与∠BOE，∠AOC与∠COE，∠AOD与∠DOE，∠COD与∠AOD；(2) 90°
【知识点】互补角、平角性质、角度计算
【点评】本题考查互补角的判定和角度的基本计算，核心是利用平角为180°的性质，结合已知角的等量关系推导，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.5

13. 如图，$∠ AOC$与$∠ BOC$互为补角，$∠ BOC$与$∠ BOD$互为余角，且$∠ BOC=4∠ BOD$.
(1)求$∠ BOC$的度数；
(2)若$∠ AOE=∠ COE$，求$∠ BOE$的度数.

解:(1)因为$∠ BOC$与$∠ BOD$互为余角,
所以$∠ BOC+∠ BOD=90°$.
因为$∠ BOC=4∠ BOD$,所以$∠ BOC=\dfrac{4}{5}×90°=72°$.
(2)因为$∠ AOC$与$∠ BOC$互为补角,
所以$∠ AOC+∠ BOC=180°$,
所以$∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-72°=108°$.
因为$∠ AOE=∠ COE$,
所以$∠ COE=\dfrac{1}{2}∠ AOC=\dfrac{1}{2}×108°=54°$,
所以$∠ BOE=∠ COE+∠ BOC=54°+72°=126°$.

【分析】
要解决这道题，先处理第(1)问：根据余角的定义，互为余角的两个角和为90°，结合已知∠BOC与∠BOD的倍数关系，可直接计算∠BOC的度数；再处理第(2)问：利用补角的定义求出∠AOC的度数，由∠AOE=∠COE可知OE平分∠AOC，得到∠COE的度数，最后将∠COE与∠BOC相加，即可算出∠BOE的度数。
【解析】
(1) 因为∠BOC与∠BOD互为余角，根据余角的定义，得：
∠BOC + ∠BOD = 90°
又已知∠BOC = 4∠BOD，代入上式：
4∠BOD + ∠BOD = 90°
5∠BOD = 90°，解得∠BOD = 18°
所以∠BOC = 4×18° = 72°
(2) 因为∠AOC与∠BOC互为补角，根据补角的定义，得：
∠AOC + ∠BOC = 180°
所以∠AOC = 180° - ∠BOC = 180° - 72° = 108°
又因为∠AOE = ∠COE，所以OE平分∠AOC，因此：
∠COE = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×108° = 54°
所以∠BOE = ∠COE + ∠BOC = 54° + 72° = 126°
【答案】
(1) ∠BOC的度数为72°；(2) ∠BOE的度数为126°
【知识点】
余角与补角、角平分线的性质
【点评】
本题考查余角、补角的性质及角平分线的应用，属于基础几何计算题，解题关键是熟练运用余角、补角的数量关系，结合角平分线定义逐步推导，难度适中。
【难度系数】
0.7

14. 如果两个锐角的和等于 $90°$，那么就称这两个角互为余角. 类似地，可以定义：如果两个角的差的绝对值等于 $90°$，就称这两个角互为垂角，例如，$∠ 1=120°$，$∠ 2=30°$，$|∠ 1-∠ 2|=90°$，则$∠ 1$ 和 $∠ 2$ 互为垂角. (注：本题中的所有角都是指大于 $0°$ 且小于 $180°$ 的角)
(1) 如图，$O$ 为直线 $AB$ 上一点，$OC$ 平分 $∠ AOB$，$∠ DOE=90°$，请直接写出图中所有互为垂角的角；
(2) 如果一个角的垂角等于这个角的补角的$\dfrac{4}{5}$，求这个角的度数.

解:(1)$∠ EOB$与$∠ DOB$,$∠ EOB$与$∠ EOC$,$∠ AOD$与$∠ COD$,$∠ AOD$与$∠ AOE$.
(2)设这个角的度数为$x$,
①当$0°＜x＜90°$时,垂角为$(90°+x)$,
根据题意,得$90°+x=\dfrac{4}{5}(180°-x)$,解得$x=30°$;
②当$90°＜x＜180°$时,垂角为$(x-90°)$,根据题意,得
$x-90°=\dfrac{4}{5}(180°-x)$,解得$x=130°$.
综上可知,这个角的度数为$30°$或$130°$.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需根据题目给出的“垂角”定义，结合图形中角的关系（OC平分平角∠AOB，故∠AOC=∠COB=90°，∠DOE=90°），找出两个角差的绝对值为90°且在0°~180°范围内的角；第(2)问需先明确垂角与原角的关系，由于角的范围是0°~180°，需分原角为锐角和钝角两种情况讨论，设原角为x，根据“垂角等于这个角补角的4/5”列一元一次方程求解。
【解析】
(1) 因为OC平分平角∠AOB，所以∠AOC=∠COB=90°，又∠DOE=90°，故∠EOC+∠COD=90°；结合∠AOE+∠EOC=∠AOC=90°，得∠AOE=∠COD；同理可得∠EOC=∠DOB。根据垂角定义（两角度差的绝对值为90°），逐一验证：
∠EOB与∠DOB：∠EOB=∠EOC+∠COB=∠EOC+90°，∠DOB=∠EOC，故|∠EOB - ∠DOB|=90°，互为垂角；
∠EOB与∠EOC：∠EOB=∠EOC+90°，故|∠EOB - ∠EOC|=90°，互为垂角；
∠AOD与∠COD：∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+∠COD，故|∠AOD - ∠COD|=90°，互为垂角；
∠AOD与∠AOE：∠AOE=∠COD，故|∠AOD - ∠AOE|=90°，互为垂角。
(2) 设这个角的度数为x，分两种情况：
① 当0°＜x＜90°时，该角为锐角，其垂角为x+90°（满足0°＜垂角＜180°），根据题意列方程：
x + 90° = (4/5)(180° - x)
解得：5x + 450° = 720° - 4x → 9x = 270° → x=30°；
② 当90°＜x＜180°时，该角为钝角，其垂角为x - 90°（满足0°＜垂角＜180°），根据题意列方程：
x - 90° = (4/5)(180° - x)
解得：5x - 450° = 720° -4x →9x=1170°→x=130°；
综上，这个角的度数为30°或130°。
【答案】
(1) ∠EOB与∠DOB，∠EOB与∠EOC，∠AOD与∠COD，∠AOD与∠AOE；(2) 30°或130°
【知识点】
垂角定义，角的计算，一元一次方程应用
【点评】
本题为新定义题型，需准确理解“垂角”的核心定义，第(1)问结合图形角的和差关系找符合条件的角，第(2)问运用分类讨论思想，根据原角范围确定垂角表达式，再结合补角关系列方程求解，考查阅读理解与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5