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1. 若$∠ A=40^{\circ }$,则$∠ A$的余角的度数是（
A.$50^{\circ }$
B.$60^{\circ }$
C.$140^{\circ }$
D.$160^{\circ }$
A
）A.$50^{\circ }$
B.$60^{\circ }$
C.$140^{\circ }$
D.$160^{\circ }$
答案
1.A
解析
【分析】要解决本题，需先明确余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角。求一个角的余角，只需用90°减去该角的度数即可。本题已知∠A=40°，代入计算后对应选项就能得出答案。
【解析】根据余角的定义，∠A的余角 = 90° - ∠A。将∠A=40°代入计算，可得90° - 40° = 50°，对应选项A。
【答案】A
【知识点】余角的定义
【点评】本题考查余角的基本概念，属于基础题型，是对基础知识的直接考查，只要牢记余角定义即可轻松解答。
【难度系数】0.9
【解析】根据余角的定义，∠A的余角 = 90° - ∠A。将∠A=40°代入计算，可得90° - 40° = 50°，对应选项A。
【答案】A
【知识点】余角的定义
【点评】本题考查余角的基本概念，属于基础题型，是对基础知识的直接考查，只要牢记余角定义即可轻松解答。
【难度系数】0.9
2. 将一副三角尺按如图所示的位置摆放,其中$∠ α$与$∠ β$一定相等的是（
A
）答案
2.A
解析
【分析】要判断∠α与∠β是否相等，需结合一副三角尺的角度特征，分析每个选项中∠α和∠β与公共角的关系，利用余角、补角的性质推导。核心思路是：若两个角都是同一个角的余角，则这两个角相等；若和为定值但并非同角的余角，则不一定相等。
【解析】逐个分析选项：
选项A：两个三角尺的直角顶点重合，因此∠α + 公共角 = 90°，∠β + 公共角 = 90°，根据“同角的余角相等”，可得∠α = ∠β。
选项B：∠α和∠β在同一直线上，它们与三角尺的另一个角的和为180°，但两个角对应的三角尺锐角不同，因此∠α≠∠β。
选项C：∠α与∠β的和加上中间角为180°，但二者并非同角的余角，无法保证相等。
选项D：∠α + ∠β = 90°，仅当两角都为45°时相等，不符合三角尺的固定角度，因此不一定相等。
【答案】A
【知识点】余角的性质、三角尺的角度
【点评】本题考查三角尺摆放中角度的关系，核心是利用同角的余角相等的性质，属于基础几何题，需熟悉三角尺的角度特征。
【难度系数】0.7
【解析】逐个分析选项：
选项A：两个三角尺的直角顶点重合，因此∠α + 公共角 = 90°，∠β + 公共角 = 90°，根据“同角的余角相等”，可得∠α = ∠β。
选项B：∠α和∠β在同一直线上，它们与三角尺的另一个角的和为180°，但两个角对应的三角尺锐角不同，因此∠α≠∠β。
选项C：∠α与∠β的和加上中间角为180°，但二者并非同角的余角，无法保证相等。
选项D：∠α + ∠β = 90°，仅当两角都为45°时相等，不符合三角尺的固定角度，因此不一定相等。
【答案】A
【知识点】余角的性质、三角尺的角度
【点评】本题考查三角尺摆放中角度的关系，核心是利用同角的余角相等的性质，属于基础几何题，需熟悉三角尺的角度特征。
【难度系数】0.7
3. (1)已知 $α=60°$,则 $α$ 的余角是
(2)已知$∠ A$的补角为$60°$,则$∠ A=$
30
$°$;(2)已知$∠ A$的补角为$60°$,则$∠ A=$
120
$°$.答案
3.(1)30 (2)120
解析
【分析】首先明确余角和补角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角；若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。解题时，根据定义分别计算：(1)用90°减去已知角α的度数，得到α的余角；(2)用180°减去已知的∠A的补角的度数，得到∠A的度数。
【解析】(1)根据余角定义，α的余角=90°−α，代入α=60°，得90°−60°=30°；(2)根据补角定义，∠A=180°−补角，代入补角为60°，得180°−60°=120°。
【答案】(1)30 (2)120
【知识点】余角的概念、补角的概念
【点评】本题考查余角与补角的基础定义应用，属于简单基础题，直接依据定义计算即可，无复杂逻辑。
【难度系数】0.9
【解析】(1)根据余角定义，α的余角=90°−α，代入α=60°，得90°−60°=30°；(2)根据补角定义，∠A=180°−补角，代入补角为60°，得180°−60°=120°。
【答案】(1)30 (2)120
【知识点】余角的概念、补角的概念
【点评】本题考查余角与补角的基础定义应用，属于简单基础题，直接依据定义计算即可，无复杂逻辑。
【难度系数】0.9
4. (1)若$∠ 1+∠ 2=90^{\circ },∠ 2+∠ 3=90^{\circ }$,则$∠ 1$与$∠ 3$之间的数量关系为
(2)若$∠ 1+∠ 2=180^{\circ },∠ 2+∠ 3=180^{\circ }$,则$∠ 1$与$∠ 3$之间的数量关系为
$∠1=∠3$
,理由是同角的余角相等
;(2)若$∠ 1+∠ 2=180^{\circ },∠ 2+∠ 3=180^{\circ }$,则$∠ 1$与$∠ 3$之间的数量关系为
$∠1=∠3$
,理由是同角的补角相等
.答案
4.(1)$∠1=∠3$ 同角的余角相等 (2)$∠1=∠3$ 同角的补角相等
解析
【分析】
本题考查余角和补角的性质，解题时需观察∠1、∠3与∠2的关系：第一问中∠1和∠3都是∠2的余角，第二问中都是∠2的补角，利用对应性质即可得出数量关系。
【解析】
(1) 由∠1+∠2=90°，得∠1是∠2的余角；又∠2+∠3=90°，得∠3是∠2的余角。根据“同角的余角相等”，故∠1=∠3。
(2) 由∠1+∠2=180°，得∠1是∠2的补角；又∠2+∠3=180°，得∠3是∠2的补角。根据“同角的补角相等”，故∠1=∠3。
【答案】
(1)∠1=∠3；同角的余角相等 (2)∠1=∠3；同角的补角相等
【知识点】
余角的性质、补角的性质
【点评】
本题为基础概念应用题，直接考查余角和补角的核心性质，只要掌握“同角的余角相等”“同角的补角相等”的内容即可解答，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查余角和补角的性质，解题时需观察∠1、∠3与∠2的关系：第一问中∠1和∠3都是∠2的余角，第二问中都是∠2的补角，利用对应性质即可得出数量关系。
【解析】
(1) 由∠1+∠2=90°，得∠1是∠2的余角；又∠2+∠3=90°，得∠3是∠2的余角。根据“同角的余角相等”，故∠1=∠3。
(2) 由∠1+∠2=180°，得∠1是∠2的补角；又∠2+∠3=180°，得∠3是∠2的补角。根据“同角的补角相等”，故∠1=∠3。
【答案】
(1)∠1=∠3；同角的余角相等 (2)∠1=∠3；同角的补角相等
【知识点】
余角的性质、补角的性质
【点评】
本题为基础概念应用题，直接考查余角和补角的核心性质，只要掌握“同角的余角相等”“同角的补角相等”的内容即可解答，难度较低。
【难度系数】
0.8
5. 一个角的余角比它的补角的$\dfrac{2}{3}$还小$40°$，求这个角的度数.
答案
解:设这个角的度数为$α$,根据题意,得
$90°-α=\dfrac{2}{3}(180°-α)-40°$,解得$α=30°$.
答:这个角的度数为$30°$.
$90°-α=\dfrac{2}{3}(180°-α)-40°$,解得$α=30°$.
答:这个角的度数为$30°$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确余角和补角的定义：若两个角的和为90°，则它们互为余角；若两个角的和为180°，则它们互为补角。设这个角的度数为α，那么它的余角为90°−α，补角为180°−α。根据题目中“余角比它的补角的$\dfrac{2}{3}$还小40°”的数量关系，可列出关于α的一元一次方程，解方程即可求出这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为α，根据题意，得：
$90° - α = \dfrac{2}{3}(180° - α) - 40°$
解方程：
先化简方程右边：$\dfrac{2}{3}(180° - α) - 40° = 120° - \dfrac{2}{3}α - 40° = 80° - \dfrac{2}{3}α$
则方程变为：$90° - α = 80° - \dfrac{2}{3}α$
移项得：$90° - 80° = α - \dfrac{2}{3}α$
即：$10° = \dfrac{1}{3}α$
两边同乘3得：$α = 30°$
【答案】
这个角的度数为30°
【知识点】
余角、补角，一元一次方程应用
【点评】
本题是基础应用题，核心考查余角和补角的概念，通过设未知数建立一元一次方程求解，思路清晰，计算量小，重点在于准确理解题目中的数量关系。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需先明确余角和补角的定义：若两个角的和为90°，则它们互为余角；若两个角的和为180°，则它们互为补角。设这个角的度数为α，那么它的余角为90°−α，补角为180°−α。根据题目中“余角比它的补角的$\dfrac{2}{3}$还小40°”的数量关系，可列出关于α的一元一次方程，解方程即可求出这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为α，根据题意，得：
$90° - α = \dfrac{2}{3}(180° - α) - 40°$
解方程：
先化简方程右边：$\dfrac{2}{3}(180° - α) - 40° = 120° - \dfrac{2}{3}α - 40° = 80° - \dfrac{2}{3}α$
则方程变为：$90° - α = 80° - \dfrac{2}{3}α$
移项得：$90° - 80° = α - \dfrac{2}{3}α$
即：$10° = \dfrac{1}{3}α$
两边同乘3得：$α = 30°$
【答案】
这个角的度数为30°
【知识点】
余角、补角，一元一次方程应用
【点评】
本题是基础应用题，核心考查余角和补角的概念，通过设未知数建立一元一次方程求解，思路清晰，计算量小，重点在于准确理解题目中的数量关系。
【难度系数】
0.7
6. 有下列说法:①如果$∠ 1+∠ 2+∠ 3=180°$,那么$∠ 1,∠ 2,∠ 3$互为补角;②$90°$的角叫作余角;③如果$∠ 1$是$∠ 2$的补角,那么$∠ 1$一定是钝角;④如果$∠ 1$是$∠ 2$的余角,那么$∠ 1$一定是锐角.其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
6.A
解析
【分析】要解决这道题，需先明确余角和补角的核心定义：补角是指两个角的和为180°，是两个角之间的关系；余角是指两个角的和为90°，同样是两个角之间的关系，单独一个角不能称为余角或补角。再逐一判断四个说法的正确性，统计正确说法的数量后选出答案。
【解析】根据余角和补角的定义逐一分析：
1. 说法①：补角是两个角的关系，需满足两个角的和为180°，三个角的和为180°不能称为互为补角，因此①错误；
2. 说法②：余角是两个角的和为90°，单独一个90°的角不能叫余角，余角是相互依存的两个角的关系，因此②错误；
3. 说法③：若∠1是∠2的补角，∠1可能是锐角（如∠2=100°，则∠1=80°）、钝角或直角，不一定是钝角，因此③错误；
4. 说法④：若∠1是∠2的余角，则∠1+∠2=90°，所以∠1一定小于90°，属于锐角，因此④正确。
综上，正确的说法只有1个，答案选A。
【答案】A
【知识点】余角的定义、补角的定义
【点评】本题考查余角和补角的基本概念，核心是准确把握“两个角的关系”这一关键点，避免将多个角的和或单个角的属性与余角、补角的定义混淆，需仔细辨析每个说法的正误。
【难度系数】0.5
【解析】根据余角和补角的定义逐一分析：
1. 说法①：补角是两个角的关系，需满足两个角的和为180°，三个角的和为180°不能称为互为补角，因此①错误；
2. 说法②：余角是两个角的和为90°，单独一个90°的角不能叫余角，余角是相互依存的两个角的关系，因此②错误；
3. 说法③：若∠1是∠2的补角，∠1可能是锐角（如∠2=100°，则∠1=80°）、钝角或直角，不一定是钝角，因此③错误；
4. 说法④：若∠1是∠2的余角，则∠1+∠2=90°，所以∠1一定小于90°，属于锐角，因此④正确。
综上，正确的说法只有1个，答案选A。
【答案】A
【知识点】余角的定义、补角的定义
【点评】本题考查余角和补角的基本概念，核心是准确把握“两个角的关系”这一关键点，避免将多个角的和或单个角的属性与余角、补角的定义混淆，需仔细辨析每个说法的正误。
【难度系数】0.5
7. 如图,$O$是直线$AB$上一点,$∠ AOC=α$,$∠ BOC=β$,则$β$的余角可表示为
A.$\dfrac{1}{2}(α+β)$
B.$\dfrac{1}{2}α$
C.$\dfrac{1}{2}(α-β)$
D.$\dfrac{1}{2}β$
A.$\dfrac{1}{2}(α+β)$
B.$\dfrac{1}{2}α$
C.$\dfrac{1}{2}(α-β)$
D.$\dfrac{1}{2}β$
答案
7.C
解析
【分析】首先，根据邻补角的定义，直线AB上的点O形成的∠AOC和∠BOC是邻补角，二者和为180°，即α+β=180°；其次，依据余角的定义，若两个角和为90°则互为余角，因此β的余角可表示为90°−β；最后利用α+β=180°，将90°转化为$\frac{1}{2}(α+β)$，代入β的余角表达式化简，即可得到结果并选出正确选项。
【解析】
解：
∵ O是直线AB上一点，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°，即α + β = 180°，
∴ 90° = $\frac{1}{2}(α+β)$。
根据余角的定义，β的余角为：
90° − β = $\frac{1}{2}(α+β)$ − β = $\frac{α+β - 2β}{2}$ = $\frac{1}{2}(α−β)$，
即β的余角可表示为$\frac{1}{2}(α−β)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
邻补角性质；余角定义
【点评】
本题考查邻补角的性质和余角的定义，属于基础题型，解题关键是利用邻补角关系转化α与β的关系，再结合余角定义化简表达式，难度较低，是初中几何的基础考点。
【难度系数】
0.7
【解析】
解：
∵ O是直线AB上一点，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°，即α + β = 180°，
∴ 90° = $\frac{1}{2}(α+β)$。
根据余角的定义，β的余角为：
90° − β = $\frac{1}{2}(α+β)$ − β = $\frac{α+β - 2β}{2}$ = $\frac{1}{2}(α−β)$，
即β的余角可表示为$\frac{1}{2}(α−β)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
邻补角性质；余角定义
【点评】
本题考查邻补角的性质和余角的定义，属于基础题型，解题关键是利用邻补角关系转化α与β的关系，再结合余角定义化简表达式，难度较低，是初中几何的基础考点。
【难度系数】
0.7
8. 已知一个角的余角与这个角的补角之和为$130^{\circ }$,则这个角的度数是 （
A.$60^{\circ }$
B.$70^{\circ }$
C.$75^{\circ }$
D.$80^{\circ }$
B
）A.$60^{\circ }$
B.$70^{\circ }$
C.$75^{\circ }$
D.$80^{\circ }$
答案
8.B
解析
【分析】首先明确余角和补角的定义：若两个角的和为$90°$，则这两个角互余；若两个角的和为$180°$，则这两个角互补。设这个角的度数为$x°$，分别表示出它的余角和补角，再根据题目中“余角与补角之和为$130°$”的等量关系列方程求解，最后匹配选项得出答案。
【解析】设这个角的度数为$x°$，根据余角和补角的定义，它的余角为$(90 - x)°$，补角为$(180 - x)°$。
根据题意列方程：
$(90 - x) + (180 - x) = 130$
化简方程左边：$270 - 2x = 130$
移项得：$-2x = 130 - 270$
计算右边：$-2x = -140$
两边同时除以$-2$：$x = 70$
所以这个角的度数是$70°$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；一元一次方程的应用
【点评】本题考查余角、补角的概念及一元一次方程的应用，属于基础题型，关键是准确表示出余角和补角，再根据等量关系列方程求解，学生较易掌握。
【难度系数】0.7
【解析】设这个角的度数为$x°$，根据余角和补角的定义，它的余角为$(90 - x)°$，补角为$(180 - x)°$。
根据题意列方程：
$(90 - x) + (180 - x) = 130$
化简方程左边：$270 - 2x = 130$
移项得：$-2x = 130 - 270$
计算右边：$-2x = -140$
两边同时除以$-2$：$x = 70$
所以这个角的度数是$70°$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；一元一次方程的应用
【点评】本题考查余角、补角的概念及一元一次方程的应用，属于基础题型，关键是准确表示出余角和补角，再根据等量关系列方程求解，学生较易掌握。
【难度系数】0.7
9.若一个角与它的余角之比为$1:2$,则这个角与它的补角之比为
1:5
.答案
9.1:5
解析
【分析】首先明确余角定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余；补角定义：若两个角的和为180°，则这两个角互补。设这个角为未知数，根据它与余角的比例关系列方程求出该角的度数，再计算它与补角的比值。
【解析】设这个角为$ x° $，则它的余角为$ (90 - x)° $。
根据题意，这个角与余角之比为$ 1:2 $，可得：
$ \frac{x}{90 - x} = \frac{1}{2} $
交叉相乘得：$ 2x = 90 - x $
移项合并同类项：$ 3x = 90 $，解得$ x = 30 $。
这个角的补角为$ 180° - 30° = 150° $，
则这个角与它的补角之比为$ 30:150 = 1:5 $。
【答案】1:5
【知识点】余角、补角的定义，比例的应用
【点评】本题是基础题型，考查余角和补角的概念，通过设未知数列方程求解，思路简单，只要掌握相关定义即可完成解答。
【难度系数】0.6
【解析】设这个角为$ x° $，则它的余角为$ (90 - x)° $。
根据题意，这个角与余角之比为$ 1:2 $，可得：
$ \frac{x}{90 - x} = \frac{1}{2} $
交叉相乘得：$ 2x = 90 - x $
移项合并同类项：$ 3x = 90 $，解得$ x = 30 $。
这个角的补角为$ 180° - 30° = 150° $，
则这个角与它的补角之比为$ 30:150 = 1:5 $。
【答案】1:5
【知识点】余角、补角的定义，比例的应用
【点评】本题是基础题型，考查余角和补角的概念，通过设未知数列方程求解，思路简单，只要掌握相关定义即可完成解答。
【难度系数】0.6
