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22. (8分)(2025·广州期中)小明根据市自来水公司的居民用水收费标准,制定了水费计算数值转换机的示意图.(用水量单位:m³,水费单位:元)
(1)根据转换机程序计算下列各户月应缴纳水费:
用户 | 张大爷家 | 王阿姨家 | 小明家
月用水量/m³ |
| 15 | 17
月应缴纳水费/元 | | |
(2)当x＞15时,用含x的代数式表示月应缴纳水费
(3)小丽家10月份缴纳水费70元,则小丽家10月份用水多少立方米?
(1)根据转换机程序计算下列各户月应缴纳水费:
用户 | 张大爷家 | 王阿姨家 | 小明家
月用水量/m³ |
| 15 | 17月应缴纳水费/元 | | |
(2)当x＞15时,用含x的代数式表示月应缴纳水费
$(5x-30)$
元;(3)小丽家10月份缴纳水费70元,则小丽家10月份用水多少立方米?
答案
22. (1)18 45 55 解析:根据题意得$3×6=18$(元),$3×15=45$(元),$(17-15)×5+15×3=55$(元).
(2)$(5x-30)$ 解析:根据题意得当$x＞15$时,月应缴纳水费$5(x-15)+15×3=(5x-30)$元.
(3)$(70-15×3)÷5+15=20(\mathrm{m}^3)$ 答:小丽家10月份用水$20\ \mathrm{m}^3$.
(2)$(5x-30)$ 解析:根据题意得当$x＞15$时,月应缴纳水费$5(x-15)+15×3=(5x-30)$元.
(3)$(70-15×3)÷5+15=20(\mathrm{m}^3)$ 答:小丽家10月份用水$20\ \mathrm{m}^3$.
23. (10分)(2025·宿迁期中)如图是某展馆的平面图,其外框是一个大正方形,中间四个大小相同的小正方形(阴影部分)是绿化区域,标记了字母的五个大小相同的正方形是展厅,剩余的是四个大小相同的休息厅,已知种植绿化的正方形边长比展厅的正方形边长的一半多1 m,设展厅的正方形边长为x m.
(1)种植绿化的正方形边长为
(2)该展馆的平面图外框大正方形的周长为
(3)若设种植绿化的正方形边长为2 m,求该展馆的占地面积.
(1)种植绿化的正方形边长为
$(\frac{1}{2}x+1)$
m;(用含x的整式表示)(2)该展馆的平面图外框大正方形的周长为
$(16x+8)$
m,每个休息厅的图形周长为$(7x+6)$
m;(用含x的整式表示)(3)若设种植绿化的正方形边长为2 m,求该展馆的占地面积.
答案
23. (1)$(\frac{1}{2}x+1)$ 解析:因为种植绿化的正方形边长比展厅的正方形边长的一半多1 m,所以种植绿化的正方形边长为$(\frac{1}{2}x+1)\mathrm{m}$.
(2)$(16x+8)$ $(7x+6)$ 解析:该展馆的平面图外框大正方形的周长为$4×[3x+2(\frac{1}{2}x+1)]=(16x+8)\mathrm{m}$,每个休息厅的图形周长为$2×[x+2(\frac{1}{2}x+1)+x+\frac{1}{2}x+1]=(7x+6)\mathrm{m}$.
(3)当$\frac{1}{2}x+1=2$,即$x=2$时,该展馆的占地面积为$(4x+2)^2=(4×2+2)^2=100(\mathrm{m}^2)$.
(2)$(16x+8)$ $(7x+6)$ 解析:该展馆的平面图外框大正方形的周长为$4×[3x+2(\frac{1}{2}x+1)]=(16x+8)\mathrm{m}$,每个休息厅的图形周长为$2×[x+2(\frac{1}{2}x+1)+x+\frac{1}{2}x+1]=(7x+6)\mathrm{m}$.
(3)当$\frac{1}{2}x+1=2$,即$x=2$时,该展馆的占地面积为$(4x+2)^2=(4×2+2)^2=100(\mathrm{m}^2)$.
24. (10分)(2025·宿州模拟)项目式学习:探究图式之间的内在联系.
【项目任务】观察下列图形,思考图形中点的排列规律,抽象出数学等式,探究点的总个数.
【项目探究过程】下列是三位同学采用不同方法进行探究的过程,请你完善他们的探究过程.
(1)明明同学将这些点分为两类,一类是实心点构造的正方形点阵,一类是空心点构造的正方形点阵,这样图①的点总数可表示为$2^2+1^2$,图②的点总数可表示为$3^2+2^2$,图③的点总数可表示为$4^2+3^2$,图④的点总数可表示为$5^2 + 4^2$,…,图 ⓝ 的点总数可表示为
(2)欣欣同学用虚线将这些点进行连接,图①的点可以表示为1+3+1,图②的点可以表示为1+3+5+3+1,图③的点可以表示为1+3+5+7+5+3+1,图④的点可以表示为1+3+5+7+9+7+5+3+1,…,在欣欣思考的这种连接方式下,图 ⓝ 中最长虚线上共有
(3)慧慧同学在欣欣同学方法的启发下利用这些点构造“回”字图形,结合明明同学的探究,由图①得$1+4=2^2+1^2$,由图②得$1+4+8=3^2+2^2$,由图③得$1+4+8+12=4^2+3^2$,…,利用上述规律计算$104+108+112+…+396+400$的值.
【项目任务】观察下列图形,思考图形中点的排列规律,抽象出数学等式,探究点的总个数.
【项目探究过程】下列是三位同学采用不同方法进行探究的过程,请你完善他们的探究过程.
(1)明明同学将这些点分为两类,一类是实心点构造的正方形点阵,一类是空心点构造的正方形点阵,这样图①的点总数可表示为$2^2+1^2$,图②的点总数可表示为$3^2+2^2$,图③的点总数可表示为$4^2+3^2$,图④的点总数可表示为$5^2 + 4^2$,…,图 ⓝ 的点总数可表示为
$(n+1)^2+n^2$
.(2)欣欣同学用虚线将这些点进行连接,图①的点可以表示为1+3+1,图②的点可以表示为1+3+5+3+1,图③的点可以表示为1+3+5+7+5+3+1,图④的点可以表示为1+3+5+7+9+7+5+3+1,…,在欣欣思考的这种连接方式下,图 ⓝ 中最长虚线上共有
$(2n+1)$
个点,她结合明明的探究,猜想两种方法利用图 ⓝ 建立的等式:$1+3+5+\dots+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+\dots+3+1=(n+1)^2+n^2$
,由此获得从1开始,连续n个奇数的和,即$1+3+5+…+(2n-1)=$$n^2$
.(3)慧慧同学在欣欣同学方法的启发下利用这些点构造“回”字图形,结合明明同学的探究,由图①得$1+4=2^2+1^2$,由图②得$1+4+8=3^2+2^2$,由图③得$1+4+8+12=4^2+3^2$,…,利用上述规律计算$104+108+112+…+396+400$的值.
答案
24. (1)$(n+1)^2+n^2$ 解析:由规律可得图$n$的点总数可表示为$(n+1)^2+n^2$.
(2)$(2n+1)$ $1+3+5+\dots+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+\dots+3+1=(n+1)^2+n^2$ $\frac{(n+1)^2+n^2-(2n+1)}{2}$ $n^2$.
(3)由规律可得$1+4+8+\dots+4n=(n+1)^2+n^2$,则$1+4+8+\dots+100=26^2+25^2$,$1+4+8+\dots+400=101^2+100^2$,所以$104+108+112+\dots+396+400=101^2+100^2-26^2-25^2=18\ 900$.
(2)$(2n+1)$ $1+3+5+\dots+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+\dots+3+1=(n+1)^2+n^2$ $\frac{(n+1)^2+n^2-(2n+1)}{2}$ $n^2$.
(3)由规律可得$1+4+8+\dots+4n=(n+1)^2+n^2$,则$1+4+8+\dots+100=26^2+25^2$,$1+4+8+\dots+400=101^2+100^2$,所以$104+108+112+\dots+396+400=101^2+100^2-26^2-25^2=18\ 900$.
