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1. 在下列数学表达式中,不等式的个数是 （）
①$-3＜0$；②$a+b$；③$x=3$；④$x≠5$；⑤$x+2＞y+3$。
A.2
B.3
C.4
D.5
①$-3＜0$；②$a+b$；③$x=3$；④$x≠5$；⑤$x+2＞y+3$。
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
B
解析
根据不等式的定义：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式，逐一判断：
①$-3＜0$含不等号“＜”，是不等式；
②$a+b$是代数式，不含不等号，不是不等式；
③$x=3$是等式，含等号，不是不等式；
④$x≠5$含不等号“≠”，是不等式；
⑤$x+2＞y+3$含不等号“＞”，是不等式。
可得不等式共有3个。
①$-3＜0$含不等号“＜”，是不等式；
②$a+b$是代数式，不含不等号，不是不等式；
③$x=3$是等式，含等号，不是不等式；
④$x≠5$含不等号“≠”，是不等式；
⑤$x+2＞y+3$含不等号“＞”，是不等式。
可得不等式共有3个。
2. 下列说法中正确的是 （）
A.$x=3$是不等式$2x＞1$的解
B.$x=3$是不等式$2x＞1$的唯一解
C.$x=3$不是不等式$2x＞1$的解
D.$x=3$是不等式$2x＞1$的解集
A.$x=3$是不等式$2x＞1$的解
B.$x=3$是不等式$2x＞1$的唯一解
C.$x=3$不是不等式$2x＞1$的解
D.$x=3$是不等式$2x＞1$的解集
答案
A
解析
先解不等式$2x＞1$，两边同时除以2，得解集为$x＞0.5$。
代入$x=3$，$2×3=6＞1$，满足不等式，因此$x=3$是不等式$2x＞1$的一个解，A正确，C错误；
不等式$x＞0.5$有无数个解，$x=3$不是唯一解，B错误；
该不等式的解集是$x＞0.5$，$x=3$只是单个解，不是解集，D错误。
代入$x=3$，$2×3=6＞1$，满足不等式，因此$x=3$是不等式$2x＞1$的一个解，A正确，C错误；
不等式$x＞0.5$有无数个解，$x=3$不是唯一解，B错误；
该不等式的解集是$x＞0.5$，$x=3$只是单个解，不是解集，D错误。
3. 下列表示的不等关系中，正确的是 （）
A.a 不是负数，表示为 $ a＞0 $
B.m 比 3 至少多 1，表示为 $ m - 3 ≥ 1 $
C.x 与 1 的和是非负数，表示为 $ x + 1 ＞ 0 $
D.x 不大于 3，表示为 $ x ＜ 3 $
A.a 不是负数，表示为 $ a＞0 $
B.m 比 3 至少多 1，表示为 $ m - 3 ≥ 1 $
C.x 与 1 的和是非负数，表示为 $ x + 1 ＞ 0 $
D.x 不大于 3，表示为 $ x ＜ 3 $
答案
B
解析
逐个分析各选项：
1. 选项A：a不是负数，含义是a≥0，原表示a＞0错误；
2. 选项B：m比3至少多1，即m减去3的差不小于1，可表示为m-3≥1，该式正确；
3. 选项C：x与1的和是非负数，含义是x+1≥0，原表示x+1＞0错误；
4. 选项D：x不大于3，含义是x≤3，原表示x＜3错误。
综上，只有B的不等关系表示正确。
1. 选项A：a不是负数，含义是a≥0，原表示a＞0错误；
2. 选项B：m比3至少多1，即m减去3的差不小于1，可表示为m-3≥1，该式正确；
3. 选项C：x与1的和是非负数，含义是x+1≥0，原表示x+1＞0错误；
4. 选项D：x不大于3，含义是x≤3，原表示x＜3错误。
综上，只有B的不等关系表示正确。
4. 下列不等式的变形正确的是 （）
A.由 $a ＜ b$，得 $ac ＜ bc$
B.由 $ac ＜ bc$，得 $a ＜ b$
C.由 $a ＜ b$，得 $ac^2 ＜ bc^2$
D.由 $ac^2 ＜ bc^2$，得 $a ＜ b$
A.由 $a ＜ b$，得 $ac ＜ bc$
B.由 $ac ＜ bc$，得 $a ＜ b$
C.由 $a ＜ b$，得 $ac^2 ＜ bc^2$
D.由 $ac^2 ＜ bc^2$，得 $a ＜ b$
答案
D
解析
根据不等式的基本性质逐一分析选项：
1. 选项A：当$c≤0$时，由$a＜b$不能推出$ac＜bc$，变形错误。
2. 选项B：当$c＜0$时，由$ac＜bc$两边除以$c$，不等号方向改变，得到$a＞b$，变形错误。
3. 选项C：当$c=0$时，$c^2=0$，此时$ac^2=bc^2$，变形错误。
4. 选项D：由$ac^2＜bc^2$可知$c^2＞0$（若$c^2=0$则两边相等，不符合条件），不等式两边同时除以正数$c^2$，不等号方向不变，可得$a＜b$，变形正确。
1. 选项A：当$c≤0$时，由$a＜b$不能推出$ac＜bc$，变形错误。
2. 选项B：当$c＜0$时，由$ac＜bc$两边除以$c$，不等号方向改变，得到$a＞b$，变形错误。
3. 选项C：当$c=0$时，$c^2=0$，此时$ac^2=bc^2$，变形错误。
4. 选项D：由$ac^2＜bc^2$可知$c^2＞0$（若$c^2=0$则两边相等，不符合条件），不等式两边同时除以正数$c^2$，不等号方向不变，可得$a＜b$，变形正确。
5. 将“a与b的和是负数”用不等式表示为。
答案
解：
a与b的和表示为$a+b$，负数是小于0的数，因此该语句用不等式表示为：
$a+b＜0$
a与b的和表示为$a+b$，负数是小于0的数，因此该语句用不等式表示为：
$a+b＜0$
6. 根据不等式的基本性质填空。（填“＞”“＜”或“=”）
(1)已知$a＞b$,则$a-1$$b-1$;
(2)若$a-4＜b-4$,则$a$$b$。
(1)已知$a＞b$,则$a-1$$b-1$;
(2)若$a-4＜b-4$,则$a$$b$。
答案
(1) $\boldsymbol{＞}$；(2) $\boldsymbol{＜}$
解析
解：
(1) 根据不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变。
已知$a＞b$，两边同时减1，可得$a-1 ＞ b-1$；
(2) 根据不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变。
已知$a-4 ＜ b-4$，两边同时加4，可得$a ＜ b$。
(1) 根据不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变。
已知$a＞b$，两边同时减1，可得$a-1 ＞ b-1$；
(2) 根据不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变。
已知$a-4 ＜ b-4$，两边同时加4，可得$a ＜ b$。
①由$ab＞bc$，得$a＞c$；②由$ab^2＞cb^2$，得$a＞c$；③由$b-a＜b-c$，得$a＞c$；④由$a^{2026}＞c^{2026}$，得$a＞c$；⑤$-a^n$和$(-a)^n$互为相反数；⑥$x＞3$是不等式$x+2＞1$的解集。
答案
解：
逐个判断6个结论的正误：
1. 对于①：不等式$ab＞bc$两边同时除以$b$，未说明$b＞0$，若$b＜0$，不等号方向改变，无法得到$a＞c$，故①错误。
2. 对于②：由$ab^2＞cb^2$可知$b^2≠0$，即$b^2＞0$，不等式两边同时除以正数$b^2$，不等号方向不变，可得$a＞c$，故②正确。
3. 对于③：对$b-a ＜ b-c$两边同时减去$b$，得$-a ＜ -c$，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$a＞c$，故③正确。
4. 对于④：2026是偶数，$a^{2026}＞c^{2026}$仅能得到$|a|＞|c|$，无法推出$a＞c$，例如$a=-4$，$c=2$时满足$a^{2026}＞c^{2026}$，但$a＜c$，故④错误。
5. 对于⑤：当$n$为奇数时，$(-a)^n=-a^n$，此时$-a^n = (-a)^n$，二者相等，不互为相反数，故⑤错误。
6. 对于⑥：解不等式$x+2＞1$，移项得$x＞ -1$，即该不等式的解集为$x＞-1$，$x＞3$不是它的全部解，故⑥错误。
综上，正确的结论为②③，共2个。
逐个判断6个结论的正误：
1. 对于①：不等式$ab＞bc$两边同时除以$b$，未说明$b＞0$，若$b＜0$，不等号方向改变，无法得到$a＞c$，故①错误。
2. 对于②：由$ab^2＞cb^2$可知$b^2≠0$，即$b^2＞0$，不等式两边同时除以正数$b^2$，不等号方向不变，可得$a＞c$，故②正确。
3. 对于③：对$b-a ＜ b-c$两边同时减去$b$，得$-a ＜ -c$，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$a＞c$，故③正确。
4. 对于④：2026是偶数，$a^{2026}＞c^{2026}$仅能得到$|a|＞|c|$，无法推出$a＞c$，例如$a=-4$，$c=2$时满足$a^{2026}＞c^{2026}$，但$a＜c$，故④错误。
5. 对于⑤：当$n$为奇数时，$(-a)^n=-a^n$，此时$-a^n = (-a)^n$，二者相等，不互为相反数，故⑤错误。
6. 对于⑥：解不等式$x+2＞1$，移项得$x＞ -1$，即该不等式的解集为$x＞-1$，$x＞3$不是它的全部解，故⑥错误。
综上，正确的结论为②③，共2个。
