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3. 剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚. 某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元.
(1)购进这两种剪纸的单价分别是多少元？
(2)设购进甲种剪纸$ x(x＞35) $套，购买甲、乙两种剪纸共花费$ y $元，求$ y $与$ x $之间的函数关系式.
(3)在(2)的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套. 该商家计划购进这批剪纸装饰套装所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰套装全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润.
(1)购进这两种剪纸的单价分别是多少元？
(2)设购进甲种剪纸$ x(x＞35) $套，购买甲、乙两种剪纸共花费$ y $元，求$ y $与$ x $之间的函数关系式.
(3)在(2)的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套. 该商家计划购进这批剪纸装饰套装所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰套装全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润.
答案
3.解:(1)设购进甲种剪纸的单价是$a$元,购进乙种剪纸的单价是$b$元.
根据题意,得$\begin{cases}3a+2b=230,\\2a+3b=220,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=50,\\b=40.\end{cases}$
故购进甲种剪纸的单价是50元,购进乙种剪纸的单价40元.
(2)根据题意,得$y=50x+40(60-x)=10x+2400$.
故$y$与$x$之间的函数关系式为$y=10x+2400$$(35＜x＜60)$.
(3)根据题意,得$10x+2400≤2800$,解得$x≤40$.$\because x＞35$,$\therefore35＜x≤40$.设商家获得的利润是$W$元,则$W=(65-50)x+(50-40)(60-x)=5x+600$.$\because5＞0$,$\therefore W$随$x$的增大而增大.
$\because35＜x≤40$,$\therefore$当$x=40$时,$W$的值最大,$W_{最大}=5×40+600=800$,$60-40=20$(套).
故购进甲种剪纸40套、乙种剪纸20套可使商家获得最大利润,最大利润是800元.
根据题意,得$\begin{cases}3a+2b=230,\\2a+3b=220,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=50,\\b=40.\end{cases}$
故购进甲种剪纸的单价是50元,购进乙种剪纸的单价40元.
(2)根据题意,得$y=50x+40(60-x)=10x+2400$.
故$y$与$x$之间的函数关系式为$y=10x+2400$$(35＜x＜60)$.
(3)根据题意,得$10x+2400≤2800$,解得$x≤40$.$\because x＞35$,$\therefore35＜x≤40$.设商家获得的利润是$W$元,则$W=(65-50)x+(50-40)(60-x)=5x+600$.$\because5＞0$,$\therefore W$随$x$的增大而增大.
$\because35＜x≤40$,$\therefore$当$x=40$时,$W$的值最大,$W_{最大}=5×40+600=800$,$60-40=20$(套).
故购进甲种剪纸40套、乙种剪纸20套可使商家获得最大利润,最大利润是800元.
解析
【分析】
(1) 第一问求两种剪纸的单价，属于二元一次方程组应用问题，我们可分别设甲、乙的单价为未知数，根据题目给出的两种购进方案的总费用列出等量关系，组成方程组求解即可。
(2) 第二问求总花费y和甲的数量x的函数关系式，总花费等于甲的总费用加乙的总费用，已知甲购进x套，乙就购进(60-x)套，乘各自单价后化简表达式，再结合x的限制条件写出取值范围即可。
(3) 第三问求最大利润，首先根据总费用不超过2800元的限制列不等式，求出x的取值上限，结合已知x＞35确定x的可行范围；再根据“总利润=甲的总利润+乙的总利润”列出利润关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性，在x的可行范围内找到使利润最大的x值，即可得到最优方案和最大利润。
【解析】
(1) 设购进甲种剪纸的单价是$a$元，购进乙种剪纸的单价是$b$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}3a+2b=230\\2a+3b=220\end{cases}$
给第一个方程乘2得$6a+4b=460$，第二个方程乘3得$6a+9b=660$，两式相减消去$a$得$5b=200$，解得$b=40$，将$b=40$代入$3a+2×40=230$，解得$a=50$。
(2) 已知购进甲种剪纸$x$套，则购进乙种剪纸$(60-x)$套，总花费$y$为：
$y=50x+40(60-x)$
化简得：$y=10x+2400$
结合$x＞35$，且乙的套数$60-x＞0$即$x＜60$，因此函数关系式为$y=10x+2400\quad(35＜x＜60)$。
(3) 根据总费用不超过2800元列不等式：
$10x+2400≤2800$
解得$x≤40$，结合$x＞35$，可得$x$的取值范围为$35＜x≤40$（$x$为正整数）。
设总利润为$W$元，甲每套利润为$(65-50)$元，乙每套利润为$(50-40)$元，则：
$W=(65-50)x+(50-40)(60-x)$
化简得$W=5x+600$
因为$5＞0$，所以$W$随$x$的增大而增大，因此当$x=40$时，$W$取得最大值。
此时$W_{最大}=5×40+600=800$元，乙的套数为$60-40=20$套。
【答案】
(1) 购进甲种剪纸的单价是50元，购进乙种剪纸的单价是40元；
(2) $y$与$x$的函数关系式为$y=10x+2400\quad(35＜x＜60)$；
(3) 购进甲种剪纸40套、乙种剪纸20套时商家获得最大利润，最大利润是800元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数应用，一元一次不等式应用
【点评】
本题以传统剪纸销售为生活背景，综合考查了方程、函数、不等式的相关知识，解题核心是准确梳理题目中的等量关系与不等关系，结合一次函数增减性求解最值，能有效锻炼学生解决实际应用问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问求两种剪纸的单价，属于二元一次方程组应用问题，我们可分别设甲、乙的单价为未知数，根据题目给出的两种购进方案的总费用列出等量关系，组成方程组求解即可。
(2) 第二问求总花费y和甲的数量x的函数关系式，总花费等于甲的总费用加乙的总费用，已知甲购进x套，乙就购进(60-x)套，乘各自单价后化简表达式，再结合x的限制条件写出取值范围即可。
(3) 第三问求最大利润，首先根据总费用不超过2800元的限制列不等式，求出x的取值上限，结合已知x＞35确定x的可行范围；再根据“总利润=甲的总利润+乙的总利润”列出利润关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性，在x的可行范围内找到使利润最大的x值，即可得到最优方案和最大利润。
【解析】
(1) 设购进甲种剪纸的单价是$a$元，购进乙种剪纸的单价是$b$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}3a+2b=230\\2a+3b=220\end{cases}$
给第一个方程乘2得$6a+4b=460$，第二个方程乘3得$6a+9b=660$，两式相减消去$a$得$5b=200$，解得$b=40$，将$b=40$代入$3a+2×40=230$，解得$a=50$。
(2) 已知购进甲种剪纸$x$套，则购进乙种剪纸$(60-x)$套，总花费$y$为：
$y=50x+40(60-x)$
化简得：$y=10x+2400$
结合$x＞35$，且乙的套数$60-x＞0$即$x＜60$，因此函数关系式为$y=10x+2400\quad(35＜x＜60)$。
(3) 根据总费用不超过2800元列不等式：
$10x+2400≤2800$
解得$x≤40$，结合$x＞35$，可得$x$的取值范围为$35＜x≤40$（$x$为正整数）。
设总利润为$W$元，甲每套利润为$(65-50)$元，乙每套利润为$(50-40)$元，则：
$W=(65-50)x+(50-40)(60-x)$
化简得$W=5x+600$
因为$5＞0$，所以$W$随$x$的增大而增大，因此当$x=40$时，$W$取得最大值。
此时$W_{最大}=5×40+600=800$元，乙的套数为$60-40=20$套。
【答案】
(1) 购进甲种剪纸的单价是50元，购进乙种剪纸的单价是40元；
(2) $y$与$x$的函数关系式为$y=10x+2400\quad(35＜x＜60)$；
(3) 购进甲种剪纸40套、乙种剪纸20套时商家获得最大利润，最大利润是800元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数应用，一元一次不等式应用
【点评】
本题以传统剪纸销售为生活背景，综合考查了方程、函数、不等式的相关知识，解题核心是准确梳理题目中的等量关系与不等关系，结合一次函数增减性求解最值，能有效锻炼学生解决实际应用问题的能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在$△ ABC$中,D,E分别为AB,AC的中点,$DF ⊥ BC$,垂足为F,点G在DE的延长线上,$DG=FC$.
(1)求证:四边形DFCG是矩形.
(2)若$∠ B=45°$,$DF=3$,$DG=5$,求AC的长.
(1)求证:四边形DFCG是矩形.
(2)若$∠ B=45°$,$DF=3$,$DG=5$,求AC的长.
答案
4.(1)证明:$\because$点D,E分别为AB,AC的中点,$\therefore DE// BC$.$\because DG=FC$,$\therefore$四边形DFCG是平行四边形.又$\because DF⊥ BC$,$\therefore∠ DFC=90°$,$\therefore$四边形DFCG是矩形.
(2)解:$\because∠ B=45°$,$DF⊥ BC$,$\therefore△ BDF$是等腰直角三角形,$\therefore BF=DF=3$.$\because DG=FC=5$,$\therefore BC=BF+FC=3+5=8$,由(1)可知,四边形DFCG是矩形,DE是$△ ABC$的中位线,$\therefore CG=DF=3$,$∠ G=90°$,$DE=\frac{1}{2}BC=4$,$\therefore EG=DG-DE=5-4=1$,$\therefore CE=\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$.$\because E$为AC的中点,$\therefore AC=2CE=2\sqrt{10}$.
(2)解:$\because∠ B=45°$,$DF⊥ BC$,$\therefore△ BDF$是等腰直角三角形,$\therefore BF=DF=3$.$\because DG=FC=5$,$\therefore BC=BF+FC=3+5=8$,由(1)可知,四边形DFCG是矩形,DE是$△ ABC$的中位线,$\therefore CG=DF=3$,$∠ G=90°$,$DE=\frac{1}{2}BC=4$,$\therefore EG=DG-DE=5-4=1$,$\therefore CE=\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$.$\because E$为AC的中点,$\therefore AC=2CE=2\sqrt{10}$.
解析
【分析】
(1)要证明四边形DFCG是矩形，可先证其为平行四边形，再证明有一个内角为直角。首先根据D、E是AB、AC中点，利用三角形中位线定理得DE//BC，即DG//FC，结合已知DG=FC，可判定四边形DFCG是平行四边形，再由DF⊥BC得到∠DFC=90°，即可得证矩形。
(2)要求AC的长，首先根据∠B=45°、DF⊥BC，可判断△BDF是等腰直角三角形，得BF=DF=3；再由DG=FC得FC=5，可求出BC的总长。结合三角形中位线定理求出DE的长度，进而得到EG的长，再利用矩形的性质得CG=DF=3、∠G=90°，用勾股定理求出CE的长度，最后根据E是AC中点，即可求出AC的长。
【解析】
(1)证明：
∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，即$DE// BC$。
∵$DG=FC$，且$DG// FC$，
∴四边形DFCG是平行四边形。
又
∵$DF⊥BC$，
∴$∠DFC=90°$，
∴四边形DFCG是矩形。
(2)解：
∵$∠B=45°$，$DF⊥BC$，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴$BF=DF=3$。
∵$DG=FC=5$，
∴$BC=BF+FC=3+5=8$。
由(1)可知四边形DFCG是矩形，DE是△ABC的中位线，
∴$CG=DF=3$，$∠G=90°$，$DE=\frac{1}{2}BC=4$，
∴$EG=DG-DE=5-4=1$，
在Rt△CEG中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
∵E为AC的中点，
∴$AC=2CE=2\sqrt{10}$。
【答案】
(1)四边形DFCG是矩形，证明成立；
(2)AC的长为$2\sqrt{10}$。
【知识点】
矩形的判定与性质；三角形中位线定理；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，将平行四边形判定、矩形性质、中位线定理和勾股定理结合考查，解题的关键是熟练掌握各类几何图形的性质，逐步推导对应边的长度，是几何部分常见的考查题型。
【难度系数】
0.7
(1)要证明四边形DFCG是矩形，可先证其为平行四边形，再证明有一个内角为直角。首先根据D、E是AB、AC中点，利用三角形中位线定理得DE//BC，即DG//FC，结合已知DG=FC，可判定四边形DFCG是平行四边形，再由DF⊥BC得到∠DFC=90°，即可得证矩形。
(2)要求AC的长，首先根据∠B=45°、DF⊥BC，可判断△BDF是等腰直角三角形，得BF=DF=3；再由DG=FC得FC=5，可求出BC的总长。结合三角形中位线定理求出DE的长度，进而得到EG的长，再利用矩形的性质得CG=DF=3、∠G=90°，用勾股定理求出CE的长度，最后根据E是AC中点，即可求出AC的长。
【解析】
(1)证明：
∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，即$DE// BC$。
∵$DG=FC$，且$DG// FC$，
∴四边形DFCG是平行四边形。
又
∵$DF⊥BC$，
∴$∠DFC=90°$，
∴四边形DFCG是矩形。
(2)解：
∵$∠B=45°$，$DF⊥BC$，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴$BF=DF=3$。
∵$DG=FC=5$，
∴$BC=BF+FC=3+5=8$。
由(1)可知四边形DFCG是矩形，DE是△ABC的中位线，
∴$CG=DF=3$，$∠G=90°$，$DE=\frac{1}{2}BC=4$，
∴$EG=DG-DE=5-4=1$，
在Rt△CEG中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
∵E为AC的中点，
∴$AC=2CE=2\sqrt{10}$。
【答案】
(1)四边形DFCG是矩形，证明成立；
(2)AC的长为$2\sqrt{10}$。
【知识点】
矩形的判定与性质；三角形中位线定理；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，将平行四边形判定、矩形性质、中位线定理和勾股定理结合考查，解题的关键是熟练掌握各类几何图形的性质，逐步推导对应边的长度，是几何部分常见的考查题型。
【难度系数】
0.7
