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2.“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问:水深几何?”这是我国数学史上的“葭生池中”问题，如图，$AC=5$，$DC=1$，$BD=BA$，则$BC=$
12
.答案
2.12
解析
【分析】首先观察图形可知△ACB是直角三角形，要求BC的长度，我们可以设BC为x，根据BD=BA、BD=BC+DC，可将BA表示为x+1，再结合勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）列出方程，求解方程即可得到BC的长度。
【解析】设BC的长为$x$，
∵$DC=1$，$BD=BA$，
∴$BA=BD=BC+DC=x+1$，
又
∵$∠ ACB=90°$，△ACB为直角三角形，根据勾股定理可得：
$AC^2+BC^2=AB^2$
代入$AC=5$得：
$5^2+x^2=(x+1)^2$
展开计算：$25+x^2=x^2+2x+1$
消去等式两边的$x^2$，得：$25=2x+1$
移项求解得：$2x=24$，$x=12$
【答案】12
【知识点】勾股定理；一元一次方程应用
【点评】本题是经典的古代数学实际应用问题，核心是结合图形识别直角三角形，梳理各边的数量关系，通过设未知数列方程求解，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】0.7
【解析】设BC的长为$x$，
∵$DC=1$，$BD=BA$，
∴$BA=BD=BC+DC=x+1$，
又
∵$∠ ACB=90°$，△ACB为直角三角形，根据勾股定理可得：
$AC^2+BC^2=AB^2$
代入$AC=5$得：
$5^2+x^2=(x+1)^2$
展开计算：$25+x^2=x^2+2x+1$
消去等式两边的$x^2$，得：$25=2x+1$
移项求解得：$2x=24$，$x=12$
【答案】12
【知识点】勾股定理；一元一次方程应用
【点评】本题是经典的古代数学实际应用问题，核心是结合图形识别直角三角形，梳理各边的数量关系，通过设未知数列方程求解，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】0.7
3.已知A、B两地是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离s(km)与运动时间t(h)的函数关系大致如图所示，则下列结论正确的有
①两人出发2 h后相遇；②甲骑自行车的速度为60 km/h；③乙比甲提前2 h到达目的地；
④乙到达目的地时两人相距200 km.
①②④
.(填序号)①两人出发2 h后相遇；②甲骑自行车的速度为60 km/h；③乙比甲提前2 h到达目的地；
④乙到达目的地时两人相距200 km.
答案
3.①②④
解析
【分析】
首先明确函数图像的横、纵坐标含义：横坐标t是行驶时间，纵坐标s是两人之间的距离。先提取基础信息：t=0时s=300km，即A、B两地总路程为300km；t=5h时s回到300km，结合“乙先到达目的地”的条件，可知此时甲刚好走完300km到达B地。再逐个分析结论：①t=2h时s=0，说明两人距离为0，可直接判断相遇结论；②已知甲全程用时5h，用总路程除以总时间即可得甲的速度；③先根据相遇时两人的路程和为300km算出乙的速度，再算出乙走完全程的时间，和甲的总用时作差即可判断提前时间是否正确；④乙到达目的地时已停在A地，此时两人的距离就是甲行驶的路程，计算该路程即可判断结论。
【解析】
1. 基础信息提取：由图可知A、B两地相距300km，甲走完全程用时5h。
2. 判断①：当t=2h时，两人之间的距离s=0，说明出发2h后两人相遇，①正确。
3. 判断②：甲的速度为$v_甲=\frac{300\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=60\mathrm{km/h}$，②正确。
4. 计算乙的速度：相遇时甲行驶的路程为$60\mathrm{km/h} × 2\mathrm{h}=120\mathrm{km}$，则乙2h行驶的路程为$300\mathrm{km}-120\mathrm{km}=180\mathrm{km}$，乙的速度为$v_乙=\frac{180\mathrm{km}}{2\mathrm{h}}=90\mathrm{km/h}$。
5. 判断③：乙走完全程的时间为$t_乙=\frac{300\mathrm{km}}{90\mathrm{km/h}}=\frac{10}{3}\mathrm{h}$，乙比甲提前的时间为$5\mathrm{h}-\frac{10}{3}\mathrm{h}=\frac{5}{3}\mathrm{h}≠2\mathrm{h}$，③错误。
6. 判断④：乙到达目的地时，甲行驶的路程为$60\mathrm{km/h} × \frac{10}{3}\mathrm{h}=200\mathrm{km}$，此时乙在A地，两人相距200km，④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
一次函数图像应用，行程相遇问题，路程速度时间关系
【点评】
本题解题核心是读懂函数图像的实际意义，从图像中提取时间、路程的有效信息，结合行程问题的基本公式计算验证各结论即可，属于常规的函数结合实际应用的题型。
【难度系数】
0.7
首先明确函数图像的横、纵坐标含义：横坐标t是行驶时间，纵坐标s是两人之间的距离。先提取基础信息：t=0时s=300km，即A、B两地总路程为300km；t=5h时s回到300km，结合“乙先到达目的地”的条件，可知此时甲刚好走完300km到达B地。再逐个分析结论：①t=2h时s=0，说明两人距离为0，可直接判断相遇结论；②已知甲全程用时5h，用总路程除以总时间即可得甲的速度；③先根据相遇时两人的路程和为300km算出乙的速度，再算出乙走完全程的时间，和甲的总用时作差即可判断提前时间是否正确；④乙到达目的地时已停在A地，此时两人的距离就是甲行驶的路程，计算该路程即可判断结论。
【解析】
1. 基础信息提取：由图可知A、B两地相距300km，甲走完全程用时5h。
2. 判断①：当t=2h时，两人之间的距离s=0，说明出发2h后两人相遇，①正确。
3. 判断②：甲的速度为$v_甲=\frac{300\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=60\mathrm{km/h}$，②正确。
4. 计算乙的速度：相遇时甲行驶的路程为$60\mathrm{km/h} × 2\mathrm{h}=120\mathrm{km}$，则乙2h行驶的路程为$300\mathrm{km}-120\mathrm{km}=180\mathrm{km}$，乙的速度为$v_乙=\frac{180\mathrm{km}}{2\mathrm{h}}=90\mathrm{km/h}$。
5. 判断③：乙走完全程的时间为$t_乙=\frac{300\mathrm{km}}{90\mathrm{km/h}}=\frac{10}{3}\mathrm{h}$，乙比甲提前的时间为$5\mathrm{h}-\frac{10}{3}\mathrm{h}=\frac{5}{3}\mathrm{h}≠2\mathrm{h}$，③错误。
6. 判断④：乙到达目的地时，甲行驶的路程为$60\mathrm{km/h} × \frac{10}{3}\mathrm{h}=200\mathrm{km}$，此时乙在A地，两人相距200km，④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
一次函数图像应用，行程相遇问题，路程速度时间关系
【点评】
本题解题核心是读懂函数图像的实际意义，从图像中提取时间、路程的有效信息，结合行程问题的基本公式计算验证各结论即可，属于常规的函数结合实际应用的题型。
【难度系数】
0.7
4.如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，AE与BF相交于点G，连接CG，则CG的最小值为
$\sqrt{5}-1$
.答案
4.$\sqrt{5}-1$
解析
【分析】
首先利用正方形的性质结合已知条件BE=CF证明△ABE≌△BCF，推导得出AE⊥BF，即∠AGB=90°始终成立，由此确定动点G的轨迹是以AB为直径的圆；再根据点到圆上各点的最短距离为点到圆心的距离减去半径，计算OC的长度后减去半径即可得到CG的最小值。
【解析】
取AB的中点O，连接OC。
1.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠ABE=∠BCF=90°。
2. 在△ABE和△BCF中：
$\{\begin{array}{l}AB=BC\\ ∠ ABE=∠ BCF\\ BE=CF\end{array} $
∴△ABE≌△BCF（SAS）。
3.
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CBF+∠AEB=90°，即∠BGE=90°，
∴AE⊥BF，故∠AGB=90°恒成立。
4. 根据圆的性质，直角所对的弦为直径，可知点G的轨迹是以AB为直径的圆，圆心为AB中点O，半径$r=\frac{1}{2}AB=1$。
5. 在Rt△OBC中，OB=1，BC=2，由勾股定理得：$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
6. 点C为圆O外一点，圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，因此CG的最小值为$OC - r=\sqrt{5}-1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
1. 正方形的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 点与圆的位置关系
【点评】
本题属于几何动点最值问题，解题的核心是通过角度关系确定动点的运动轨迹为圆，再结合点到圆的距离性质求解最值，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
首先利用正方形的性质结合已知条件BE=CF证明△ABE≌△BCF，推导得出AE⊥BF，即∠AGB=90°始终成立，由此确定动点G的轨迹是以AB为直径的圆；再根据点到圆上各点的最短距离为点到圆心的距离减去半径，计算OC的长度后减去半径即可得到CG的最小值。
【解析】
取AB的中点O，连接OC。
1.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠ABE=∠BCF=90°。
2. 在△ABE和△BCF中：
$\{\begin{array}{l}AB=BC\\ ∠ ABE=∠ BCF\\ BE=CF\end{array} $
∴△ABE≌△BCF（SAS）。
3.
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CBF+∠AEB=90°，即∠BGE=90°，
∴AE⊥BF，故∠AGB=90°恒成立。
4. 根据圆的性质，直角所对的弦为直径，可知点G的轨迹是以AB为直径的圆，圆心为AB中点O，半径$r=\frac{1}{2}AB=1$。
5. 在Rt△OBC中，OB=1，BC=2，由勾股定理得：$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
6. 点C为圆O外一点，圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，因此CG的最小值为$OC - r=\sqrt{5}-1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
1. 正方形的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 点与圆的位置关系
【点评】
本题属于几何动点最值问题，解题的核心是通过角度关系确定动点的运动轨迹为圆，再结合点到圆的距离性质求解最值，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
1. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BCA=90°$，$AC=12$，$AB=13$，点$D$是$\mathrm{Rt}△ ABC$外一点，连接$DC$，$DB$，且$CD=4$，$BD=3$.
(1)求证：$∠ D=90°$.
(2)求四边形$ABCD$的面积.
(1)求证：$∠ D=90°$.
(2)求四边形$ABCD$的面积.
答案
1.(1)证明:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠BCA=90°$,$AC=12$,$AB=13$,$\therefore BC^2=AB^2-AC^2=13^2-12^2=25$,$\therefore BC=5$.$\because CD=4$,$BD=3$,$\therefore CD^2+BD^2=4^2+3^2=25$,$\therefore CD^2+BD^2=BC^2$,$\therefore △ DBC$是直角三角形,且$∠D=90°$.
(2)解:由(1)知$△ DBC$是直角三角形,$\therefore S_{△ DBC}=\frac{1}{2}BD· DC=\frac{1}{2}×3×4=6$;由(1)知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠BCA=90°$,$AC=12$,$BC=5$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AC=\frac{1}{2}×5×12=30$,$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ DBC}=30+6=36$.
(2)解:由(1)知$△ DBC$是直角三角形,$\therefore S_{△ DBC}=\frac{1}{2}BD· DC=\frac{1}{2}×3×4=6$;由(1)知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠BCA=90°$,$AC=12$,$BC=5$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AC=\frac{1}{2}×5×12=30$,$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ DBC}=30+6=36$.
解析
【分析】
(1) 要证明∠D=90°，本质是证明△DBC是直角三角形。首先在Rt△ABC中，已知斜边AB和直角边AC，可先用勾股定理求出BC的长度；再结合已知的BD、CD长度，验证BD²+CD²是否等于BC²，若相等即可根据勾股定理的逆定理判定△DBC是直角三角形，且∠D为直角。
(2) 求四边形ABCD的面积时，可将四边形分割为△ABC和△DBC两个三角形，分别计算两个直角三角形的面积后相加，即可得到四边形的总面积。
【解析】
(1) 证明:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠BCA=90°$,$AC=12$,$AB=13$,
$\therefore BC^2=AB^2-AC^2=13^2-12^2=25$,$\therefore BC=5$.
$\because CD=4$,$BD=3$,
$\therefore CD^2+BD^2=4^2+3^2=25$,
$\therefore CD^2+BD^2=BC^2$,
$\therefore △ DBC$是直角三角形,且$∠D=90°$.
(2) 解:由(1)知$△ DBC$是直角三角形,
$\therefore S_{△ DBC}=\frac{1}{2}BD· DC=\frac{1}{2}×3×4=6$;
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠BCA=90°$,$AC=12$,$BC=5$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AC=\frac{1}{2}×5×12=30$,
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ DBC}=30+6=36$.
【答案】
(1) ∠D=90°得证；(2) 四边形ABCD的面积为36
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何基础常规题，解题关键是先求出公共边BC的长度，再结合勾股定理逆定理判断直角三角形，通过分割法将不规则四边形转化为两个直角三角形计算面积，逻辑清晰，容易上手。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明∠D=90°，本质是证明△DBC是直角三角形。首先在Rt△ABC中，已知斜边AB和直角边AC，可先用勾股定理求出BC的长度；再结合已知的BD、CD长度，验证BD²+CD²是否等于BC²，若相等即可根据勾股定理的逆定理判定△DBC是直角三角形，且∠D为直角。
(2) 求四边形ABCD的面积时，可将四边形分割为△ABC和△DBC两个三角形，分别计算两个直角三角形的面积后相加，即可得到四边形的总面积。
【解析】
(1) 证明:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠BCA=90°$,$AC=12$,$AB=13$,
$\therefore BC^2=AB^2-AC^2=13^2-12^2=25$,$\therefore BC=5$.
$\because CD=4$,$BD=3$,
$\therefore CD^2+BD^2=4^2+3^2=25$,
$\therefore CD^2+BD^2=BC^2$,
$\therefore △ DBC$是直角三角形,且$∠D=90°$.
(2) 解:由(1)知$△ DBC$是直角三角形,
$\therefore S_{△ DBC}=\frac{1}{2}BD· DC=\frac{1}{2}×3×4=6$;
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠BCA=90°$,$AC=12$,$BC=5$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AC=\frac{1}{2}×5×12=30$,
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ DBC}=30+6=36$.
【答案】
(1) ∠D=90°得证；(2) 四边形ABCD的面积为36
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何基础常规题，解题关键是先求出公共边BC的长度，再结合勾股定理逆定理判断直角三角形，通过分割法将不规则四边形转化为两个直角三角形计算面积，逻辑清晰，容易上手。
【难度系数】
0.8
2.【数据收集】某市射击队为了从A,B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行8轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A,B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集.
【数据整理】如图1，将A,B两名选手8轮射击成绩绘制成如下的统计图.
(1)小华利用平均数和方差进行分析.①处应填
(2)小颖利用四分位数、箱线图(如图2)进行分析.下表中的一部分数据被污染了，请你帮她计算出选手A 8轮射击成绩的四分位数：$m_{25}=$
(3)根据小华和小颖的分析，A,B两名选手中应选拔
【数据整理】如图1，将A,B两名选手8轮射击成绩绘制成如下的统计图.
(1)小华利用平均数和方差进行分析.①处应填
9
，由表格中的数据可以看出选手B
(填“A”或“B”)的发挥更稳定.(2)小颖利用四分位数、箱线图(如图2)进行分析.下表中的一部分数据被污染了，请你帮她计算出选手A 8轮射击成绩的四分位数：$m_{25}=$
7.5
；$m_{50}=$9
；$m_{75}=$9.5
.(3)根据小华和小颖的分析，A,B两名选手中应选拔
B
(填“A”或“B”)参加青少年射击比赛.答案
2.解:(1)选手B的平均成绩为$\frac{1}{8}×(10+8+8+9+10+9+8+10)=9$(环),①处应填9.选手A的方差为1.75,选手B的方差为0.75,由于0.75＜1.75,因此选手B的发挥更稳定.
(2)将选手A的成绩排序:6,7,8,9,9,9,10,10,数据个数为偶数,中位数为第4个和第5个数据的平均数:$(9+9)÷2=9$.下四分位数$(m_{25})$是下半部分数据(前4个:6,7,8,9)的中位数,取第2个和第3个数据的平均数:$(7+8)÷2=7.5$.上四分位数$(m_{75})$是上半部分数据(后4个:9,9,10,10)的中位数,取第6个和第7个数据的平均数:$(9+10)÷2=9.5$.因此,选手A的四分位数为:$m_{25}=7.5$,$m_{50}=9$,$m_{75}=9.5$.
(3)小华的分析显示选手B成绩的方差更小,更稳定,且平均数更高.小颖的分析显示选手B成绩分布更集中(四分位数的范围小).综合来看,选手B成绩更优且更稳定,因此应选拔B参加青少年射击比赛.
(2)将选手A的成绩排序:6,7,8,9,9,9,10,10,数据个数为偶数,中位数为第4个和第5个数据的平均数:$(9+9)÷2=9$.下四分位数$(m_{25})$是下半部分数据(前4个:6,7,8,9)的中位数,取第2个和第3个数据的平均数:$(7+8)÷2=7.5$.上四分位数$(m_{75})$是上半部分数据(后4个:9,9,10,10)的中位数,取第6个和第7个数据的平均数:$(9+10)÷2=9.5$.因此,选手A的四分位数为:$m_{25}=7.5$,$m_{50}=9$,$m_{75}=9.5$.
(3)小华的分析显示选手B成绩的方差更小,更稳定,且平均数更高.小颖的分析显示选手B成绩分布更集中(四分位数的范围小).综合来看,选手B成绩更优且更稳定,因此应选拔B参加青少年射击比赛.
解析
【分析】
(1) 第一问首先需要计算B选手的平均成绩，平均数的计算方法是所有成绩的总和除以射击轮次，即可得到①处的数值；再根据方差的意义：方差越小，数据的波动越小，选手发挥越稳定，比较A、B两人的方差就能判断谁的发挥更稳定。
(2) 第二问计算四分位数，首先要将A选手的8轮射击成绩从小到大排序，$m_{50}$即中位数，是排序后中间两个数据的平均数；$m_{25}$是下四分位数，为排序后前半部分数据的中位数；$m_{75}$是上四分位数，为排序后后半部分数据的中位数，按照偶数个数据求中位数的规则计算即可。
(3) 第三问综合两个统计分析的结论，平均成绩高说明整体射击水平更高，方差小、四分位数范围小说明发挥更稳定，选择综合表现更优的选手即可。
【解析】
(1) 选手B的平均成绩为：$\frac{1}{8}×(10+8+8+9+10+9+8+10)=9$（环），因此①处填9。已知选手A的方差为1.75，选手B的方差为0.75，因为$0.75＜1.75$，方差越小发挥越稳定，所以选手B的发挥更稳定。
(2) 先将选手A的8轮成绩从小到大排序：6，7，8，9，9，9，10，10。
$m_{50}$即中位数，是排序后第4个和第5个数据的平均数：$\frac{9+9}{2}=9$；
$m_{25}$是下四分位数，取前半部分4个数据：6，7，8，9的中位数，即第2个和第3个数据的平均数：$\frac{7+8}{2}=7.5$；
$m_{75}$是上四分位数，取后半部分4个数据：9，9，10，10的中位数，即第6个和第7个数据的平均数：$\frac{9+10}{2}=9.5$。
(3) 综合分析可知，选手B的平均成绩更高，方差更小、发挥更稳定，且成绩分布更集中，因此应选拔B参加青少年射击比赛。
【答案】
(1) 9；B
(2) 7.5；9；9.5
(3) B
【知识点】
平均数与方差，四分位数计算，统计决策
【点评】
本题结合射击选手选拔的实际场景，考查了常见统计量的计算方法与实际意义，解题时需明确不同统计量反映的数据特征，能够结合多个统计量的结果综合分析，做出合理决策。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问首先需要计算B选手的平均成绩，平均数的计算方法是所有成绩的总和除以射击轮次，即可得到①处的数值；再根据方差的意义：方差越小，数据的波动越小，选手发挥越稳定，比较A、B两人的方差就能判断谁的发挥更稳定。
(2) 第二问计算四分位数，首先要将A选手的8轮射击成绩从小到大排序，$m_{50}$即中位数，是排序后中间两个数据的平均数；$m_{25}$是下四分位数，为排序后前半部分数据的中位数；$m_{75}$是上四分位数，为排序后后半部分数据的中位数，按照偶数个数据求中位数的规则计算即可。
(3) 第三问综合两个统计分析的结论，平均成绩高说明整体射击水平更高，方差小、四分位数范围小说明发挥更稳定，选择综合表现更优的选手即可。
【解析】
(1) 选手B的平均成绩为：$\frac{1}{8}×(10+8+8+9+10+9+8+10)=9$（环），因此①处填9。已知选手A的方差为1.75，选手B的方差为0.75，因为$0.75＜1.75$，方差越小发挥越稳定，所以选手B的发挥更稳定。
(2) 先将选手A的8轮成绩从小到大排序：6，7，8，9，9，9，10，10。
$m_{50}$即中位数，是排序后第4个和第5个数据的平均数：$\frac{9+9}{2}=9$；
$m_{25}$是下四分位数，取前半部分4个数据：6，7，8，9的中位数，即第2个和第3个数据的平均数：$\frac{7+8}{2}=7.5$；
$m_{75}$是上四分位数，取后半部分4个数据：9，9，10，10的中位数，即第6个和第7个数据的平均数：$\frac{9+10}{2}=9.5$。
(3) 综合分析可知，选手B的平均成绩更高，方差更小、发挥更稳定，且成绩分布更集中，因此应选拔B参加青少年射击比赛。
【答案】
(1) 9；B
(2) 7.5；9；9.5
(3) B
【知识点】
平均数与方差，四分位数计算，统计决策
【点评】
本题结合射击选手选拔的实际场景，考查了常见统计量的计算方法与实际意义，解题时需明确不同统计量反映的数据特征，能够结合多个统计量的结果综合分析，做出合理决策。
【难度系数】
0.7
