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5. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与x轴交于点$A(-4,0)$,与y轴交于点B,且与正比例函数$y=\frac{3}{2}x$的图象交于点$C(m,6)$.
(1)求一次函数的解析式.
(2)求$△ BOC$的面积.
(3)在x轴上是否存在一点P,使得$△ ABP$是等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求一次函数的解析式.
(2)求$△ BOC$的面积.
(3)在x轴上是否存在一点P,使得$△ ABP$是等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
5.解:(1)$\because$将点$C(m,6)$代入$y=\frac{3}{2}x$,$\therefore6=\frac{3}{2}m$,$\therefore m=4$,$\therefore C(4,6)$.设一次函数的解析式为$y=kx+b$,$\therefore\begin{cases}4k+b=6,\\-4k+b=0,\end{cases}$$\therefore\begin{cases}k=\frac{3}{4},\\b=3,\end{cases}$$\therefore$一次函数的解析式为$y=\frac{3}{4}x+3$.
(2)在$y=\frac{3}{4}x+3$中,令$x=0$,得$y=3$,$\therefore B(0,3)$,$\therefore S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB·|x_C|=\frac{1}{2}×3×4=6$.
(3)在$x$轴上存在一点$P$,使得$△ ABP$是等腰三角形,理由如下:
$\because A(-4,0)$,$B(0,3)$,$\therefore AB=5$,$OA=4$.当$B$为等腰三角形的顶角顶点时,点$P$与点$A$关于$y$轴对称,$\therefore P(4,0)$;当$A$为等腰三角形的顶角顶点时,$AP=AB=5$,$\therefore P(-9,0)$或$P(1,0)$;当$P$为等腰三角形的顶角顶点时,设$P(t,0)$,$\because PA=PB$,$\therefore(t+4)^2=t^2+9$,解得$t=-\frac{7}{8}$,$\therefore P(-\frac{7}{8},0)$.综上所述,点$P$的坐标为$(-9,0)$或$(1,0)$或$(4,0)$或$(-\frac{7}{8},0)$.
(2)在$y=\frac{3}{4}x+3$中,令$x=0$,得$y=3$,$\therefore B(0,3)$,$\therefore S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB·|x_C|=\frac{1}{2}×3×4=6$.
(3)在$x$轴上存在一点$P$,使得$△ ABP$是等腰三角形,理由如下:
$\because A(-4,0)$,$B(0,3)$,$\therefore AB=5$,$OA=4$.当$B$为等腰三角形的顶角顶点时,点$P$与点$A$关于$y$轴对称,$\therefore P(4,0)$;当$A$为等腰三角形的顶角顶点时,$AP=AB=5$,$\therefore P(-9,0)$或$P(1,0)$;当$P$为等腰三角形的顶角顶点时,设$P(t,0)$,$\because PA=PB$,$\therefore(t+4)^2=t^2+9$,解得$t=-\frac{7}{8}$,$\therefore P(-\frac{7}{8},0)$.综上所述,点$P$的坐标为$(-9,0)$或$(1,0)$或$(4,0)$或$(-\frac{7}{8},0)$.
解析
【分析】
(1) 求一次函数解析式需先确定其经过的两个点坐标：先将点C的纵坐标代入正比例函数解析式求出m，得到C点坐标，再结合已知的A点坐标，用待定系数法列二元一次方程组，即可求解一次函数的系数。
(2) 求△BOC的面积，首先求出一次函数与y轴交点B的坐标得到OB的长度，△BOC以OB为底，点C的横坐标的绝对值为高，代入三角形面积公式计算即可。
(3) 等腰三角形存在性问题需按顶角顶点的不同分三类讨论：①B为顶角顶点，BA=BP；②A为顶角顶点，AB=AP；③P为顶角顶点，PA=PB。结合P在x轴上（纵坐标为0）的条件，分别计算各情况对应的P点坐标，避免漏解。
【解析】
(1) 将点$C(m,6)$代入$y=\frac{3}{2}x$，得$6=\frac{3}{2}m$，解得$m=4$，即$C(4,6)$。
设一次函数的解析式为$y=kx+b$，将$A(-4,0)$、$C(4,6)$代入得：
$\begin{cases} -4k+b=0 \\ 4k+b=6 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\frac{3}{4} \\ b=3 \end{cases}$
(2) 在$y=\frac{3}{4}x+3$中，令$x=0$，得$y=3$，即$B(0,3)$，$OB=3$。
则$S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × OB × |x_C|=\frac{1}{2} × 3 × 4=6$。
(3) 由$A(-4,0)$、$B(0,3)$，得$AB=\sqrt{(-4-0)^2+(0-3)^2}=5$。
①当B为顶角顶点时，$BA=BP$，BO垂直平分AP，P与A关于y轴对称，得$P(4,0)$；
②当A为顶角顶点时，$AP=AB=5$，若P在A左侧，坐标为$(-4-5,0)=(-9,0)$，若P在A右侧，坐标为$(-4+5,0)=(1,0)$；
③当P为顶角顶点时，$PA=PB$，设$P(t,0)$，则$(t+4)^2=t^2+3^2$，解得$t=-\frac{7}{8}$，即$P(-\frac{7}{8},0)$。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{4}x+3$
(2) $6$
(3) 存在，坐标为$(-9,0)$、$(1,0)$、$(4,0)$、$(-\frac{7}{8},0)$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数图象性质，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题是一次函数基础综合题，涵盖解析式求解、几何面积计算、存在性探究三类常考题型，解题关键是熟练掌握待定系数法，处理存在性问题时要做到分类全面不遗漏，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
(1) 求一次函数解析式需先确定其经过的两个点坐标：先将点C的纵坐标代入正比例函数解析式求出m，得到C点坐标，再结合已知的A点坐标，用待定系数法列二元一次方程组，即可求解一次函数的系数。
(2) 求△BOC的面积，首先求出一次函数与y轴交点B的坐标得到OB的长度，△BOC以OB为底，点C的横坐标的绝对值为高，代入三角形面积公式计算即可。
(3) 等腰三角形存在性问题需按顶角顶点的不同分三类讨论：①B为顶角顶点，BA=BP；②A为顶角顶点，AB=AP；③P为顶角顶点，PA=PB。结合P在x轴上（纵坐标为0）的条件，分别计算各情况对应的P点坐标，避免漏解。
【解析】
(1) 将点$C(m,6)$代入$y=\frac{3}{2}x$，得$6=\frac{3}{2}m$，解得$m=4$，即$C(4,6)$。
设一次函数的解析式为$y=kx+b$，将$A(-4,0)$、$C(4,6)$代入得：
$\begin{cases} -4k+b=0 \\ 4k+b=6 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\frac{3}{4} \\ b=3 \end{cases}$
(2) 在$y=\frac{3}{4}x+3$中，令$x=0$，得$y=3$，即$B(0,3)$，$OB=3$。
则$S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × OB × |x_C|=\frac{1}{2} × 3 × 4=6$。
(3) 由$A(-4,0)$、$B(0,3)$，得$AB=\sqrt{(-4-0)^2+(0-3)^2}=5$。
①当B为顶角顶点时，$BA=BP$，BO垂直平分AP，P与A关于y轴对称，得$P(4,0)$；
②当A为顶角顶点时，$AP=AB=5$，若P在A左侧，坐标为$(-4-5,0)=(-9,0)$，若P在A右侧，坐标为$(-4+5,0)=(1,0)$；
③当P为顶角顶点时，$PA=PB$，设$P(t,0)$，则$(t+4)^2=t^2+3^2$，解得$t=-\frac{7}{8}$，即$P(-\frac{7}{8},0)$。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{4}x+3$
(2) $6$
(3) 存在，坐标为$(-9,0)$、$(1,0)$、$(4,0)$、$(-\frac{7}{8},0)$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数图象性质，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题是一次函数基础综合题，涵盖解析式求解、几何面积计算、存在性探究三类常考题型，解题关键是熟练掌握待定系数法，处理存在性问题时要做到分类全面不遗漏，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
假设你的家庭(不超过5人)计划在暑假进行一次本市或邻市的一日游，你需要规划从家到景区的交通方案.
调查几种交通方式(如自驾、租车、乘坐公共交通工具)的费用计算规则.例如:自驾的费用包括油费和停车费;租车的费用包括固定日租金和油费;乘坐公共交通工具的费用为固定票价×人数.将每种方案的总费用表示为关于出行距离或出行人数的一次函数(如 $y=kx+b$ 的形式),并解释 $k$ 和 $b$ 的实际意义.
根据你离景区的距离和家庭人数,利用你建立的函数模型进行计算和比较.撰写一份简短的家庭出游方案建议,说明在何种情况下选择哪种方案最经济实惠,并用你的函数计算加以证明.
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调查几种交通方式(如自驾、租车、乘坐公共交通工具)的费用计算规则.例如:自驾的费用包括油费和停车费;租车的费用包括固定日租金和油费;乘坐公共交通工具的费用为固定票价×人数.将每种方案的总费用表示为关于出行距离或出行人数的一次函数(如 $y=kx+b$ 的形式),并解释 $k$ 和 $b$ 的实际意义.
根据你离景区的距离和家庭人数,利用你建立的函数模型进行计算和比较.撰写一份简短的家庭出游方案建议,说明在何种情况下选择哪种方案最经济实惠,并用你的函数计算加以证明.
答案
解：
步骤1：定义三种交通方式的一次函数模型
设定调研得到的本地一日游交通计费规则，分别建立函数：
1. 公共交通出行：单人往返固定票价为10元，总费用关于出行人数$x$（$1≤ x≤5$，$x$为正整数）的函数为：
$y_1=10x$
其中$k=10$的实际意义：每增加1名出行人员，公共交通总费用增加10元；$b=0$的实际意义：出行人数为0时总费用为0。
2. 自驾家用车出行：家用车每千米油费约0.6元，景区一日固定停车费20元，总费用关于往返出行距离$s$（单位：千米，$s＞0$）的函数为：
$y_2=0.6s+20$
其中$k=0.6$的实际意义：每增加1千米往返行驶距离，自驾的油费增加0.6元；$b=20$的实际意义：自驾出行的固定停车费用，和行驶距离无关。
3. 租赁代步车出行：车辆日租金120元，每千米油费约0.6元，无需额外支付停车费，总费用关于往返出行距离$s$（单位：千米，$s＞0$）的函数为：
$y_3=0.6s+120$
其中$k=0.6$的实际意义：每增加1千米往返行驶距离，租车的油费增加0.6元；$b=120$的实际意义：租车的固定日租金，和行驶距离无关。
---
步骤2：分场景计算比较
设定本次出游家庭共3人，家到景区往返总距离为50千米，代入函数计算：
公共交通总费用：$y_1=10×3=30$元
自驾总费用：$y_2=0.6×50+20=50$元
租车总费用：$y_3=0.6×50+120=150$元
此时$y_1＜y_2＜y_3$，公共交通成本最低。
进一步做通用情况推导：
1. 对比自驾和租车：两个函数斜率$k$相等，$y_3-y_2=100＞0$，任意行驶距离下租车总费用都高于自驾，无特殊情况无需选择租车。
2. 对比公共交通和自驾：
当出行人数为3时，令$10×3=0.6s+20$，解得$s\approx16.7$千米：
若$s＜16.7$千米，$y_2＜y_1$，自驾更便宜；
若$s＞16.7$千米，$y_1＜y_2$，公共交通更便宜。
当出行人数为5时，令$10×5=0.6s+20$，解得$s=50$千米：
若$s＜50$千米，$y_2＜y_1$，自驾更便宜；
若$s＞50$千米，$y_1＜y_2$，公共交通更便宜。
---
家庭出游方案建议
1. 若出行人数≤3人，往返景区距离大于17千米时选公共交通最经济，往返距离不足17千米时选自驾最实惠。
2. 若出行人数为4~5人，往返景区距离小于50千米时选自驾最经济，往返距离超过50千米时两种方式费用差极小，可结合出行便利度选择。
3. 无特殊情况不选择租车出行，租车成本始终远高于其余两种方式。
步骤1：定义三种交通方式的一次函数模型
设定调研得到的本地一日游交通计费规则，分别建立函数：
1. 公共交通出行：单人往返固定票价为10元，总费用关于出行人数$x$（$1≤ x≤5$，$x$为正整数）的函数为：
$y_1=10x$
其中$k=10$的实际意义：每增加1名出行人员，公共交通总费用增加10元；$b=0$的实际意义：出行人数为0时总费用为0。
2. 自驾家用车出行：家用车每千米油费约0.6元，景区一日固定停车费20元，总费用关于往返出行距离$s$（单位：千米，$s＞0$）的函数为：
$y_2=0.6s+20$
其中$k=0.6$的实际意义：每增加1千米往返行驶距离，自驾的油费增加0.6元；$b=20$的实际意义：自驾出行的固定停车费用，和行驶距离无关。
3. 租赁代步车出行：车辆日租金120元，每千米油费约0.6元，无需额外支付停车费，总费用关于往返出行距离$s$（单位：千米，$s＞0$）的函数为：
$y_3=0.6s+120$
其中$k=0.6$的实际意义：每增加1千米往返行驶距离，租车的油费增加0.6元；$b=120$的实际意义：租车的固定日租金，和行驶距离无关。
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步骤2：分场景计算比较
设定本次出游家庭共3人，家到景区往返总距离为50千米，代入函数计算：
公共交通总费用：$y_1=10×3=30$元
自驾总费用：$y_2=0.6×50+20=50$元
租车总费用：$y_3=0.6×50+120=150$元
此时$y_1＜y_2＜y_3$，公共交通成本最低。
进一步做通用情况推导：
1. 对比自驾和租车：两个函数斜率$k$相等，$y_3-y_2=100＞0$，任意行驶距离下租车总费用都高于自驾，无特殊情况无需选择租车。
2. 对比公共交通和自驾：
当出行人数为3时，令$10×3=0.6s+20$，解得$s\approx16.7$千米：
若$s＜16.7$千米，$y_2＜y_1$，自驾更便宜；
若$s＞16.7$千米，$y_1＜y_2$，公共交通更便宜。
当出行人数为5时，令$10×5=0.6s+20$，解得$s=50$千米：
若$s＜50$千米，$y_2＜y_1$，自驾更便宜；
若$s＞50$千米，$y_1＜y_2$，公共交通更便宜。
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家庭出游方案建议
1. 若出行人数≤3人，往返景区距离大于17千米时选公共交通最经济，往返距离不足17千米时选自驾最实惠。
2. 若出行人数为4~5人，往返景区距离小于50千米时选自驾最经济，往返距离超过50千米时两种方式费用差极小，可结合出行便利度选择。
3. 无特殊情况不选择租车出行，租车成本始终远高于其余两种方式。
解析
【分析】
这是一道结合生活场景的一次函数实际应用题，解题思路可分为三步：第一步，先梳理每种交通方式的费用构成，区分不随自变量（人数/距离）变化的固定费用、随自变量变化的可变费用，分别对应一次函数$y=kx+b$中的截距$b$和斜率$k$，建立不同交通方式的费用函数；第二步，代入已知的出行人数、往返距离的具体数值，计算三种方式的费用做初步比较；第三步，通过列方程求解不同方案费用相等时的自变量临界点，分区间讨论不同情况下的最优方案，就能得到最经济的出行选择。
【解析】
步骤1：建立三种交通方式的一次函数模型
结合常见的本地交通计费规则，分别建立费用函数：
1. 公共交通出行：单人往返票价为10元，设出行人数为$x$（$1≤ x≤5$，$x$为正整数），总费用函数为：
$y_1=10x$
其中$k=10$的实际意义：每增加1名出行人员，公共交通总费用增加10元；$b=0$的实际意义：出行人数为0时总费用为0。
2. 自驾家用车出行：家用车每千米油费约0.6元，景区一日固定停车费20元，设往返出行距离为$s$（单位：千米，$s＞0$），总费用函数为：
$y_2=0.6s+20$
其中$k=0.6$的实际意义：往返行驶距离每增加1千米，自驾的油费增加0.6元；$b=20$的实际意义：自驾出行的固定停车费用，和行驶距离无关。
3. 租赁代步车出行：车辆日租金120元，每千米油费约0.6元，无需额外支付停车费，设往返出行距离为$s$（单位：千米，$s＞0$），总费用函数为：
$y_3=0.6s+120$
其中$k=0.6$的实际意义：往返行驶距离每增加1千米，租车的油费增加0.6元；$b=120$的实际意义：租车的固定日租金，和行驶距离无关。
步骤2：数值计算与通用情况推导
设定本次出游家庭共3人，家到景区往返总距离为50千米，代入函数计算：
公共交通总费用：$y_1=10×3=30$元
自驾总费用：$y_2=0.6×50+20=50$元
租车总费用：$y_3=0.6×50+120=150$元
此时$y_1＜y_2＜y_3$，公共交通成本最低。
进一步推导通用选择规则：
1. 对比自驾和租车：两个函数斜率$k$相等，$y_3-y_2=100＞0$，任意行驶距离下租车总费用都高于自驾，无特殊情况无需选择租车。
2. 对比公共交通和自驾：
当出行人数为3时，令$10×3=0.6s+20$，解得$s\approx16.7$千米：若$s＜16.7$千米，$y_2＜y_1$，自驾更便宜；若$s＞16.7$千米，$y_1＜y_2$，公共交通更便宜。
当出行人数为5时，令$10×5=0.6s+20$，解得$s=50$千米：若$s＜50$千米，$y_2＜y_1$，自驾更便宜；若$s＞50$千米，$y_1＜y_2$，公共交通更便宜。
家庭出游方案建议
1. 若出行人数≤3人，往返景区距离大于17千米时选公共交通最经济，往返距离不足17千米时选自驾最实惠。
2. 若出行人数为4~5人，往返景区距离小于50千米时选自驾最经济，往返距离超过50千米时两种方式费用差极小，可结合出行便利度选择。
3. 无特殊情况不选择租车出行，租车成本始终远高于其余两种方式。
【答案】
1. 无特殊需求不选择租车，其费用始终高于自驾；
2. 出行人数≤3人时：往返距离小于16.7千米选自驾，往返距离大于16.7千米选公共交通；
3. 出行人数为4~5人时：往返距离小于50千米选自驾，往返距离大于50千米可结合便利度选择公共交通或自驾；
4. 本次3人出行、往返距离50千米的场景下，选择公共交通最经济，总费用为30元。
【知识点】
一次函数建模，一次函数性质，最优方案选择
【点评】
本题紧密联系生活出游的实际场景，将数学知识与生活决策结合，既考查了一次函数表达式建立、参数实际意义理解的基础能力，也锻炼了利用函数性质分析问题、解决实际需求的应用意识，实用性较强。
【难度系数】
0.65
这是一道结合生活场景的一次函数实际应用题，解题思路可分为三步：第一步，先梳理每种交通方式的费用构成，区分不随自变量（人数/距离）变化的固定费用、随自变量变化的可变费用，分别对应一次函数$y=kx+b$中的截距$b$和斜率$k$，建立不同交通方式的费用函数；第二步，代入已知的出行人数、往返距离的具体数值，计算三种方式的费用做初步比较；第三步，通过列方程求解不同方案费用相等时的自变量临界点，分区间讨论不同情况下的最优方案，就能得到最经济的出行选择。
【解析】
步骤1：建立三种交通方式的一次函数模型
结合常见的本地交通计费规则，分别建立费用函数：
1. 公共交通出行：单人往返票价为10元，设出行人数为$x$（$1≤ x≤5$，$x$为正整数），总费用函数为：
$y_1=10x$
其中$k=10$的实际意义：每增加1名出行人员，公共交通总费用增加10元；$b=0$的实际意义：出行人数为0时总费用为0。
2. 自驾家用车出行：家用车每千米油费约0.6元，景区一日固定停车费20元，设往返出行距离为$s$（单位：千米，$s＞0$），总费用函数为：
$y_2=0.6s+20$
其中$k=0.6$的实际意义：往返行驶距离每增加1千米，自驾的油费增加0.6元；$b=20$的实际意义：自驾出行的固定停车费用，和行驶距离无关。
3. 租赁代步车出行：车辆日租金120元，每千米油费约0.6元，无需额外支付停车费，设往返出行距离为$s$（单位：千米，$s＞0$），总费用函数为：
$y_3=0.6s+120$
其中$k=0.6$的实际意义：往返行驶距离每增加1千米，租车的油费增加0.6元；$b=120$的实际意义：租车的固定日租金，和行驶距离无关。
步骤2：数值计算与通用情况推导
设定本次出游家庭共3人，家到景区往返总距离为50千米，代入函数计算：
公共交通总费用：$y_1=10×3=30$元
自驾总费用：$y_2=0.6×50+20=50$元
租车总费用：$y_3=0.6×50+120=150$元
此时$y_1＜y_2＜y_3$，公共交通成本最低。
进一步推导通用选择规则：
1. 对比自驾和租车：两个函数斜率$k$相等，$y_3-y_2=100＞0$，任意行驶距离下租车总费用都高于自驾，无特殊情况无需选择租车。
2. 对比公共交通和自驾：
当出行人数为3时，令$10×3=0.6s+20$，解得$s\approx16.7$千米：若$s＜16.7$千米，$y_2＜y_1$，自驾更便宜；若$s＞16.7$千米，$y_1＜y_2$，公共交通更便宜。
当出行人数为5时，令$10×5=0.6s+20$，解得$s=50$千米：若$s＜50$千米，$y_2＜y_1$，自驾更便宜；若$s＞50$千米，$y_1＜y_2$，公共交通更便宜。
家庭出游方案建议
1. 若出行人数≤3人，往返景区距离大于17千米时选公共交通最经济，往返距离不足17千米时选自驾最实惠。
2. 若出行人数为4~5人，往返景区距离小于50千米时选自驾最经济，往返距离超过50千米时两种方式费用差极小，可结合出行便利度选择。
3. 无特殊情况不选择租车出行，租车成本始终远高于其余两种方式。
【答案】
1. 无特殊需求不选择租车，其费用始终高于自驾；
2. 出行人数≤3人时：往返距离小于16.7千米选自驾，往返距离大于16.7千米选公共交通；
3. 出行人数为4~5人时：往返距离小于50千米选自驾，往返距离大于50千米可结合便利度选择公共交通或自驾；
4. 本次3人出行、往返距离50千米的场景下，选择公共交通最经济，总费用为30元。
【知识点】
一次函数建模，一次函数性质，最优方案选择
【点评】
本题紧密联系生活出游的实际场景，将数学知识与生活决策结合，既考查了一次函数表达式建立、参数实际意义理解的基础能力，也锻炼了利用函数性质分析问题、解决实际需求的应用意识，实用性较强。
【难度系数】
0.65
