16. 如图,矩形 $ABCD$ 与矩形 $AB'C'D'$ 关于点 $A$ 成中心对称.试判定四边形 $BDB'D'$ 的形状,并说明理由.

16. 四边形 $BDB'D'$ 是菱形.理由: $\because$ 矩形 $ABCD$ 与矩形 $AB'C'D'$ 关于点 $A$ 成中心对称，$\therefore∠ BAD=90°,AB=AB',AD=AD'.\therefore$ 四边形 $BDB'D'$ 是平行四边形, $DD'⊥ BB'.\therefore$ 四边形 $BDB'D'$ 是菱形.

【分析】
解题时首先从已知条件“两个矩形关于点A成中心对称”入手，先回忆中心对称的性质：关于中心对称的两个图形，对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分，由此可得AB=AB'、AD=AD'，即四边形BDB'D'的两条对角线互相平分，可先判定其为平行四边形。再结合矩形内角为直角的性质，可推出两条对角线互相垂直，最后根据菱形的判定定理即可得出结论。
【解析】
四边形$BDB'D'$是菱形，理由如下：
∵ 矩形 $ABCD$ 与矩形 $AB'C'D'$ 关于点 $A$ 成中心对称，
∴ $∠ BAD=90°$，$AB=AB'$，$AD=AD'$，且点B、A、B'共线，点D、A、D'共线，
∴ 四边形$BDB'D'$的对角线互相平分，因此四边形 $BDB'D'$ 是平行四边形，
又
∵ $∠BAD=90°$，即$BB'⊥DD'$，
∴ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故四边形 $BDB'D'$ 是菱形。
【答案】
四边形 $BDB'D'$ 是菱形。理由: $\because$ 矩形 $ABCD$ 与矩形 $AB'C'D'$ 关于点 $A$ 成中心对称，$\therefore∠ BAD=90°,AB=AB',AD=AD'.\therefore$ 四边形 $BDB'D'$ 是平行四边形, $DD'⊥ BB'.\therefore$ 四边形 $BDB'D'$ 是菱形.
【知识点】
中心对称的性质；平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题是基础的几何判定题，将中心对称与特殊四边形的判定结合考查，解题的核心是先通过中心对称性质得到平行四边形，再结合矩形的性质推出对角线垂直，进而完成菱形的判定。
【难度系数】
0.7

17. 如图所示为由边长均为1的小正方形组成的方格纸.
（1）求四边形ABCD的面积.
（2）判断AD与CD的位置关系，并说明理由.

17. (1) $S_{\mathrm{四边形}ABCD}=5×5-\dfrac{1}{2}×1×2-\dfrac{1}{2}×4×2-\dfrac{1}{2}×3×3-\dfrac{1}{2}×2×3=12.5$.
(2) $AD⊥ CD$.理由:连接 $AC$.在 $△ ADC$ 中, $\because AD^2=1^2+2^2=5,CD^2=2^2+4^2=20,AC^2=5^2=25,5+20=25,\therefore AD^2+CD^2=AC^2.\therefore△ ADC$ 是直角三角形, 且 $∠ ADC=90°$. $\therefore AD⊥ CD$.

【分析】
（1）方格中不规则四边形的面积无法直接用常规面积公式求解，可采用割补法计算：将四边形ABCD补在边长为5的大正方形内，四边形的面积等于大正方形面积减去四周四个直角三角形的面积，只需数出每个直角三角形的直角边长即可依次计算各部分面积。
（2）判断AD与CD的位置关系，观察可猜想二者垂直，要证明垂直即证明∠ADC=90°，可连接AC，借助勾股定理分别计算AD、CD、AC的长度的平方，再利用勾股定理的逆定理判断△ADC是否为直角三角形，即可得到结论。
【解析】
（1）由图可知大正方形边长为5，因此大正方形面积为$5×5=25$。
四周四个直角三角形的面积分别为：
$\dfrac{1}{2}×1×2=1$，$\dfrac{1}{2}×4×2=4$，$\dfrac{1}{2}×3×3=4.5$，$\dfrac{1}{2}×2×3=3$。
因此四边形ABCD的面积：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=25 - 1 - 4 - 4.5 - 3 = 12.5$。
（2）$AD⊥ CD$，理由如下：
连接 $AC$，在 $△ ADC$ 中，由勾股定理可得：
$AD^2=1^2+2^2=5$，$CD^2=2^2+4^2=20$，$AC^2=5^2=25$。
$\because 5+20=25$，即$AD^2+CD^2=AC^2$，
$\therefore△ ADC$ 是直角三角形， 且 $∠ ADC=90°$，
$\therefore AD⊥ CD$。
【答案】
(1) $\boxed{12.5}$（或$\boxed{\dfrac{25}{2}}$）
(2) $\boxed{AD⊥ CD}$，理由见解析
【知识点】
割补法求面积、勾股定理、勾股定理的逆定理
【点评】
本题是网格类的常考题型，重点考查不规则图形的面积计算和垂直关系的判定，解题核心是灵活运用割补思想，熟练掌握在网格中用勾股定理计算线段长度、用勾股定理逆定理判断直角的方法。
【难度系数】
0.7

18. 如图，$AE // BF$，先按(1)的要求作图，再按(2)的要求证明.
(1) 用直尺和圆规作出$∠ ABF$的平分线$BD$交$AE$于点$D$，再作出$BD$的中点$O$（不写作法，保留作图痕迹）.
(2) 连接(1)所作图中的$AO$并延长与$BF$相交于点$C$，连接$DC$，求证：四边形$ABCD$是菱形.

18. (1) 略
(2) $\because AE// BF,\therefore∠ ADO=∠ CBO.\because$ 在 $△ ADO$ 和 $△ CBO$ 中, $\begin{cases}∠ ADO=∠ CBO,\\OD=OB,\\∠ AOD=∠ COB,\end{cases}$
$\therefore△ ADO≌△ CBO(\mathrm{ASA}).\therefore AD=CB$. 又 $\because AD// BC,\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
$\because BD$ 平分 $∠ ABC,\therefore∠ ABD=∠ CBD.\therefore∠ ABD=∠ ADB.\therefore AB=AD.\therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 是菱形.

【分析】
（1）作图部分：作∠ABF的平分线可按照尺规作角平分线的常规方法操作；作BD的中点时，可通过作线段BD的垂直平分线，垂直平分线与BD的交点即为中点O，作图时注意保留作图痕迹。
（2）证明部分：要证四边形ABCD是菱形，可先判定其为平行四边形，再证明一组邻边相等。首先结合AE//BF的性质得到内错角相等，搭配O是BD中点的条件、对顶角相等的性质，证明△ADO和△CBO全等，得到AD=BC，即可由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定ABCD为平行四边形；再利用角平分线的定义和平行线的内错角相等，推导得到AB=AD，最后由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明。
【解析】
(1) 按尺规作图要求操作，保留作图痕迹即可。
(2) 证明：
$\because AE// BF$，$\therefore ∠ ADO=∠ CBO$。
$\because$ 在$△ ADO$和$△ CBO$中，
$\begin{cases}∠ ADO=∠ CBO,\\OD=OB,\\∠ AOD=∠ COB,\end{cases}$
$\therefore △ ADO≌△ CBO(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AD=CB$。
又$\because AD// BC$，$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形。
$\because BD$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$。
$\because AE// BF$，$\therefore ∠ ADB=∠ CBD$，
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$，$\therefore AB=AD$，
$\therefore$ 平行四边形$ABCD$是菱形。
【答案】
(1) 略；
(2) 四边形$ABCD$是菱形，证明成立。
【知识点】
尺规作图，全等三角形判定，菱形的判定
【点评】
本题将尺规作图与几何证明相结合，既考查了基础的作图操作能力，又综合考查了平行线性质、全等三角形、平行四边形和菱形判定等核心几何知识，解题时按照几何判定的逻辑顺序逐步推导即可完成。
【难度系数】
0.75

19. 如图,在菱形 ABCD 中,E,O,F 分别是AB,AC,AD 的中点,连接 CE,CF,OE,OF.
(1) 求证:$△ BCE≌△ DCF$.
(2) 当 AB 与 BC 满足什么条件时,四边形 AEOF 是正方形?请说明理由.

(第 19 题)

19. (1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 为菱形, $\therefore AB=BC=CD=DA,∠ B=∠ D.\because E,F$ 分别是 $AB,AD$ 的中点, $\therefore BE=DF.\because$ 在 $△ BCE$ 和 $△ DCF$ 中, $\begin{cases}BC=DC,\\∠ B=∠ D,\\BE=DF,\end{cases}\therefore△ BCE≌△ DCF(\mathrm{SAS})$.
(2) 当 $AB⊥ BC$ 时, 四边形 $AEOF$ 为正方形.理由: $\because E,O$ 分别是 $AB,AC$ 的中点, $\therefore EO// BC.\because BC// AD,\therefore OE// AD$, 即 $OE// AF$.同理可得 $OF// AE,\therefore$ 四边形 $AEOF$ 为平行四边形.
由(1)可得 $AE=AF,\therefore$ 平行四边形 $AEOF$ 为菱形. $\because AB⊥ BC,\therefore∠ BAD=∠ ABC=90°$. $\therefore$ 菱形$AEOF$ 为正方形.

【分析】
(1) 要证明$△ BCE≌△ DCF$，首先结合菱形的性质推导全等所需条件：菱形四条边相等可得$BC=DC$，对角相等可得$∠ B=∠ D$，再结合E、F是AB、AD的中点，可推出$BE=DF$，满足SAS的全等判定条件，即可完成证明。
(2) 要判断四边形AEOF是正方形的条件，先从已知中点出发，利用三角形中位线定理可证得四边形AEOF两组对边分别平行，先确定它是平行四边形；再结合$AB=AD$、E和F是中点可得邻边$AE=AF$，可证它是菱形；要让菱形变为正方形，需要有一个内角为直角，因此需要菱形ABCD有一个内角为$90°$，即$AB⊥ BC$，即可推导出结论。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 为菱形， $\therefore AB=BC=CD=DA,∠ B=∠ D$。
$\because E,F$ 分别是 $AB,AD$ 的中点， $\therefore BE=DF$。
$\because$ 在 $△ BCE$ 和 $△ DCF$ 中， $\begin{cases}BC=DC,\\∠ B=∠ D,\\BE=DF,\end{cases}$
$\therefore△ BCE≌△ DCF(\mathrm{SAS})$。
(2) 当 $AB⊥ BC$ 时， 四边形 $AEOF$ 为正方形，理由如下：
$\because E,O$ 分别是 $AB,AC$ 的中点， $\therefore EO// BC$。
$\because BC// AD,\therefore OE// AD$, 即 $OE// AF$。
同理可得 $OF// AE,\therefore$ 四边形 $AEOF$ 为平行四边形。
由(1)可得 $AE=AF,\therefore$ 平行四边形 $AEOF$ 为菱形。
$\because AB⊥ BC,\therefore∠ BAD=∠ ABC=90°$。
$\therefore$ 菱形$AEOF$ 为正方形。
【答案】
(1) 证明如上；(2) 当$AB⊥ BC$时，四边形AEOF是正方形，理由如上。
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定；正方形的判定
【点评】
本题主要考查特殊四边形的性质与判定、全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握相关定理，理清平行四边形、菱形、正方形的递进判定逻辑，能灵活运用三角形中位线性质推导边的关系。
【难度系数】
0.7