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1. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 5x - m = 0 $ 的一个根是 2,则另一个根是
（
A.$-7$
B.7
C.3
D.$-3$
（
A
）A.$-7$
B.7
C.3
D.$-3$
答案
1. A
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接计算，无需先求参数m，计算更简便；思路二，先将已知根代入原方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。我们优先选择更简便的根与系数关系法：首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的两根之和为$-\frac{b}{a}$，确定本题方程的$a$、$b$取值后，结合已知根即可快速算出另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x$，
对于一元二次方程$x^2+5x -m=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=5$，
根据根与系数的关系：两根之和 = $-\frac{b}{a}$，可得：
$2 + x = -\frac{5}{1}$
解得$x = -5 - 2 = -7$。
方法二（代入求参法）：
将$x=2$代入原方程，得：
$2^2 + 5×2 - m = 0$
计算得$4 + 10 - m = 0$，解得$m=14$，
则原方程为$x^2 + 5x -14 = 0$，
因式分解得$(x+7)(x-2)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-7$，即另一个根为$-7$。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，两种解题方法都要求掌握，其中根与系数的关系是解决这类“已知一根求另一根”题型的常用技巧，能有效减少计算量，也可以用代入求参的方法验证结果的正确性。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：思路一，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接计算，无需先求参数m，计算更简便；思路二，先将已知根代入原方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。我们优先选择更简便的根与系数关系法：首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的两根之和为$-\frac{b}{a}$，确定本题方程的$a$、$b$取值后，结合已知根即可快速算出另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x$，
对于一元二次方程$x^2+5x -m=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=5$，
根据根与系数的关系：两根之和 = $-\frac{b}{a}$，可得：
$2 + x = -\frac{5}{1}$
解得$x = -5 - 2 = -7$。
方法二（代入求参法）：
将$x=2$代入原方程，得：
$2^2 + 5×2 - m = 0$
计算得$4 + 10 - m = 0$，解得$m=14$，
则原方程为$x^2 + 5x -14 = 0$，
因式分解得$(x+7)(x-2)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-7$，即另一个根为$-7$。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，两种解题方法都要求掌握，其中根与系数的关系是解决这类“已知一根求另一根”题型的常用技巧，能有效减少计算量，也可以用代入求参的方法验证结果的正确性。
【难度系数】
0.8
2. 一元二次方程 $ x^2 - 4 = 0 $ 的解是（
A.$ x_1 = x_2 = 2 $
B.$ x_1 = x_2 = -2 $
C.$ x_1 = 2, x_2 = -2 $
D.$ x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2} $
C
）A.$ x_1 = x_2 = 2 $
B.$ x_1 = x_2 = -2 $
C.$ x_1 = 2, x_2 = -2 $
D.$ x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2} $
答案
2. C
解析
【分析】
本题是缺少一次项的一元二次方程求解问题，优先选择直接开平方法解题。首先将常数项移到等号右侧，把方程变形为$x^2=a$（$a\ge0$）的形式，再根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，即可求出方程的两个解，对应选项选出答案即可，注意不要漏了负的解。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 - 4 = 0$进行移项，得：
$x^2 = 4$
对等式两边同时开平方，得：
$x = \pm\sqrt{4} = \pm2$
即方程的解为$x_1 = 2$，$x_2 = -2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法、平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，主要考查对直接开平方法的掌握，解题时需注意正数的平方根有两个，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.9
本题是缺少一次项的一元二次方程求解问题，优先选择直接开平方法解题。首先将常数项移到等号右侧，把方程变形为$x^2=a$（$a\ge0$）的形式，再根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，即可求出方程的两个解，对应选项选出答案即可，注意不要漏了负的解。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 - 4 = 0$进行移项，得：
$x^2 = 4$
对等式两边同时开平方，得：
$x = \pm\sqrt{4} = \pm2$
即方程的解为$x_1 = 2$，$x_2 = -2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法、平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，主要考查对直接开平方法的掌握，解题时需注意正数的平方根有两个，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.9
3. 下列方程中,有两个相等的实数根的是
（
A.$x^2 + 1 = 2x$
B.$x^2 + 1 = 0$
C.$x^2 - 2x = 3$
D.$x^2 - 2x = 0$
（
A
）A.$x^2 + 1 = 2x$
B.$x^2 + 1 = 0$
C.$x^2 - 2x = 3$
D.$x^2 - 2x = 0$
答案
3. A
解析
【分析】要判断一元二次方程是否有两个相等的实数根，需用到一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$：当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。解题时先将每个选项的方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，再分别计算判别式$\Delta$的值，找到$\Delta=0$的选项即可。
【解析】对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
逐个分析选项：
A. 方程$x^2 +1=2x$移项整理得$x^2-2x+1=0$，其中$a=1,b=-2,c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=4-4=0$，因此方程有两个相等的实数根，符合要求；
B. 方程$x^2 +1=0$中$a=1,b=0,c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，因此方程没有实数根，不符合要求；
C. 方程$x^2 -2x=3$移项整理得$x^2-2x-3=0$，其中$a=1,b=-2,c=-3$，$\Delta=(-2)^2-4×1×(-3)=4+12=16＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
D. 方程$x^2 -2x=0$中$a=1,b=-2,c=0$，$\Delta=(-2)^2-4×1×0=4＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，不符合要求。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】本题属于基础题型，核心考查根的判别式的应用，只要掌握判别式与方程根的个数的对应关系，正确将方程整理为一般形式并准确计算判别式的值，就能快速得出答案。
【难度系数】0.8
【解析】对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
逐个分析选项：
A. 方程$x^2 +1=2x$移项整理得$x^2-2x+1=0$，其中$a=1,b=-2,c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=4-4=0$，因此方程有两个相等的实数根，符合要求；
B. 方程$x^2 +1=0$中$a=1,b=0,c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，因此方程没有实数根，不符合要求；
C. 方程$x^2 -2x=3$移项整理得$x^2-2x-3=0$，其中$a=1,b=-2,c=-3$，$\Delta=(-2)^2-4×1×(-3)=4+12=16＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
D. 方程$x^2 -2x=0$中$a=1,b=-2,c=0$，$\Delta=(-2)^2-4×1×0=4＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，不符合要求。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】本题属于基础题型，核心考查根的判别式的应用，只要掌握判别式与方程根的个数的对应关系，正确将方程整理为一般形式并准确计算判别式的值，就能快速得出答案。
【难度系数】0.8
4. 若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + mx + 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根，则 $ m $ 的值可以是（
A.0
B.−1
C.2
D.−3
D
）A.0
B.−1
C.2
D.−3
答案
4. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的个数与判别式的对应关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0。我们先确定方程对应各项的系数，代入判别式列出关于m的不等式，求解不等式后再逐一验证选项即可得到答案。
【解析】
对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，根的判别式为 $\Delta = b^2-4ac$：
$\Delta＞0$ 时，方程有两个不相等的实数根；
$\Delta=0$ 时，方程有两个相等的实数根；
$\Delta＜0$ 时，方程没有实数根。
本题中方程 $x^2+mx+1=0$ 是一元二次方程，其中 $a=1$，$b=m$，$c=1$，已知方程有两个不相等的实数根，因此 $\Delta＞0$，代入得：
$\begin{aligned}m^2 - 4×1×1 &＞ 0\\m^2 &＞ 4\end{aligned}$
逐一验证选项：
A. 当 $m=0$ 时，$0^2=0＜4$，不符合要求；
B. 当 $m=-1$ 时，$(-1)^2=1＜4$，不符合要求；
C. 当 $m=2$ 时，$2^2=4$，此时 $\Delta=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
D. 当 $m=-3$ 时，$(-3)^2=9＞4$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，不等式的求解
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式与方程根的个数的对应关系，解题时要注意“两个不相等的实数根”对应判别式严格大于0，不要误判等于0的情况。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的个数与判别式的对应关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0。我们先确定方程对应各项的系数，代入判别式列出关于m的不等式，求解不等式后再逐一验证选项即可得到答案。
【解析】
对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，根的判别式为 $\Delta = b^2-4ac$：
$\Delta＞0$ 时，方程有两个不相等的实数根；
$\Delta=0$ 时，方程有两个相等的实数根；
$\Delta＜0$ 时，方程没有实数根。
本题中方程 $x^2+mx+1=0$ 是一元二次方程，其中 $a=1$，$b=m$，$c=1$，已知方程有两个不相等的实数根，因此 $\Delta＞0$，代入得：
$\begin{aligned}m^2 - 4×1×1 &＞ 0\\m^2 &＞ 4\end{aligned}$
逐一验证选项：
A. 当 $m=0$ 时，$0^2=0＜4$，不符合要求；
B. 当 $m=-1$ 时，$(-1)^2=1＜4$，不符合要求；
C. 当 $m=2$ 时，$2^2=4$，此时 $\Delta=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
D. 当 $m=-3$ 时，$(-3)^2=9＞4$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，不等式的求解
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式与方程根的个数的对应关系，解题时要注意“两个不相等的实数根”对应判别式严格大于0，不要误判等于0的情况。
【难度系数】
0.7
5. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $(a-1)x^2 + 3x - 2 = 0$ 有实数根，则 $ a $ 的取值范围是（
A.$ a ＞ -\dfrac{1}{8} $
B.$ a ≥ -\dfrac{1}{8} $
C.$ a ＞ -\dfrac{1}{8} $且 $ a ≠ 1 $
D.$ a ≥ -\dfrac{1}{8} $且 $ a ≠ 1 $
D
）A.$ a ＞ -\dfrac{1}{8} $
B.$ a ≥ -\dfrac{1}{8} $
C.$ a ＞ -\dfrac{1}{8} $且 $ a ≠ 1 $
D.$ a ≥ -\dfrac{1}{8} $且 $ a ≠ 1 $
答案
5. D
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合一元二次方程的定义和有实数根的条件分步推导：①首先一元二次方程要求二次项系数不为0，据此可得到a的第一个限制条件；②方程有实数根说明根的判别式Δ≥0，代入对应系数计算可得到a的取值范围；③最后将两个限制条件取公共部分，就能得到最终a的取值范围。
【解析】
∵ 方程$(a-1)x^2 + 3x - 2 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不能为0，即$a-1 ≠ 0$，解得$a ≠ 1$
又
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为3，常数项为-2
代入得：$\Delta = 3^2 - 4×(a-1)×(-2) ≥ 0$
计算化简：$9 + 8(a-1) ≥ 0$
$9 + 8a - 8 ≥ 0$
$1 + 8a ≥ 0$
解不等式得：$a ≥ -\frac{1}{8}$
结合$a ≠ 1$的限制，最终$a$的取值范围是$a ≥ -\frac{1}{8}$且$a ≠ 1$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式应用；一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程的常见易错题，很多学生容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含前提，仅通过判别式计算得到$a ≥ -\frac{1}{8}$而错选B，求解此类问题时要先确认方程类型，再结合根的情况分步推导。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需结合一元二次方程的定义和有实数根的条件分步推导：①首先一元二次方程要求二次项系数不为0，据此可得到a的第一个限制条件；②方程有实数根说明根的判别式Δ≥0，代入对应系数计算可得到a的取值范围；③最后将两个限制条件取公共部分，就能得到最终a的取值范围。
【解析】
∵ 方程$(a-1)x^2 + 3x - 2 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不能为0，即$a-1 ≠ 0$，解得$a ≠ 1$
又
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为3，常数项为-2
代入得：$\Delta = 3^2 - 4×(a-1)×(-2) ≥ 0$
计算化简：$9 + 8(a-1) ≥ 0$
$9 + 8a - 8 ≥ 0$
$1 + 8a ≥ 0$
解不等式得：$a ≥ -\frac{1}{8}$
结合$a ≠ 1$的限制，最终$a$的取值范围是$a ≥ -\frac{1}{8}$且$a ≠ 1$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式应用；一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程的常见易错题，很多学生容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含前提，仅通过判别式计算得到$a ≥ -\frac{1}{8}$而错选B，求解此类问题时要先确认方程类型，再结合根的情况分步推导。
【难度系数】
0.6
6. 一元二次方程 $x^2 - 6x - 6 = 0$ 配方后化为 （
A.$(x - 3)^2 = 15$
B.$(x - 3)^2 = 3$
C.$(x + 3)^2 = 15$
D.$(x + 3)^2 = 3$
A
）A.$(x - 3)^2 = 15$
B.$(x - 3)^2 = 3$
C.$(x + 3)^2 = 15$
D.$(x + 3)^2 = 3$
答案
6. A
解析
【分析】
要解决这道一元二次方程配方的问题，核心是掌握配方法的标准步骤：首先将常数项移到方程等号的右侧，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方的形式，最后化简右侧即可得到配方后的结果，解题时要注意一次项系数的符号，避免完全平方式的符号出错。
【解析】
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，注意移项要变号：
$x^2 - 6x = 6$
第二步：配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，本题中一次项系数为$-6$，一半为$-3$，平方为$9$，因此两边同时加$9$：
$x^2 - 6x + 9 = 6 + 9$
第三步：左侧逆用完全平方公式化简，右侧计算常数项的和：
$(x - 3)^2 = 15$
因此配方后的结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程配方法的基础考查题型，核心是掌握配方法的操作步骤，尤其要注意一次项系数的符号对完全平方式的影响，避免出现符号类的低级错误。
【难度系数】
0.75
要解决这道一元二次方程配方的问题，核心是掌握配方法的标准步骤：首先将常数项移到方程等号的右侧，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方的形式，最后化简右侧即可得到配方后的结果，解题时要注意一次项系数的符号，避免完全平方式的符号出错。
【解析】
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，注意移项要变号：
$x^2 - 6x = 6$
第二步：配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，本题中一次项系数为$-6$，一半为$-3$，平方为$9$，因此两边同时加$9$：
$x^2 - 6x + 9 = 6 + 9$
第三步：左侧逆用完全平方公式化简，右侧计算常数项的和：
$(x - 3)^2 = 15$
因此配方后的结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程配方法的基础考查题型，核心是掌握配方法的操作步骤，尤其要注意一次项系数的符号对完全平方式的影响，避免出现符号类的低级错误。
【难度系数】
0.75
7. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + (a^2 - 2a)x + a - 1 = 0 $ 的两个实数根互为相反数，则 $ a $ 的值为 （
A.2
B.0
C.1
D.2或0
B
）A.2
B.0
C.1
D.2或0
答案
7. B
解析
【分析】
解题时首先抓住两个关键条件：①方程是有两个实数根的一元二次方程；②两个实数根互为相反数。首先利用相反数的性质得到两根之和为0，再结合一元二次方程根与系数的关系列出关于a的方程，求出a的可能取值；最后不要忽略“有两个实数根”的隐含条件，用根的判别式验证每个可能的a值是否满足判别式≥0，舍去不符合的取值即可得到正确结果。
【解析】
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据题意两根互为相反数，可得$x_1 + x_2 = 0$。
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，由根与系数的关系可知两根之和$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$。
本题中方程为$x^2 + (a^2 - 2a)x + a - 1 = 0$，其中$A=1$，$B=a^2-2a$，代入两根之和为0的条件可得：
$-(a^2-2a)=0$，整理得$a^2-2a=0$，因式分解得$a(a-2)=0$，解得$a=0$或$a=2$。
接下来验证两个取值是否满足方程有两个实数根，即判别式$\Delta = B^2-4AC≥0$：
当$a=2$时，$\Delta=(2^2-2×2)^2 -4×1×(2-1)=0 -4=-4＜0$，此时方程无实数根，不符合题意，舍去；
当$a=0$时，$\Delta=(0^2-2×0)^2 -4×1×(0-1)=0 +4=4＞0$，此时方程有两个不相等的实数根，符合题意。
综上，$a$的值为0。
【答案】
B
【知识点】
根与系数的关系；根的判别式；相反数的性质
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的典型应用，易错点是求出$a=0$和$a=2$后，忽略题目中“两个实数根”的条件，未验证判别式直接选D，做题时要注意挖掘题目中的隐含条件，养成求出结果后验证的习惯。
【难度系数】
0.6
解题时首先抓住两个关键条件：①方程是有两个实数根的一元二次方程；②两个实数根互为相反数。首先利用相反数的性质得到两根之和为0，再结合一元二次方程根与系数的关系列出关于a的方程，求出a的可能取值；最后不要忽略“有两个实数根”的隐含条件，用根的判别式验证每个可能的a值是否满足判别式≥0，舍去不符合的取值即可得到正确结果。
【解析】
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据题意两根互为相反数，可得$x_1 + x_2 = 0$。
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，由根与系数的关系可知两根之和$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$。
本题中方程为$x^2 + (a^2 - 2a)x + a - 1 = 0$，其中$A=1$，$B=a^2-2a$，代入两根之和为0的条件可得：
$-(a^2-2a)=0$，整理得$a^2-2a=0$，因式分解得$a(a-2)=0$，解得$a=0$或$a=2$。
接下来验证两个取值是否满足方程有两个实数根，即判别式$\Delta = B^2-4AC≥0$：
当$a=2$时，$\Delta=(2^2-2×2)^2 -4×1×(2-1)=0 -4=-4＜0$，此时方程无实数根，不符合题意，舍去；
当$a=0$时，$\Delta=(0^2-2×0)^2 -4×1×(0-1)=0 +4=4＞0$，此时方程有两个不相等的实数根，符合题意。
综上，$a$的值为0。
【答案】
B
【知识点】
根与系数的关系；根的判别式；相反数的性质
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的典型应用，易错点是求出$a=0$和$a=2$后，忽略题目中“两个实数根”的条件，未验证判别式直接选D，做题时要注意挖掘题目中的隐含条件，养成求出结果后验证的习惯。
【难度系数】
0.6
8. 我们知道方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的解是$x_1 = 1, x_2 = -3$，现给出另一个方程$(2x + 3)^2 + 2(2x + 3) - 3 = 0$，则它的解是（
A.$x_1 = 1, x_2 = 3$
B.$x_1 = 1, x_2 = -3$
C.$x_1 = -1, x_2 = 3$
D.$x_1 = -1, x_2 = -3$
D
）A.$x_1 = 1, x_2 = 3$
B.$x_1 = 1, x_2 = -3$
C.$x_1 = -1, x_2 = 3$
D.$x_1 = -1, x_2 = -3$
答案
8. D
解析
【分析】
观察两个方程的结构可发现，二者形式完全一致，仅未知数部分不同：前一个方程的未知数为x，后一个方程的未知数为整体(2x+3)。我们可以利用整体代换的思想，令y=2x+3，将新方程转化为已知解的方程y²+2y-3=0，先得到y的取值，再分别解关于x的一元一次方程即可得到答案，也可以选择直接展开新方程整理为标准一元二次方程求解，前者计算更简便。
【解析】
解法一（换元法）：
设$ y = 2x + 3 $，则原方程可化为$ y^2 + 2y - 3 = 0 $。
由题可知该方程的解为$ y_1 = 1 $，$ y_2 = -3 $，因此分两种情况计算：
① 当$ 2x + 3 = 1 $时，移项得$ 2x = 1 - 3 = -2 $，解得$ x = -1 $；
② 当$ 2x + 3 = -3 $时，移项得$ 2x = -3 - 3 = -6 $，解得$ x = -3 $。
因此原方程的解为$ x_1 = -1 $，$ x_2 = -3 $。
解法二（展开法）：
将原方程左边展开整理：
$ (2x+3)^2 + 2(2x+3) - 3 = 4x^2 + 12x + 9 + 4x + 6 - 3 = 4x^2 + 16x + 12 = 0 $
两边同除以4得$ x^2 + 4x + 3 = 0 $，因式分解得$ (x+1)(x+3) = 0 $，解得$ x_1 = -1 $，$ x_2 = -3 $。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
换元法解方程、一元二次方程的解
【点评】
本题重点考查整体代换的数学思想，解题时若能观察到两个方程的结构共性，利用已知条件可大幅简化计算，既可以用换元法快速求解，也可以通过展开整理成标准一元二次方程解答，能很好地检验学生的思维灵活性。
【难度系数】
0.75
观察两个方程的结构可发现，二者形式完全一致，仅未知数部分不同：前一个方程的未知数为x，后一个方程的未知数为整体(2x+3)。我们可以利用整体代换的思想，令y=2x+3，将新方程转化为已知解的方程y²+2y-3=0，先得到y的取值，再分别解关于x的一元一次方程即可得到答案，也可以选择直接展开新方程整理为标准一元二次方程求解，前者计算更简便。
【解析】
解法一（换元法）：
设$ y = 2x + 3 $，则原方程可化为$ y^2 + 2y - 3 = 0 $。
由题可知该方程的解为$ y_1 = 1 $，$ y_2 = -3 $，因此分两种情况计算：
① 当$ 2x + 3 = 1 $时，移项得$ 2x = 1 - 3 = -2 $，解得$ x = -1 $；
② 当$ 2x + 3 = -3 $时，移项得$ 2x = -3 - 3 = -6 $，解得$ x = -3 $。
因此原方程的解为$ x_1 = -1 $，$ x_2 = -3 $。
解法二（展开法）：
将原方程左边展开整理：
$ (2x+3)^2 + 2(2x+3) - 3 = 4x^2 + 12x + 9 + 4x + 6 - 3 = 4x^2 + 16x + 12 = 0 $
两边同除以4得$ x^2 + 4x + 3 = 0 $，因式分解得$ (x+1)(x+3) = 0 $，解得$ x_1 = -1 $，$ x_2 = -3 $。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
换元法解方程、一元二次方程的解
【点评】
本题重点考查整体代换的数学思想，解题时若能观察到两个方程的结构共性，利用已知条件可大幅简化计算，既可以用换元法快速求解，也可以通过展开整理成标准一元二次方程解答，能很好地检验学生的思维灵活性。
【难度系数】
0.75
9. 如图,某小区计划在一块长为 32 m,宽为 20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上铺设草坪,使草坪的面积为 570 $\mathrm{m}^2$.若设道路的宽为 $x$ m,则下列方程中正确的是
(
A.$(32-2x)(20-x)=570$
B.$32x+2×20x=32×20-570$
C.$(32-x)(20-x)=32×20-570$
D.$32x+2×20x-2x^2=570$
(
A
)A.$(32-2x)(20-x)=570$
B.$32x+2×20x=32×20-570$
C.$(32-x)(20-x)=32×20-570$
D.$32x+2×20x-2x^2=570$
答案
9. A
解析
【分析】
这道题是面积类的方程应用题，解题的核心思路是用平移法简化计算：首先观察道路分布，有2条竖直道路、1条水平道路，宽度都为x。我们可以把道路向矩形边缘平移，让分散的草坪拼接成一个规则的新矩形，直接用矩形面积公式列方程即可。也可以通过计算道路面积的方法验证选项，注意要排除道路交叉重叠部分重复计算的问题。
【解析】
我们采用平移法求解：
1. 将两条竖直道路向矩形左右边缘平移，水平道路向矩形底部平移，剩余的草坪刚好可以拼接为一个完整的矩形，该矩形的面积就是草坪的面积$570\ \mathrm{m}^2$。
2. 计算新矩形的长：原矩形长为32m，减去2条竖直道路的宽度，可得新矩形长为$(32-2x)\ \mathrm{m}$。
3. 计算新矩形的宽：原矩形宽为20m，减去1条水平道路的宽度，可得新矩形宽为$(20-x)\ \mathrm{m}$。
4. 根据矩形面积公式$面积=长×宽$，可列方程：$(32-2x)(20-x)=570$，因此A选项正确。
其余选项错误原因：
B：计算道路面积时没有减去2个道路交叉处重叠的$x^2$面积，道路面积正确表达式应为$32x+2×20x-2x^2=32×20-570$，故B错误。
C：新矩形的长应为$32-2x$，不是$32-x$，故C错误。
D：等号左侧是道路面积，应等于总面积减去草坪面积$32×20-570$，不等于草坪面积570，故D错误。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用；图形平移；矩形面积计算
【点评】
本题是典型的几何类方程应用题，利用平移法将分散的区域拼接为规则图形，能有效简化计算，解题时要注意避免重复计算道路交叉部分的面积。
【难度系数】
0.7
这道题是面积类的方程应用题，解题的核心思路是用平移法简化计算：首先观察道路分布，有2条竖直道路、1条水平道路，宽度都为x。我们可以把道路向矩形边缘平移，让分散的草坪拼接成一个规则的新矩形，直接用矩形面积公式列方程即可。也可以通过计算道路面积的方法验证选项，注意要排除道路交叉重叠部分重复计算的问题。
【解析】
我们采用平移法求解：
1. 将两条竖直道路向矩形左右边缘平移，水平道路向矩形底部平移，剩余的草坪刚好可以拼接为一个完整的矩形，该矩形的面积就是草坪的面积$570\ \mathrm{m}^2$。
2. 计算新矩形的长：原矩形长为32m，减去2条竖直道路的宽度，可得新矩形长为$(32-2x)\ \mathrm{m}$。
3. 计算新矩形的宽：原矩形宽为20m，减去1条水平道路的宽度，可得新矩形宽为$(20-x)\ \mathrm{m}$。
4. 根据矩形面积公式$面积=长×宽$，可列方程：$(32-2x)(20-x)=570$，因此A选项正确。
其余选项错误原因：
B：计算道路面积时没有减去2个道路交叉处重叠的$x^2$面积，道路面积正确表达式应为$32x+2×20x-2x^2=32×20-570$，故B错误。
C：新矩形的长应为$32-2x$，不是$32-x$，故C错误。
D：等号左侧是道路面积，应等于总面积减去草坪面积$32×20-570$，不等于草坪面积570，故D错误。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用；图形平移；矩形面积计算
【点评】
本题是典型的几何类方程应用题，利用平移法将分散的区域拼接为规则图形，能有效简化计算，解题时要注意避免重复计算道路交叉部分的面积。
【难度系数】
0.7
