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10. 规定:如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $ 有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论:
① 方程 $ x^2 + 2x - 8 = 0 $ 是倍根方程；
② 若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + ax + 2 = 0 $ 是倍根方程，则 $ a = \pm 3 $；
③ 若关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 - 6ax + c = 0(a ≠ 0) $ 是倍根方程，则抛物线 $ y = ax^2 - 6ax + c $ 与 $ x $ 轴的公共点的坐标是 $ (2,0) $ 和 $ (4,0) $；
④ 若点 $ (m,n) $ 在函数 $ y = \frac{4}{x} $ 的图象上，则关于 $ x $ 的方程 $ mx^2 + 5x + n = 0 $ 是倍根方程.
上述结论中，正确的是 （
A.①②
B.③④
C.②③
D.②④
① 方程 $ x^2 + 2x - 8 = 0 $ 是倍根方程；
② 若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + ax + 2 = 0 $ 是倍根方程，则 $ a = \pm 3 $；
③ 若关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 - 6ax + c = 0(a ≠ 0) $ 是倍根方程，则抛物线 $ y = ax^2 - 6ax + c $ 与 $ x $ 轴的公共点的坐标是 $ (2,0) $ 和 $ (4,0) $；
④ 若点 $ (m,n) $ 在函数 $ y = \frac{4}{x} $ 的图象上，则关于 $ x $ 的方程 $ mx^2 + 5x + n = 0 $ 是倍根方程.
上述结论中，正确的是 （
C
）A.①②
B.③④
C.②③
D.②④
答案
10. C
解析
【分析】
首先明确“倍根方程”的定义：若一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则该方程为倍根方程。解题时需逐个验证4个结论：先利用因式分解或韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）求出方程的两根，判断是否满足2倍关系；涉及函数的结论结合函数性质代入计算验证，最终选出所有正确结论对应的选项。
【解析】
我们逐个分析每个结论：
1. 验证结论①：
解方程$x^2 + 2x - 8 = 0$，因式分解得$(x+4)(x-2)=0$，解得$x_1=-4$，$x_2=2$。两个根不存在2倍关系，因此①错误。
2. 验证结论②：
设倍根方程$x^2 + ax + 2 = 0$的两根为$t$和$2t$，根据韦达定理：
两根之积：$t × 2t = 2$，即$2t^2=2$，解得$t=\pm1$；
两根之和：$t+2t=-a$，即$3t=-a$。
当$t=1$时，$3=-a$，得$a=-3$；当$t=-1$时，$-3=-a$，得$a=3$，因此$a=\pm3$，②正确。
3. 验证结论③：
设倍根方程$ax^2 -6ax +c=0$的两根为$t$和$2t$，根据韦达定理，两根之和为$t+2t=\frac{6a}{a}=6$，即$3t=6$，解得$t=2$，则另一根为$2t=4$。因此抛物线$y=ax^2-6ax+c$与x轴的交点就是$(2,0)$和$(4,0)$，③正确。
4. 验证结论④：
因为点$(m,n)$在$y=\frac{4}{x}$的图象上，所以$mn=4$。假设方程$mx^2+5x+n=0$是倍根方程，设两根为$t$和$2t$，根据韦达定理：
两根之和：$3t=-\frac{5}{m}$，得$t=-\frac{5}{3m}$；
两根之积：$2t^2=\frac{n}{m}$。
将$t=-\frac{5}{3m}$代入积的式子：$2× \frac{25}{9m^2}=\frac{n}{m}$，化简得$mn=\frac{50}{9}$，与$mn=4$矛盾，因此④错误。
综上，正确的结论是②③，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，二次函数与x轴的交点，反比例函数的性质
【点评】
本题属于新定义类综合题，解题的核心是准确理解“倍根方程”的定义，灵活运用一元二次方程根与系数的关系、函数的基本性质逐个验证结论，解题时需注意计算的准确性，避免因符号或运算错误判断失误。
【难度系数】
0.6
首先明确“倍根方程”的定义：若一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则该方程为倍根方程。解题时需逐个验证4个结论：先利用因式分解或韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）求出方程的两根，判断是否满足2倍关系；涉及函数的结论结合函数性质代入计算验证，最终选出所有正确结论对应的选项。
【解析】
我们逐个分析每个结论：
1. 验证结论①：
解方程$x^2 + 2x - 8 = 0$，因式分解得$(x+4)(x-2)=0$，解得$x_1=-4$，$x_2=2$。两个根不存在2倍关系，因此①错误。
2. 验证结论②：
设倍根方程$x^2 + ax + 2 = 0$的两根为$t$和$2t$，根据韦达定理：
两根之积：$t × 2t = 2$，即$2t^2=2$，解得$t=\pm1$；
两根之和：$t+2t=-a$，即$3t=-a$。
当$t=1$时，$3=-a$，得$a=-3$；当$t=-1$时，$-3=-a$，得$a=3$，因此$a=\pm3$，②正确。
3. 验证结论③：
设倍根方程$ax^2 -6ax +c=0$的两根为$t$和$2t$，根据韦达定理，两根之和为$t+2t=\frac{6a}{a}=6$，即$3t=6$，解得$t=2$，则另一根为$2t=4$。因此抛物线$y=ax^2-6ax+c$与x轴的交点就是$(2,0)$和$(4,0)$，③正确。
4. 验证结论④：
因为点$(m,n)$在$y=\frac{4}{x}$的图象上，所以$mn=4$。假设方程$mx^2+5x+n=0$是倍根方程，设两根为$t$和$2t$，根据韦达定理：
两根之和：$3t=-\frac{5}{m}$，得$t=-\frac{5}{3m}$；
两根之积：$2t^2=\frac{n}{m}$。
将$t=-\frac{5}{3m}$代入积的式子：$2× \frac{25}{9m^2}=\frac{n}{m}$，化简得$mn=\frac{50}{9}$，与$mn=4$矛盾，因此④错误。
综上，正确的结论是②③，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，二次函数与x轴的交点，反比例函数的性质
【点评】
本题属于新定义类综合题，解题的核心是准确理解“倍根方程”的定义，灵活运用一元二次方程根与系数的关系、函数的基本性质逐个验证结论，解题时需注意计算的准确性，避免因符号或运算错误判断失误。
【难度系数】
0.6
11. 写出一个以－3和2为根的一元二次方程：______.
答案
11. $x^2+x-6=0$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题思路可以从两种常见方法入手：① 逆用因式分解法解一元二次方程的逻辑：如果一元二次方程的根是$x_1$和$x_2$，那么方程可以写成$a(x-x_1)(x-x_2)=0$（$a≠0$）的形式，代入已知的两个根，取最简单的非零系数$a=1$即可构造方程，再整理为一般形式；② 用根与系数的关系：对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，两根之和等于$-b$，两根之积等于$c$，先计算两根的和与积，就能直接写出对应系数，得到方程。
【解析】
方法1：逆用因式分解法
已知方程的两个根为$x_1=-3$，$x_2=2$，设方程为$a(x+3)(x-2)=0$（$a$为不等于0的任意实数），取$a=1$得：
$(x+3)(x-2)=0$
展开整理得：$x^2+x-6=0$。
方法2：利用根与系数的关系
设二次项系数为1的一元二次方程为$x^2+bx+c=0$，
则$b=-(x_1+x_2)=-(-3+2)=1$，
$c=x_1x_2=-3×2=-6$，
代入得方程：$x^2+x-6=0$。
注：$a$取其他非零值时可得到更多符合要求的方程，因此答案不唯一。
【答案】
$x^2+x-6=0$(答案不唯一)
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，考查根据已知根构造一元二次方程的能力，可灵活选择因式分解逆推或根与系数关系两种方法求解，注意二次项系数不为0，因此符合要求的方程有无数个。
【难度系数】
0.9
解题思路可以从两种常见方法入手：① 逆用因式分解法解一元二次方程的逻辑：如果一元二次方程的根是$x_1$和$x_2$，那么方程可以写成$a(x-x_1)(x-x_2)=0$（$a≠0$）的形式，代入已知的两个根，取最简单的非零系数$a=1$即可构造方程，再整理为一般形式；② 用根与系数的关系：对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，两根之和等于$-b$，两根之积等于$c$，先计算两根的和与积，就能直接写出对应系数，得到方程。
【解析】
方法1：逆用因式分解法
已知方程的两个根为$x_1=-3$，$x_2=2$，设方程为$a(x+3)(x-2)=0$（$a$为不等于0的任意实数），取$a=1$得：
$(x+3)(x-2)=0$
展开整理得：$x^2+x-6=0$。
方法2：利用根与系数的关系
设二次项系数为1的一元二次方程为$x^2+bx+c=0$，
则$b=-(x_1+x_2)=-(-3+2)=1$，
$c=x_1x_2=-3×2=-6$，
代入得方程：$x^2+x-6=0$。
注：$a$取其他非零值时可得到更多符合要求的方程，因此答案不唯一。
【答案】
$x^2+x-6=0$(答案不唯一)
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，考查根据已知根构造一元二次方程的能力，可灵活选择因式分解逆推或根与系数关系两种方法求解，注意二次项系数不为0，因此符合要求的方程有无数个。
【难度系数】
0.9
12. 原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则这个百分率为
10%
.答案
12. 10%
解析
【分析】
这是一道平均降低率的应用题，解题思路如下：第一步，先设每次降价的百分率为未知数x；第二步，明确两次降价的价格计算逻辑：第一次降价后价格为原价×(1-降价百分率)，第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再降相同百分率，因此两次降价后的售价=原价×(1-降价百分率)²；第三步，根据题目给出的原价和两次降价后的售价列一元二次方程；第四步，解方程后结合实际情况舍去不符合的根，得到最终的百分率。
【解析】
设每次降价的百分率为x，根据题意可列方程：
$100(1-x)^2=81$
两边同时除以100得：$(1-x)^2=0.81$
开平方得：$1-x=\pm0.9$
当$1-x=0.9$时，解得$x=0.1=10\%$
当$1-x=-0.9$时，解得$x=1.9$，降价百分率不能大于1，不符合实际，舍去。
【答案】
10%
【知识点】
一元二次方程的应用、平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率的基础题型，解题的核心是掌握变化率的计算公式，同时要注意对求解出的方程根进行验证，舍去不符合实际意义的结果。
【难度系数】
0.8
这是一道平均降低率的应用题，解题思路如下：第一步，先设每次降价的百分率为未知数x；第二步，明确两次降价的价格计算逻辑：第一次降价后价格为原价×(1-降价百分率)，第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再降相同百分率，因此两次降价后的售价=原价×(1-降价百分率)²；第三步，根据题目给出的原价和两次降价后的售价列一元二次方程；第四步，解方程后结合实际情况舍去不符合的根，得到最终的百分率。
【解析】
设每次降价的百分率为x，根据题意可列方程：
$100(1-x)^2=81$
两边同时除以100得：$(1-x)^2=0.81$
开平方得：$1-x=\pm0.9$
当$1-x=0.9$时，解得$x=0.1=10\%$
当$1-x=-0.9$时，解得$x=1.9$，降价百分率不能大于1，不符合实际，舍去。
【答案】
10%
【知识点】
一元二次方程的应用、平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率的基础题型，解题的核心是掌握变化率的计算公式，同时要注意对求解出的方程根进行验证，舍去不符合实际意义的结果。
【难度系数】
0.8
13. 如果关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (m - 1)x + \frac{1}{4} = 0 $ 有两个相等的实数根，那么 $ m $ 的值为 ______.
答案
13. 2或0
解析
【分析】
解题核心依据是：一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta = 0$。解题思路可分为三步：第一步从给定方程中找出对应二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步将系数代入判别式公式，得到关于$m$的方程；第三步解关于$m$的方程即可得到结果，注意开平方时不要漏解。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta = b^2-4ac=0$。
在方程$x^2 - (m - 1)x + \frac{1}{4} = 0$中，$a=1$，$b=-(m-1)$，$c=\frac{1}{4}$，代入判别式得：
$\Delta = [-(m-1)]^2 - 4×1×\frac{1}{4}=0$
化简得：
$(m-1)^2 - 1 = 0$
移项得：
$(m-1)^2=1$
开平方得：
$m-1=\pm1$
当$m-1=1$时，解得$m=2$；当$m-1=-1$时，解得$m=0$。
【答案】
2或0
【知识点】
一元二次方程根的判别式，直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是准确对应方程各项系数，牢记判别式与根的个数的对应关系，解方程时注意不要遗漏负根情况。
【难度系数】
0.8
解题核心依据是：一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta = 0$。解题思路可分为三步：第一步从给定方程中找出对应二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步将系数代入判别式公式，得到关于$m$的方程；第三步解关于$m$的方程即可得到结果，注意开平方时不要漏解。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta = b^2-4ac=0$。
在方程$x^2 - (m - 1)x + \frac{1}{4} = 0$中，$a=1$，$b=-(m-1)$，$c=\frac{1}{4}$，代入判别式得：
$\Delta = [-(m-1)]^2 - 4×1×\frac{1}{4}=0$
化简得：
$(m-1)^2 - 1 = 0$
移项得：
$(m-1)^2=1$
开平方得：
$m-1=\pm1$
当$m-1=1$时，解得$m=2$；当$m-1=-1$时，解得$m=0$。
【答案】
2或0
【知识点】
一元二次方程根的判别式，直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是准确对应方程各项系数，牢记判别式与根的个数的对应关系，解方程时注意不要遗漏负根情况。
【难度系数】
0.8
14. 如果关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 4x + 2m = 0 $
有两个不相等的实数根，那么 $ m $ 的取
值范围是 ______.
有两个不相等的实数根，那么 $ m $ 的取
值范围是 ______.
答案
14. $m＜2$
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题思路如下：第一步先明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）中各系数的取值；第二步根据“方程有两个不相等的实数根”的条件，可得判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$；第三步代入系数列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 4x + 2m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=2m$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$。
将系数代入判别式得：
$(-4)^2 - 4×1×2m ＞ 0$
计算化简得：
$16 - 8m ＞ 0$
移项得：
$-8m ＞ -16$
不等式两边同时除以$-8$，不等号方向改变，得：
$m ＜ 2$
【答案】
$m＜2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，熟练掌握$\Delta＞0$、$\Delta=0$、$\Delta＜0$分别对应的三种根的情况是解题的关键，计算时要注意解不等式时不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.8
这道题考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题思路如下：第一步先明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）中各系数的取值；第二步根据“方程有两个不相等的实数根”的条件，可得判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$；第三步代入系数列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 4x + 2m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=2m$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$。
将系数代入判别式得：
$(-4)^2 - 4×1×2m ＞ 0$
计算化简得：
$16 - 8m ＞ 0$
移项得：
$-8m ＞ -16$
不等式两边同时除以$-8$，不等号方向改变，得：
$m ＜ 2$
【答案】
$m＜2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，熟练掌握$\Delta＞0$、$\Delta=0$、$\Delta＜0$分别对应的三种根的情况是解题的关键，计算时要注意解不等式时不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.8
15. 若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+3x-5=0$的两个根，则$x_1^2x_2+x_1x_2^2$的值是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
15. 15
解析
【分析】
看到待求式是关于一元二次方程两根的代数式，首先想到利用一元二次方程根与系数的关系求解，不需要分别求出两个根的值。第一步先对待求式因式分解，转化为含两根之和、两根之积的形式；第二步根据方程求出两根之和与两根之积；第三步整体代入计算即可得到结果。
【解析】
首先对待求式因式分解：
$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$
对于一元二次方程$x^2+3x-5=0$，其中$a=1$，$b=3$，$c=-5$，根据根与系数的关系：
两根之和 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -3$
两根之积 $x_1x_2 = \frac{c}{a} = -5$
将上述结果代入因式分解后的式子：
$x_1x_2(x_1 + x_2) = (-5) × (-3) = 15$
【答案】
15
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；提公因式法因式分解
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题核心是将待求式变形为两根和与两根积的组合形式，再整体代入计算，既简化了运算，也避免了直接求根可能出现的计算错误，是代数整体代入思想的典型应用。
【难度系数】
0.85
看到待求式是关于一元二次方程两根的代数式，首先想到利用一元二次方程根与系数的关系求解，不需要分别求出两个根的值。第一步先对待求式因式分解，转化为含两根之和、两根之积的形式；第二步根据方程求出两根之和与两根之积；第三步整体代入计算即可得到结果。
【解析】
首先对待求式因式分解：
$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$
对于一元二次方程$x^2+3x-5=0$，其中$a=1$，$b=3$，$c=-5$，根据根与系数的关系：
两根之和 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -3$
两根之积 $x_1x_2 = \frac{c}{a} = -5$
将上述结果代入因式分解后的式子：
$x_1x_2(x_1 + x_2) = (-5) × (-3) = 15$
【答案】
15
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；提公因式法因式分解
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题核心是将待求式变形为两根和与两根积的组合形式，再整体代入计算，既简化了运算，也避免了直接求根可能出现的计算错误，是代数整体代入思想的典型应用。
【难度系数】
0.85
16. 若$x=-2$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}+\dfrac{3}{2}ax - a^{2}=0$的一个根，则$a$的值为________.
答案
16. 1或−4
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知x=-2是方程的根，所以将x=-2代入原方程，即可得到一个只含有未知数a的一元二次方程，求解这个方程就能得到a的取值。
【解析】
因为x=-2是关于x的一元二次方程$x^{2}+\dfrac{3}{2}ax - a^{2}=0$的一个根，
所以将$x=-2$代入方程，得：
$(-2)^2 + \dfrac{3}{2}a×(-2) - a^2 = 0$
计算化简：
$4 - 3a - a^2 = 0$
整理为一元二次方程的一般形式：
$a^2 + 3a - 4 = 0$
对左侧因式分解，得：
$(a + 4)(a - 1) = 0$
所以$a + 4 = 0$或$a - 1 = 0$，
解得$a = 1$或$a = -4$。
【答案】
1或−4
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元二次方程的求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的概念的运用，解题的关键是牢记方程的根代入原方程等式成立，计算过程中注意符号问题即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知x=-2是方程的根，所以将x=-2代入原方程，即可得到一个只含有未知数a的一元二次方程，求解这个方程就能得到a的取值。
【解析】
因为x=-2是关于x的一元二次方程$x^{2}+\dfrac{3}{2}ax - a^{2}=0$的一个根，
所以将$x=-2$代入方程，得：
$(-2)^2 + \dfrac{3}{2}a×(-2) - a^2 = 0$
计算化简：
$4 - 3a - a^2 = 0$
整理为一元二次方程的一般形式：
$a^2 + 3a - 4 = 0$
对左侧因式分解，得：
$(a + 4)(a - 1) = 0$
所以$a + 4 = 0$或$a - 1 = 0$，
解得$a = 1$或$a = -4$。
【答案】
1或−4
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元二次方程的求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的概念的运用，解题的关键是牢记方程的根代入原方程等式成立，计算过程中注意符号问题即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
17. 在$△ ABC$中，$BC = 2$，$AB = 2\sqrt{3}$，$AC = b$，且关于$x$的方程$x^2 - 4x + b = 0$有两个相等的实数根，则边$AC$上的中线长为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
17. 2
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，利用一元二次方程有两个相等实数根的条件，结合根的判别式求出参数b的值，即得到AC边的长度；第二步，先通过勾股定理的逆定理判断△ABC的形状，再结合对应几何性质计算AC边上的中线长度。首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个相等实根时判别式$\Delta = b^2-4ac=0$，代入方程系数即可求出b；得到三角形三边长后，验证是否满足勾股定理的逆定理，若为直角三角形，即可用斜边中线的性质快速求解。
【解析】
1. 求AC的长度：
已知关于$x$的方程$x^2 - 4x + b = 0$有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式规则，可得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×1× b = 0$
计算得$16 - 4b = 0$，解得$b=4$，即$AC=4$。
2. 判断△ABC的形状：
已知$BC=2$，$AB=2\sqrt{3}$，$AC=4$，计算两边平方和：
$BC^2 + AB^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16$
而$AC^2 = 4^2 = 16$，因此$BC^2 + AB^2 = AC^2$，根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ B=90°$，$AC$为斜边。
3. 求AC边上的中线长：
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此AC边上的中线长为$\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×4 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题综合考察了一元二次方程与三角形几何性质的结合应用，解题核心是先通过方程根的情况求出未知边长，再判断三角形形状后结合对应性质求解，注重对基础知识串联应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步，利用一元二次方程有两个相等实数根的条件，结合根的判别式求出参数b的值，即得到AC边的长度；第二步，先通过勾股定理的逆定理判断△ABC的形状，再结合对应几何性质计算AC边上的中线长度。首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个相等实根时判别式$\Delta = b^2-4ac=0$，代入方程系数即可求出b；得到三角形三边长后，验证是否满足勾股定理的逆定理，若为直角三角形，即可用斜边中线的性质快速求解。
【解析】
1. 求AC的长度：
已知关于$x$的方程$x^2 - 4x + b = 0$有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式规则，可得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×1× b = 0$
计算得$16 - 4b = 0$，解得$b=4$，即$AC=4$。
2. 判断△ABC的形状：
已知$BC=2$，$AB=2\sqrt{3}$，$AC=4$，计算两边平方和：
$BC^2 + AB^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16$
而$AC^2 = 4^2 = 16$，因此$BC^2 + AB^2 = AC^2$，根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ B=90°$，$AC$为斜边。
3. 求AC边上的中线长：
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此AC边上的中线长为$\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×4 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题综合考察了一元二次方程与三角形几何性质的结合应用，解题核心是先通过方程根的情况求出未知边长，再判断三角形形状后结合对应性质求解，注重对基础知识串联应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
18. 已知 3 是关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (m+1) · x + 2m = 0 $ 的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形 $ ABC $ 的两条边的边长，则 $ △ ABC $ 的周长为 ______。
答案
18. 10或11
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据方程根的定义，将已知根x=3代入一元二次方程，求出参数m的值；第二步，把m代回原方程，解出方程的两个实数根；第三步，结合等腰三角形两条边长为方程两根的条件，分两种情况讨论腰长和底边长，同时用三角形三边关系验证两种情况是否成立，最后计算对应周长即可。
【解析】
1. 求参数m：
∵ 3是方程$x^2 - (m+1)x + 2m = 0$的实数根
∴ 将$x=3$代入方程得：
$3^2 - 3(m+1) + 2m = 0$
化简得：$9 - 3m - 3 + 2m = 0$，即$6 - m = 0$
解得：$m=6$
2. 解一元二次方程：
将$m=6$代入原方程得：$x^2 -7x +12 = 0$
因式分解得：$(x-3)(x-4)=0$
解得方程的两个根为：$x_1=3$，$x_2=4$
3. 结合等腰三角形性质计算周长：
已知方程两根是等腰$△ ABC$的两条边长，分两种情况讨论：
① 若腰长为3，底边长为4：
此时三边长为3、3、4，满足$3+3＞4$，符合三角形三边关系
周长为$3+3+4=10$
② 若腰长为4，底边长为3：
此时三边长为4、4、3，满足$3+4＞4$，符合三角形三边关系
周长为$4+4+3=11$
综上，$△ ABC$的周长为10或11。
【答案】
10或11
【知识点】
一元二次方程根的定义、等腰三角形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题时要注意分类讨论等腰三角形的腰长情况，同时不要忽略验证三角形三边关系，避免出现漏解或错解。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，根据方程根的定义，将已知根x=3代入一元二次方程，求出参数m的值；第二步，把m代回原方程，解出方程的两个实数根；第三步，结合等腰三角形两条边长为方程两根的条件，分两种情况讨论腰长和底边长，同时用三角形三边关系验证两种情况是否成立，最后计算对应周长即可。
【解析】
1. 求参数m：
∵ 3是方程$x^2 - (m+1)x + 2m = 0$的实数根
∴ 将$x=3$代入方程得：
$3^2 - 3(m+1) + 2m = 0$
化简得：$9 - 3m - 3 + 2m = 0$，即$6 - m = 0$
解得：$m=6$
2. 解一元二次方程：
将$m=6$代入原方程得：$x^2 -7x +12 = 0$
因式分解得：$(x-3)(x-4)=0$
解得方程的两个根为：$x_1=3$，$x_2=4$
3. 结合等腰三角形性质计算周长：
已知方程两根是等腰$△ ABC$的两条边长，分两种情况讨论：
① 若腰长为3，底边长为4：
此时三边长为3、3、4，满足$3+3＞4$，符合三角形三边关系
周长为$3+3+4=10$
② 若腰长为4，底边长为3：
此时三边长为4、4、3，满足$3+4＞4$，符合三角形三边关系
周长为$4+4+3=11$
综上，$△ ABC$的周长为10或11。
【答案】
10或11
【知识点】
一元二次方程根的定义、等腰三角形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题时要注意分类讨论等腰三角形的腰长情况，同时不要忽略验证三角形三边关系，避免出现漏解或错解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
19. 若－2 是方程 $x^2 - 3x + k = 0$ 的一个根，求方程的另一个根和 $k$ 的值.
19. 若－2 是方程 $x^2 - 3x + k = 0$ 的一个根，求方程的另一个根和 $k$ 的值.
答案
19. 设方程的另一个根为 $x_2$.根据题意,得 $\begin{cases}-2+x_2=3,\\-2x_2=k,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x_2=5,\\k=-10.\end{cases}$
∴方程的另一个根为 5，k 的值为−10.
∴方程的另一个根为 5，k 的值为−10.
解析
【分析】
遇到已知一元二次方程的一个根，求另一根和未知参数的问题，我们可以用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）快速求解：对于形如$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一元二次方程，两根之和等于$-\frac{b}{a}$，两根之积等于$\frac{c}{a}$。本题中我们先设另一个根为$x_2$，再根据根与系数的关系列出关于$x_2$和$k$的方程组，解方程组即可得到结果。
【解析】
设方程的另一个根为$x_2$。
对于方程$x^2 - 3x + k = 0$，$a=1$，$b=-3$，$c=k$，根据根与系数的关系可得：
$\begin{cases}-2+x_2=-\frac{b}{a}=3,\\-2x_2=\frac{c}{a}=k,\end{cases}$
解第一个方程：$x_2=3+2=5$，
将$x_2=5$代入第二个方程，得$k=-2×5=-10$。
【答案】
方程的另一个根为5，k的值为−10。
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题型，解题方法灵活，除使用韦达定理外，也可先将已知根代入原方程求出k的值，再解方程得到另一个根，两种方法可互相验证结果。
【难度系数】
0.8
遇到已知一元二次方程的一个根，求另一根和未知参数的问题，我们可以用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）快速求解：对于形如$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一元二次方程，两根之和等于$-\frac{b}{a}$，两根之积等于$\frac{c}{a}$。本题中我们先设另一个根为$x_2$，再根据根与系数的关系列出关于$x_2$和$k$的方程组，解方程组即可得到结果。
【解析】
设方程的另一个根为$x_2$。
对于方程$x^2 - 3x + k = 0$，$a=1$，$b=-3$，$c=k$，根据根与系数的关系可得：
$\begin{cases}-2+x_2=-\frac{b}{a}=3,\\-2x_2=\frac{c}{a}=k,\end{cases}$
解第一个方程：$x_2=3+2=5$，
将$x_2=5$代入第二个方程，得$k=-2×5=-10$。
【答案】
方程的另一个根为5，k的值为−10。
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题型，解题方法灵活，除使用韦达定理外，也可先将已知根代入原方程求出k的值，再解方程得到另一个根，两种方法可互相验证结果。
【难度系数】
0.8
20. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (t - 1)x + t - 2 = 0 $。
（1）求证：对于任意实数 $ t $，该方程都有实数根。
（2）当 $ t $ 为何值时，该方程的两个根互为相反数？请说明理由。
（1）求证：对于任意实数 $ t $，该方程都有实数根。
（2）当 $ t $ 为何值时，该方程的两个根互为相反数？请说明理由。
答案
20. (1)
∵在方程 $x^2-(t-1)x+t-2=0$ 中,$\Delta=[-(t-1)]^2-4×1×(t-2)=t^2-6t+9=(t-3)^2\ge0$,
∴对于任意实数 $t$,该方程都有实数根.
(2) $t=1$.理由:设方程的两个根分别为 $m,n$.
∵方程的两个根互为相反数,
∴$m+n=t-1=0$,解得 $t=1$.
∴当 $t=1$ 时,方程的两个根互为相反数.
∵在方程 $x^2-(t-1)x+t-2=0$ 中,$\Delta=[-(t-1)]^2-4×1×(t-2)=t^2-6t+9=(t-3)^2\ge0$,
∴对于任意实数 $t$,该方程都有实数根.
(2) $t=1$.理由:设方程的两个根分别为 $m,n$.
∵方程的两个根互为相反数,
∴$m+n=t-1=0$,解得 $t=1$.
∴当 $t=1$ 时,方程的两个根互为相反数.
解析
【分析】
（1）要证明任意实数t下方程都有实数根，只需验证一元二次方程的根的判别式恒大于等于0即可。先对应找到方程中a、b、c的取值，代入判别式公式化简，再判断化简结果的取值范围即可得证。
（2）若方程两根互为相反数，根据根与系数的关系可知两根之和为0，先写出该方程两根之和的表达式，令其等于0求解即可得到t的取值。
【解析】
（1）证明：在方程$x^2-(t-1)x+t-2=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(t-1)$，常数项$c=t-2$，
则根的判别式$\Delta = [-(t-1)]^2-4×1×(t-2)=t^2-2t+1-4t+8=t^2-6t+9=(t-3)^2$，
∵对任意实数t，都有$(t-3)^2\ge0$，即$\Delta\ge0$，
∴对于任意实数$t$，该方程都有实数根。
（2）当$t=1$时，方程的两个根互为相反数，理由如下：
设方程的两个根分别为$m,n$，根据根与系数的关系，两根之和$m+n = t-1$，
∵两个根互为相反数，
∴$m+n=0$，即$t-1=0$，解得$t=1$，
∴当$t=1$时，该方程的两个根互为相反数。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$t=1$，理由见解析
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的常规基础题，核心考查判别式判断根的情况、根与系数关系的应用，掌握基础公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）要证明任意实数t下方程都有实数根，只需验证一元二次方程的根的判别式恒大于等于0即可。先对应找到方程中a、b、c的取值，代入判别式公式化简，再判断化简结果的取值范围即可得证。
（2）若方程两根互为相反数，根据根与系数的关系可知两根之和为0，先写出该方程两根之和的表达式，令其等于0求解即可得到t的取值。
【解析】
（1）证明：在方程$x^2-(t-1)x+t-2=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(t-1)$，常数项$c=t-2$，
则根的判别式$\Delta = [-(t-1)]^2-4×1×(t-2)=t^2-2t+1-4t+8=t^2-6t+9=(t-3)^2$，
∵对任意实数t，都有$(t-3)^2\ge0$，即$\Delta\ge0$，
∴对于任意实数$t$，该方程都有实数根。
（2）当$t=1$时，方程的两个根互为相反数，理由如下：
设方程的两个根分别为$m,n$，根据根与系数的关系，两根之和$m+n = t-1$，
∵两个根互为相反数，
∴$m+n=0$，即$t-1=0$，解得$t=1$，
∴当$t=1$时，该方程的两个根互为相反数。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$t=1$，理由见解析
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的常规基础题，核心考查判别式判断根的情况、根与系数关系的应用，掌握基础公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
