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21. 从一块正方形木板上锯掉 2 m 宽的矩形木条，剩下的面积是 48 $\mathrm{m}^2$.求原来正方形木板的面积.
答案
21. 设原来正方形木板的边长为 $x$ m.根据题意,得 $x(x-2)=48$,解得 $x=8$ 或 $x=-6$(不合题意,舍去).
∴$8×8=64(\mathrm{m}^2)$.答:原来正方形木板的面积是 64 $\mathrm{m}^2$.
∴$8×8=64(\mathrm{m}^2)$.答:原来正方形木板的面积是 64 $\mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
解题时先明确图形变化前后的数量关系：原木板是正方形，设其边长为x m，锯掉2m宽的矩形木条后，剩余图形是长为x m、宽为(x-2)m的矩形，已知剩余面积为48 m²，我们可以借助矩形面积公式列一元二次方程求解，求出原正方形边长后即可计算其面积，注意边长为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
设原来正方形木板的边长为 $x$ m，锯掉2m宽的木条后，剩余矩形的宽为$(x-2)$ m。
根据矩形面积公式，列方程得：
$x(x-2)=48$
整理得 $x^2-2x-48=0$
因式分解得 $(x-8)(x+6)=0$
解得 $x=8$ 或 $x=-6$
因为木板边长为正数，故$x=-6$不合题意，舍去。
因此原正方形木板的面积为：$8×8=64(\mathrm{m}^2)$
【答案】
原来正方形木板的面积是 $\boldsymbol{64\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，解题核心是准确梳理剩余图形边长和原正方形边长的对应关系，求解方程后要注意结合实际场景检验根的合理性。
【难度系数】
0.8
解题时先明确图形变化前后的数量关系：原木板是正方形，设其边长为x m，锯掉2m宽的矩形木条后，剩余图形是长为x m、宽为(x-2)m的矩形，已知剩余面积为48 m²，我们可以借助矩形面积公式列一元二次方程求解，求出原正方形边长后即可计算其面积，注意边长为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
设原来正方形木板的边长为 $x$ m，锯掉2m宽的木条后，剩余矩形的宽为$(x-2)$ m。
根据矩形面积公式，列方程得：
$x(x-2)=48$
整理得 $x^2-2x-48=0$
因式分解得 $(x-8)(x+6)=0$
解得 $x=8$ 或 $x=-6$
因为木板边长为正数，故$x=-6$不合题意，舍去。
因此原正方形木板的面积为：$8×8=64(\mathrm{m}^2)$
【答案】
原来正方形木板的面积是 $\boldsymbol{64\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，解题核心是准确梳理剩余图形边长和原正方形边长的对应关系，求解方程后要注意结合实际场景检验根的合理性。
【难度系数】
0.8
22. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 4x - m^2 = 0 $。
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根。
（2）若该方程的两个实数根 $ x_1, x_2 $ 满足 $ x_1 + 2x_2 = 9 $，求 $ m $ 的值。
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根。
（2）若该方程的两个实数根 $ x_1, x_2 $ 满足 $ x_1 + 2x_2 = 9 $，求 $ m $ 的值。
答案
22. (1)
∵在方程 $x^2-4x-m^2=0$ 中,$\Delta=(-4)^2-4×1×(-m^2)=16+4m^2＞0$,
∴该方程有两个不相等的实数根.
(2)
∵该方程的两个实数根分别为 $x_1,x_2$,
∴$x_1+x_2=4$ ①,$x_1· x_2=-m^2$ ②.
∵$x_1+2x_2=9$ ③,
∴联立①③解得 $x_1=-1,x_2=5$.
∴$x_1· x_2=-5=-m^2$,解得 $m=\pm\sqrt{5}$.
∵在方程 $x^2-4x-m^2=0$ 中,$\Delta=(-4)^2-4×1×(-m^2)=16+4m^2＞0$,
∴该方程有两个不相等的实数根.
(2)
∵该方程的两个实数根分别为 $x_1,x_2$,
∴$x_1+x_2=4$ ①,$x_1· x_2=-m^2$ ②.
∵$x_1+2x_2=9$ ③,
∴联立①③解得 $x_1=-1,x_2=5$.
∴$x_1· x_2=-5=-m^2$,解得 $m=\pm\sqrt{5}$.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，核心是判断根的判别式Δ的正负性，只要Δ＞0即可得证。首先明确方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入判别式公式Δ=b²-4ac计算，结合平方的非负性就能判断Δ恒大于0。
（2）已知方程两根的关系，首先根据根与系数的关系得到两根之和的固定关系式，再和题目给出的x₁+2x₂=9联立，解出两个根的具体值，最后代入两根之积的关系式就能求出参数m的值。
【解析】
（1）证明：在方程 $x^2-4x-m^2=0$ 中，$a=1$，$b=-4$，$c=-m^2$，
∴判别式 $\Delta=(-4)^2-4×1×(-m^2)=16+4m^2$，
∵$m^2≥0$，
∴$16+4m^2＞0$，即$\Delta＞0$，
∴该方程有两个不相等的实数根。
（2）解：
∵$x_1, x_2$是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=4$ ①，$x_1· x_2=-m^2$ ②，
又已知$x_1+2x_2=9$ ③，
联立①③，用③-①得$x_2=5$，将$x_2=5$代入①得$x_1=-1$，
把$x_1=-1$，$x_2=5$代入②得：$-1×5=-m^2$，
化简得$m^2=5$，解得$m=\pm\sqrt{5}$。
【答案】
（1）该方程有两个不相等的实数根，得证；
（2）$m=\pm\sqrt{5}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题，第一问直接考查根的判别式的基础应用，难度较低；第二问需要结合根与系数的关系联立方程求解根，再反求参数，解题时要注意符号运算的准确性，熟练掌握核心公式即可快速解答。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，核心是判断根的判别式Δ的正负性，只要Δ＞0即可得证。首先明确方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入判别式公式Δ=b²-4ac计算，结合平方的非负性就能判断Δ恒大于0。
（2）已知方程两根的关系，首先根据根与系数的关系得到两根之和的固定关系式，再和题目给出的x₁+2x₂=9联立，解出两个根的具体值，最后代入两根之积的关系式就能求出参数m的值。
【解析】
（1）证明：在方程 $x^2-4x-m^2=0$ 中，$a=1$，$b=-4$，$c=-m^2$，
∴判别式 $\Delta=(-4)^2-4×1×(-m^2)=16+4m^2$，
∵$m^2≥0$，
∴$16+4m^2＞0$，即$\Delta＞0$，
∴该方程有两个不相等的实数根。
（2）解：
∵$x_1, x_2$是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=4$ ①，$x_1· x_2=-m^2$ ②，
又已知$x_1+2x_2=9$ ③，
联立①③，用③-①得$x_2=5$，将$x_2=5$代入①得$x_1=-1$，
把$x_1=-1$，$x_2=5$代入②得：$-1×5=-m^2$，
化简得$m^2=5$，解得$m=\pm\sqrt{5}$。
【答案】
（1）该方程有两个不相等的实数根，得证；
（2）$m=\pm\sqrt{5}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题，第一问直接考查根的判别式的基础应用，难度较低；第二问需要结合根与系数的关系联立方程求解根，再反求参数，解题时要注意符号运算的准确性，熟练掌握核心公式即可快速解答。
【难度系数】
0.7
23. 某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次的蛋糕产品每天生产76件,每件利润为10元.调查表明:生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元.
(1) 若生产的某批次蛋糕产品每件利润为14元,则此批次蛋糕产品属第几档次?
(2) 由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次蛋糕产品一天的总利润为1 080元,则该烘焙店生产的是第几档次的蛋糕产品?
(1) 若生产的某批次蛋糕产品每件利润为14元,则此批次蛋糕产品属第几档次?
(2) 由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次蛋糕产品一天的总利润为1 080元,则该烘焙店生产的是第几档次的蛋糕产品?
答案
23. (1) $(14-10)÷2+1=3$,
∴此批次蛋糕产品属第三档次.
(2) 设该烘焙店生产的是第 $x$ 档次的蛋糕产品.根据题意,得 $(2x+8)×(76+4-4x)=1080$,整理得 $x^2-16x+55=0$,解得 $x_1=5,x_2=11$(不合题意,舍去).
∴该烘焙店生产的是第五档次的蛋糕产品.
∴此批次蛋糕产品属第三档次.
(2) 设该烘焙店生产的是第 $x$ 档次的蛋糕产品.根据题意,得 $(2x+8)×(76+4-4x)=1080$,整理得 $x^2-16x+55=0$,解得 $x_1=5,x_2=11$(不合题意,舍去).
∴该烘焙店生产的是第五档次的蛋糕产品.
解析
【分析】
(1) 解题思路：已知第一档次每件利润10元，每提高1个档次单件利润增加2元。要计算利润14元对应的档次，先求单件利润比第一档多的金额，除以2得到提升的档次数，再加1即可得到对应档次。
(2) 解题思路：设生产的是第x档次的产品，先分别推导第x档次的单件利润和日产量：①单件利润：第一档10元，每提1档加2元，因此第x档单件利润为10+2(x-1)；②日产量：第一档日产量76件，每提1档减产4件，因此第x档日产量为76-4(x-1)。再根据“总利润=单件利润×日产量”列方程求解，最后结合共有6个档次的限制舍去不符合题意的解。
【解析】
(1) 计算提升的档次数：$(14-10)÷2=2$，对应档次为$2+1=3$
∴此批次蛋糕产品属第三档次。
(2) 设该烘焙店生产的是第$x$档次的蛋糕产品。
根据题意列方程：
$[10+2(x-1)]×[76-4(x-1)]=1080$
整理得：
$(2x+8)(80-4x)=1080$
化简为：
$x^2-16x+55=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=11$
由于蛋糕礼盒共6个档次，$11＞6$，不符合题意，舍去$x_2=11$。
∴该烘焙店生产的是第五档次的蛋糕产品。
【答案】
(1) 第三档次；(2) 第五档次
【知识点】
一元一次方程应用，一元二次方程应用，利润问题求解
【点评】
本题结合生活实际考查方程的应用，解题关键是找准不同档次对应的单件利润、产量的表达式，同时要注意根据题目中的实际限制条件对解方程得到的根进行取舍，避免错解。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：已知第一档次每件利润10元，每提高1个档次单件利润增加2元。要计算利润14元对应的档次，先求单件利润比第一档多的金额，除以2得到提升的档次数，再加1即可得到对应档次。
(2) 解题思路：设生产的是第x档次的产品，先分别推导第x档次的单件利润和日产量：①单件利润：第一档10元，每提1档加2元，因此第x档单件利润为10+2(x-1)；②日产量：第一档日产量76件，每提1档减产4件，因此第x档日产量为76-4(x-1)。再根据“总利润=单件利润×日产量”列方程求解，最后结合共有6个档次的限制舍去不符合题意的解。
【解析】
(1) 计算提升的档次数：$(14-10)÷2=2$，对应档次为$2+1=3$
∴此批次蛋糕产品属第三档次。
(2) 设该烘焙店生产的是第$x$档次的蛋糕产品。
根据题意列方程：
$[10+2(x-1)]×[76-4(x-1)]=1080$
整理得：
$(2x+8)(80-4x)=1080$
化简为：
$x^2-16x+55=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=11$
由于蛋糕礼盒共6个档次，$11＞6$，不符合题意，舍去$x_2=11$。
∴该烘焙店生产的是第五档次的蛋糕产品。
【答案】
(1) 第三档次；(2) 第五档次
【知识点】
一元一次方程应用，一元二次方程应用，利润问题求解
【点评】
本题结合生活实际考查方程的应用，解题关键是找准不同档次对应的单件利润、产量的表达式，同时要注意根据题目中的实际限制条件对解方程得到的根进行取舍，避免错解。
【难度系数】
0.7
24. 某商店在2023—2025年期间销售同一种礼盒.2023年，该商店用3 500元购进了这种礼盒并且全部售完；2025年，这种礼盒的进价比2023年下降了11元/盒，该商店用2 400元购进了与2023年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒.
（1）2023年这种礼盒的进价是多少？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，则年增长率是多少？
（1）2023年这种礼盒的进价是多少？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，则年增长率是多少？
答案
24. (1) 设 2023 年这种礼盒的进价为 $x$ 元/盒,则 2025 年这种礼盒的进价为 $(x-11)$ 元/盒.根据题意,得 $\dfrac{3\ 500}{x}=\dfrac{2\ 400}{x-11}$,解得 $x=35$.经检验,$x=35$ 是所列方程的解,且符合题意.答:2023 年这种礼盒的进价是 35 元/盒.
(2) 设年增长率为 $a$,2023 年的销售数量为 $3\ 500÷35=100$(盒).根据题意,得 $(60-35)×100(1+a)^2=(60-35+11)×100$,解得 $a=0.2=20\%$ 或 $a=-2.2$(不合题意,舍去).答:年增长率为 20%.
(2) 设年增长率为 $a$,2023 年的销售数量为 $3\ 500÷35=100$(盒).根据题意,得 $(60-35)×100(1+a)^2=(60-35+11)×100$,解得 $a=0.2=20\%$ 或 $a=-2.2$(不合题意,舍去).答:年增长率为 20%.
解析
【分析】
（1）求解2023年礼盒进价时，抓住“2025年购进的礼盒数量与2023年相同”这一等量关系，礼盒购进数量=总进价÷单盒进价，分别表示出两年的购进数量即可列分式方程求解，注意分式方程需要检验解是否符合要求。
（2）求解年增长率时，先根据第一问的进价算出2023年的销售数量，再分别计算2023年和2025年的总利润，结合“年增长率相同”的条件，利用“增长后量=增长前量×(1+增长率)²”的公式列方程，最后舍去不符合实际的负解即可。
【解析】
（1）设2023年这种礼盒的进价为$x$元/盒，则2025年这种礼盒的进价为$(x-11)$元/盒。
根据题意，两年购进礼盒数量相等，列方程得：
$\dfrac{3\ 500}{x}=\dfrac{2\ 400}{x-11}$
解得 $x=35$。
经检验，$x=35$是所列方程的解，且符合实际意义。
（2）设年增长率为$a$，2023年的销售数量为$3\ 500÷35=100$（盒）。
2023年单盒利润为$60-35=25$元，2025年单盒利润为$60-(35-11)=36$元，根据利润增长规律列方程得：
$(60-35)×100(1+a)^2=(60-35+11)×100$
解得 $a=0.2=20\%$ 或 $a=-2.2$，增长率不能为负，故舍去$a=-2.2$。
【答案】
（1）2023年这种礼盒的进价是35元/盒；
（2）年增长率为20%。
【知识点】
分式方程的应用；增长率问题
【点评】
本题是方程实际应用的常规题型，解题核心是准确提取题干中的等量关系列方程，同时要注意分式方程必须验根，增长率的解要符合实际意义，需剔除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
（1）求解2023年礼盒进价时，抓住“2025年购进的礼盒数量与2023年相同”这一等量关系，礼盒购进数量=总进价÷单盒进价，分别表示出两年的购进数量即可列分式方程求解，注意分式方程需要检验解是否符合要求。
（2）求解年增长率时，先根据第一问的进价算出2023年的销售数量，再分别计算2023年和2025年的总利润，结合“年增长率相同”的条件，利用“增长后量=增长前量×(1+增长率)²”的公式列方程，最后舍去不符合实际的负解即可。
【解析】
（1）设2023年这种礼盒的进价为$x$元/盒，则2025年这种礼盒的进价为$(x-11)$元/盒。
根据题意，两年购进礼盒数量相等，列方程得：
$\dfrac{3\ 500}{x}=\dfrac{2\ 400}{x-11}$
解得 $x=35$。
经检验，$x=35$是所列方程的解，且符合实际意义。
（2）设年增长率为$a$，2023年的销售数量为$3\ 500÷35=100$（盒）。
2023年单盒利润为$60-35=25$元，2025年单盒利润为$60-(35-11)=36$元，根据利润增长规律列方程得：
$(60-35)×100(1+a)^2=(60-35+11)×100$
解得 $a=0.2=20\%$ 或 $a=-2.2$，增长率不能为负，故舍去$a=-2.2$。
【答案】
（1）2023年这种礼盒的进价是35元/盒；
（2）年增长率为20%。
【知识点】
分式方程的应用；增长率问题
【点评】
本题是方程实际应用的常规题型，解题核心是准确提取题干中的等量关系列方程，同时要注意分式方程必须验根，增长率的解要符合实际意义，需剔除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
