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7. 根据如图所示的程序计算函数 $ y $ 的值，当输入 $ x $ 的值为 4 时，输出的 $ y $ 的值为 5.若输入 $ x $ 的值为 2，则输出 $ y $ 的值为
（
A.$-6$
B.$6$
C.$-3$
D.$3$
（
C
）A.$-6$
B.$6$
C.$-3$
D.$3$
答案
7. C
解析
【分析】
解题时先根据输入x=4的情况确定对应的函数解析式，代入已知的输出y=5求出参数b的值；再判断输入x=2时符合的取值范围，选择对应的函数解析式，代入b的值计算即可得到输出的y值。第一步：先判断x=4和3的大小关系，4＞3，所以选择y=2x+b，代入x=4、y=5列方程求b；第二步：判断x=2＜3，选择y=bx+3，代入b和x=2计算结果。
【解析】
解：当输入x=4时，
∵4＞3，
∴将x=4，y=5代入$y=2x+b$，得：
$5=2×4 + b$
解得$b=5-8=-3$
当输入x=2时，
∵2＜3，
∴将x=2，$b=-3$代入$y=bx+3$，得：
$y=-3×2 + 3 = -6 +3 = -3$
所以输出y的值为-3。
【答案】
C
【知识点】
分段函数求值，解一元一次方程，代数式求值
【点评】
本题结合程序框图考查函数值的计算，解题的关键是先根据x的取值范围选择对应的函数解析式，先求出未知参数b的值，再代入所求x的值计算，要注意判断x的范围，不要代错解析式。
【难度系数】
0.7
解题时先根据输入x=4的情况确定对应的函数解析式，代入已知的输出y=5求出参数b的值；再判断输入x=2时符合的取值范围，选择对应的函数解析式，代入b的值计算即可得到输出的y值。第一步：先判断x=4和3的大小关系，4＞3，所以选择y=2x+b，代入x=4、y=5列方程求b；第二步：判断x=2＜3，选择y=bx+3，代入b和x=2计算结果。
【解析】
解：当输入x=4时，
∵4＞3，
∴将x=4，y=5代入$y=2x+b$，得：
$5=2×4 + b$
解得$b=5-8=-3$
当输入x=2时，
∵2＜3，
∴将x=2，$b=-3$代入$y=bx+3$，得：
$y=-3×2 + 3 = -6 +3 = -3$
所以输出y的值为-3。
【答案】
C
【知识点】
分段函数求值，解一元一次方程，代数式求值
【点评】
本题结合程序框图考查函数值的计算，解题的关键是先根据x的取值范围选择对应的函数解析式，先求出未知参数b的值，再代入所求x的值计算，要注意判断x的范围，不要代错解析式。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,连接AE,AF,EF,∠EAF=45°.若∠BAE=α,则∠FEC是(
A.$2α$
B.$90° - 2α$
C.$45° - α$
D.$90° - α$
A
)A.$2α$
B.$90° - 2α$
C.$45° - α$
D.$90° - α$
答案
8. A
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用正方形的性质得到∠B=∠BAD=90°，结合已知∠BAE=α，可直接求出Rt△ABE中∠AEB的度数；2. 观察到∠EAF=45°，刚好是∠BAD的一半，属于正方形半角模型，通过旋转△ADF构造全等三角形，将∠DAF转移到与∠BAE相邻的位置，可证得△AEG和△AEF全等，得到∠AEF与∠AEB相等；3. 最后根据平角为180°，用180°减去两个相等的∠AEB、∠AEF的度数，即可求出∠FEC的大小。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90°。
∵∠BAE=α，在Rt△ABE中，
∴∠AEB=90°-α。
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = 90°-45°=45°。
将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABG：
则AG=AF，∠GAB=∠DAF，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠B=180°，即G、B、E三点共线，
∴∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°，即∠GAE=∠EAF。
在△AEG和△AEF中：
$\begin{cases} AG=AF \\ ∠ GAE=∠ EAF \\ AE=AE \end{cases}$
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴∠AEF=∠AEG=∠AEB=90°-α。
∵点E在BC上，∠BEC为平角，即180°，
∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF=180°-2×(90°-α)=2α。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的应用
【点评】
本题是正方形半角模型的典型考题，核心解题思路是通过旋转构造全等三角形，将分散的角度条件整合，建立已知角和所求角的等量关系。熟练掌握常见的几何模型能有效简化解题步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先利用正方形的性质得到∠B=∠BAD=90°，结合已知∠BAE=α，可直接求出Rt△ABE中∠AEB的度数；2. 观察到∠EAF=45°，刚好是∠BAD的一半，属于正方形半角模型，通过旋转△ADF构造全等三角形，将∠DAF转移到与∠BAE相邻的位置，可证得△AEG和△AEF全等，得到∠AEF与∠AEB相等；3. 最后根据平角为180°，用180°减去两个相等的∠AEB、∠AEF的度数，即可求出∠FEC的大小。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90°。
∵∠BAE=α，在Rt△ABE中，
∴∠AEB=90°-α。
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = 90°-45°=45°。
将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABG：
则AG=AF，∠GAB=∠DAF，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠B=180°，即G、B、E三点共线，
∴∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°，即∠GAE=∠EAF。
在△AEG和△AEF中：
$\begin{cases} AG=AF \\ ∠ GAE=∠ EAF \\ AE=AE \end{cases}$
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴∠AEF=∠AEG=∠AEB=90°-α。
∵点E在BC上，∠BEC为平角，即180°，
∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF=180°-2×(90°-α)=2α。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的应用
【点评】
本题是正方形半角模型的典型考题，核心解题思路是通过旋转构造全等三角形，将分散的角度条件整合，建立已知角和所求角的等量关系。熟练掌握常见的几何模型能有效简化解题步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.6
9. 在平面直角坐标系中,若点 A 的坐标为$(1,\sqrt{3})$,则 OA 的长为________。
答案
9. 2
解析
【分析】
要求OA的长度，首先明确O是平面直角坐标系的原点，点A的坐标为$(1,\sqrt{3})$。根据平面直角坐标系的性质，点的横坐标绝对值是该点到y轴的距离，纵坐标绝对值是该点到x轴的距离，过A向x轴作垂线后，OA、垂线、x轴上的线段可构成直角三角形，两条直角边长度分别为1和$\sqrt{3}$，再用勾股定理就能求出斜边OA的长。
【解析】
解：
∵O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为$(1,\sqrt{3})$
∴根据勾股定理，OA的长度为：
$\begin{aligned}OA&=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}\\&=\sqrt{1+3}\\&=\sqrt{4}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
勾股定理，点坐标的几何意义，点到原点的距离计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查勾股定理在平面直角坐标系中的简单应用，只要明确点的横纵坐标对应的直角边长度，代入计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要求OA的长度，首先明确O是平面直角坐标系的原点，点A的坐标为$(1,\sqrt{3})$。根据平面直角坐标系的性质，点的横坐标绝对值是该点到y轴的距离，纵坐标绝对值是该点到x轴的距离，过A向x轴作垂线后，OA、垂线、x轴上的线段可构成直角三角形，两条直角边长度分别为1和$\sqrt{3}$，再用勾股定理就能求出斜边OA的长。
【解析】
解：
∵O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为$(1,\sqrt{3})$
∴根据勾股定理，OA的长度为：
$\begin{aligned}OA&=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}\\&=\sqrt{1+3}\\&=\sqrt{4}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
勾股定理，点坐标的几何意义，点到原点的距离计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查勾股定理在平面直角坐标系中的简单应用，只要明确点的横纵坐标对应的直角边长度，代入计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
10. 如图,在一个长方形内有两个正方形,面积分别为 8,3,则阴影部分的面积之和为________.
答案
10. $2\sqrt{6}-3$
解析
【分析】
解题时首先从已知的两个正方形面积入手，根据正方形面积与边长的关系，先求出两个正方形的边长；再观察阴影部分的形状特点，可通过割补法把两个分散的阴影部分拼接成一个规则的长方形，找到拼接后长方形的长和宽，最后用长方形面积公式计算即可得到阴影部分总面积。
【解析】
1. 求两个正方形的边长：
根据正方形面积公式$S=a^2$，可得面积为8的正方形边长为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，面积为3的正方形边长为$\sqrt{3}$。
2. 分析拼接后阴影长方形的参数：
将两个阴影部分拼接，可得一个长方形，该长方形的长等于小正方形的边长$\sqrt{3}$，宽等于大正方形边长减去小正方形边长，即$2\sqrt{2}-\sqrt{3}$。
3. 计算阴影面积：
根据长方形面积公式，阴影部分总面积为：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{3}×(2\sqrt{2}-\sqrt{3})\\&=\sqrt{3}×2\sqrt{2}-\sqrt{3}×\sqrt{3}\\&=2\sqrt{6}-3\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{6}-3$
【知识点】
正方形面积计算、二次根式运算、割补法求面积
【点评】
本题属于面积计算的常规题型，核心解题思路是通过割补法将不规则的阴影部分转化为规则的长方形，解题过程中需要熟练掌握二次根式的化简和乘法运算法则，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的两个正方形面积入手，根据正方形面积与边长的关系，先求出两个正方形的边长；再观察阴影部分的形状特点，可通过割补法把两个分散的阴影部分拼接成一个规则的长方形，找到拼接后长方形的长和宽，最后用长方形面积公式计算即可得到阴影部分总面积。
【解析】
1. 求两个正方形的边长：
根据正方形面积公式$S=a^2$，可得面积为8的正方形边长为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，面积为3的正方形边长为$\sqrt{3}$。
2. 分析拼接后阴影长方形的参数：
将两个阴影部分拼接，可得一个长方形，该长方形的长等于小正方形的边长$\sqrt{3}$，宽等于大正方形边长减去小正方形边长，即$2\sqrt{2}-\sqrt{3}$。
3. 计算阴影面积：
根据长方形面积公式，阴影部分总面积为：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{3}×(2\sqrt{2}-\sqrt{3})\\&=\sqrt{3}×2\sqrt{2}-\sqrt{3}×\sqrt{3}\\&=2\sqrt{6}-3\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{6}-3$
【知识点】
正方形面积计算、二次根式运算、割补法求面积
【点评】
本题属于面积计算的常规题型，核心解题思路是通过割补法将不规则的阴影部分转化为规则的长方形，解题过程中需要熟练掌握二次根式的化简和乘法运算法则，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.7
11. 如图是小明根据某市某天六个整点时刻的温度绘制成的折线统计图,则这六个整点时刻温度的中位数是________.
答案
11. $15.6\ °Celsius$
解析
【分析】
要求这六个整点时刻温度的中位数，首先需要从折线统计图中提取所有的温度数据，再将数据按从小到大的顺序排列；由于数据总个数是偶数，中位数为排序后中间两个数的平均数，最后计算这两个数的平均值即可得到结果。
【解析】
1. 提取六个整点的温度数据：$4.5℃$、$10.5℃$、$15.3℃$、$19.6℃$、$30.1℃$、$15.9℃$。
2. 将上述数据从小到大排序：$4.5$，$10.5$，$15.3$，$15.9$，$19.6$，$30.1$。
3. 数据总个数为6，是偶数，因此中位数为第3个和第4个数据的平均数：
$\mathrm{中位数}=\dfrac{15.3+15.9}{2}=15.6(℃)$
【答案】
$15.6℃$
【知识点】
折线统计图；中位数计算
【点评】
本题核心是正确读取折线统计图中的数据，再结合中位数的定义计算，需注意当数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均值，不要误取单个中间值。
【难度系数】
0.7
要求这六个整点时刻温度的中位数，首先需要从折线统计图中提取所有的温度数据，再将数据按从小到大的顺序排列；由于数据总个数是偶数，中位数为排序后中间两个数的平均数，最后计算这两个数的平均值即可得到结果。
【解析】
1. 提取六个整点的温度数据：$4.5℃$、$10.5℃$、$15.3℃$、$19.6℃$、$30.1℃$、$15.9℃$。
2. 将上述数据从小到大排序：$4.5$，$10.5$，$15.3$，$15.9$，$19.6$，$30.1$。
3. 数据总个数为6，是偶数，因此中位数为第3个和第4个数据的平均数：
$\mathrm{中位数}=\dfrac{15.3+15.9}{2}=15.6(℃)$
【答案】
$15.6℃$
【知识点】
折线统计图；中位数计算
【点评】
本题核心是正确读取折线统计图中的数据，再结合中位数的定义计算，需注意当数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均值，不要误取单个中间值。
【难度系数】
0.7
12. 如图，在$△ APB$中，$AB=2$，$∠ APB=90°$，在$AB$的同侧作等边三角形$ABD$，等边三角形$APE$和等边三角形$BCP$，连接$DC$，$DE$，则四边形$PCDE$面积的最大值是________.
答案
12. 1
解析
【分析】
首先利用等边三角形三边相等、内角为60°的性质，通过角的等量代换证明两组三角形全等，得到四边形PCDE两组对边分别相等，判定其为平行四边形；再推导平行四边形面积的表达式，结合Rt△APB的勾股定理和完全平方公式的非负性，即可求出面积的最大值。
【解析】
1. 证明△EAD≌△PAB：
∵△ABD、△APE都是等边三角形，
∴$AE=AP$，$AD=AB$，$∠ EAP=∠ BAD=60°$，
∴$∠ EAP + ∠ PAD = ∠ BAD + ∠ PAD$，即$∠ EAD=∠ PAB$，
在$△ EAD$和$△ PAB$中：
$\begin{cases}AE=AP\\∠ EAD=∠ PAB\\AD=AB\end{cases}$
∴$△ EAD≌△ PAB(\mathrm{SAS})$，得$ED=PB$，
又
∵$△ BCP$是等边三角形，
∴$PB=PC$，故$ED=PC$。
2. 证明△DBC≌△ABP：
∵△ABD、△BCP都是等边三角形，
∴$BD=BA$，$BC=BP$，$∠ ABD=∠ PBC=60°$，
∴$∠ ABD + ∠ ABP = ∠ PBC + ∠ ABP$，即$∠ DBC=∠ ABP$，
同理可证$△ DBC≌△ ABP(\mathrm{SAS})$，得$DC=AP$，
又
∵△APE是等边三角形，
∴$AP=EP$，故$DC=EP$。
3. 判定四边形PCDE为平行四边形：
∵$ED=PC$，$DC=EP$，两组对边分别相等，
∴四边形$PCDE$是平行四边形。
4. 推导面积表达式并求最大值：
由$△ EAD≌△ PAB$得$∠ AED=∠ APB=90°$，
∵△APE是等边三角形，$∠ AEP=60°$，
∴$∠ DEP=∠ AED-∠ AEP=30°$，
过$D$作$EP$边上的高，由直角三角形中30°角对的直角边为斜边的一半，得高为$\frac{1}{2}ED$，
∴平行四边形面积$S=EP×\frac{1}{2}ED$，代入$EP=AP$、$ED=PB$，得$S=\frac{1}{2}AP· PB$。
在$Rt△ APB$中，由勾股定理得$AP^2+PB^2=AB^2=4$，
由完全平方的非负性：$(AP-PB)^2≥0$，展开得$AP^2+PB^2≥2AP· PB$，
∴$AP· PB≤\frac{AP^2+PB^2}{2}=2$，当$AP=PB$时等号成立，
∴$S=\frac{1}{2}AP· PB≤\frac{1}{2}×2=1$，即面积最大值为1。
【答案】
1
【知识点】
全等三角形判定与性质、平行四边形的判定、最值计算
【点评】
本题综合考查等边三角形、全等三角形、平行四边形的相关知识，需要通过角的等量代换完成全等证明，再结合勾股定理和完全平方的非负性求解最值，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
首先利用等边三角形三边相等、内角为60°的性质，通过角的等量代换证明两组三角形全等，得到四边形PCDE两组对边分别相等，判定其为平行四边形；再推导平行四边形面积的表达式，结合Rt△APB的勾股定理和完全平方公式的非负性，即可求出面积的最大值。
【解析】
1. 证明△EAD≌△PAB：
∵△ABD、△APE都是等边三角形，
∴$AE=AP$，$AD=AB$，$∠ EAP=∠ BAD=60°$，
∴$∠ EAP + ∠ PAD = ∠ BAD + ∠ PAD$，即$∠ EAD=∠ PAB$，
在$△ EAD$和$△ PAB$中：
$\begin{cases}AE=AP\\∠ EAD=∠ PAB\\AD=AB\end{cases}$
∴$△ EAD≌△ PAB(\mathrm{SAS})$，得$ED=PB$，
又
∵$△ BCP$是等边三角形，
∴$PB=PC$，故$ED=PC$。
2. 证明△DBC≌△ABP：
∵△ABD、△BCP都是等边三角形，
∴$BD=BA$，$BC=BP$，$∠ ABD=∠ PBC=60°$，
∴$∠ ABD + ∠ ABP = ∠ PBC + ∠ ABP$，即$∠ DBC=∠ ABP$，
同理可证$△ DBC≌△ ABP(\mathrm{SAS})$，得$DC=AP$，
又
∵△APE是等边三角形，
∴$AP=EP$，故$DC=EP$。
3. 判定四边形PCDE为平行四边形：
∵$ED=PC$，$DC=EP$，两组对边分别相等，
∴四边形$PCDE$是平行四边形。
4. 推导面积表达式并求最大值：
由$△ EAD≌△ PAB$得$∠ AED=∠ APB=90°$，
∵△APE是等边三角形，$∠ AEP=60°$，
∴$∠ DEP=∠ AED-∠ AEP=30°$，
过$D$作$EP$边上的高，由直角三角形中30°角对的直角边为斜边的一半，得高为$\frac{1}{2}ED$，
∴平行四边形面积$S=EP×\frac{1}{2}ED$，代入$EP=AP$、$ED=PB$，得$S=\frac{1}{2}AP· PB$。
在$Rt△ APB$中，由勾股定理得$AP^2+PB^2=AB^2=4$，
由完全平方的非负性：$(AP-PB)^2≥0$，展开得$AP^2+PB^2≥2AP· PB$，
∴$AP· PB≤\frac{AP^2+PB^2}{2}=2$，当$AP=PB$时等号成立，
∴$S=\frac{1}{2}AP· PB≤\frac{1}{2}×2=1$，即面积最大值为1。
【答案】
1
【知识点】
全等三角形判定与性质、平行四边形的判定、最值计算
【点评】
本题综合考查等边三角形、全等三角形、平行四边形的相关知识，需要通过角的等量代换完成全等证明，再结合勾股定理和完全平方的非负性求解最值，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
13. 如图,在矩形ABCD中,∠ADB=24°,E是AD上一点.将△CDE沿CE折叠,点D的对应点F恰好落在边BC上,CE交BD于点H,连接HF,则∠BHF=
42
°.答案
13. 42
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先利用矩形的性质，得到对边平行、内角为90°的结论，推出∠DBC和∠BDC的度数；第二步结合折叠的性质，得到折叠前后的对应边、对应角相等，为证明全等三角形提供条件；第三步证明△CDH和△CFH全等，得到∠CFH的度数；最后利用三角形外角的性质，即可求出∠BHF的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD// BC$，$∠ BCD=∠ ADC=90°$，
∴$∠ DBC=∠ ADB=24°$，
∴$∠ BDC=90°-∠ ADB=90°-24°=66°$。
∵将$△ CDE$沿$CE$折叠，点$D$的对应点为$F$，
∴$△ CDE≌△ CFE$，
∴$CD=CF$，$∠ DCE=∠ FCE=\frac{1}{2}∠ BCD=45°$。
在$△ CDH$和$△ CFH$中：
$\begin{cases}CD=CF\\∠ DCH=∠ FCH\\CH=CH\end{cases}$
∴$△ CDH≌△ CFH(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ CFH=∠ CDH=66°$。
∵$∠ CFH$是$△ BFH$的外角，
∴$∠ CFH=∠ FBH+∠ BHF$，
∴$∠ BHF=∠ CFH-∠ FBH=66°-24°=42°$。
【答案】
42
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是几何综合类基础题，将矩形、折叠、全等三角形的知识点结合考查，解题核心是通过折叠的性质找到全等三角形，实现角的等量转化，再结合三角形外角的性质计算角度。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：第一步先利用矩形的性质，得到对边平行、内角为90°的结论，推出∠DBC和∠BDC的度数；第二步结合折叠的性质，得到折叠前后的对应边、对应角相等，为证明全等三角形提供条件；第三步证明△CDH和△CFH全等，得到∠CFH的度数；最后利用三角形外角的性质，即可求出∠BHF的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD// BC$，$∠ BCD=∠ ADC=90°$，
∴$∠ DBC=∠ ADB=24°$，
∴$∠ BDC=90°-∠ ADB=90°-24°=66°$。
∵将$△ CDE$沿$CE$折叠，点$D$的对应点为$F$，
∴$△ CDE≌△ CFE$，
∴$CD=CF$，$∠ DCE=∠ FCE=\frac{1}{2}∠ BCD=45°$。
在$△ CDH$和$△ CFH$中：
$\begin{cases}CD=CF\\∠ DCH=∠ FCH\\CH=CH\end{cases}$
∴$△ CDH≌△ CFH(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ CFH=∠ CDH=66°$。
∵$∠ CFH$是$△ BFH$的外角，
∴$∠ CFH=∠ FBH+∠ BHF$，
∴$∠ BHF=∠ CFH-∠ FBH=66°-24°=42°$。
【答案】
42
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是几何综合类基础题，将矩形、折叠、全等三角形的知识点结合考查，解题核心是通过折叠的性质找到全等三角形，实现角的等量转化，再结合三角形外角的性质计算角度。
【难度系数】
0.65
14. 小明一笔画成了如图所示的图形，若$∠ B=50°,∠ C=48°,∠ D=90°$，则$∠ A+∠ E=\_\_\_\_\_\_°.$
答案
14. 88
解析
【分析】
本题可结合三角形内角和定理、对顶角相等的性质求解。首先观察图形特征，找到交叉形成的对顶角，利用已知的∠C、∠D求出对应对顶角的度数，再结合∠B，通过三角形内角和的关系，就能推导出∠A与∠E的和；也可直接利用三角形外角的性质，直接建立已知角和未知角的等量关系，简化计算步骤。
【解析】
设BC与DE的交点为O。
在$△ CDO$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ COD=180°-∠ C-∠ D=180°-48°-90°=42°$
因为$∠ COD$和$∠ BOE$是对顶角，根据对顶角相等，得$∠ BOE=∠ COD=42°$。
再观察包含$∠ A$、$∠ B$、$∠ E$的三角形，由三角形内角和为$180°$，可得$∠ A+∠ B+∠ E+∠ BOE=180°$，代入数值计算：
$∠ A+∠ E=180°-∠ B-∠ BOE=180°-50°-42°=88°$
【答案】
$88$
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，解题关键是识别图形中的对顶角，将分散的已知角和待求角建立关联，熟练掌握三角形的基本性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
本题可结合三角形内角和定理、对顶角相等的性质求解。首先观察图形特征，找到交叉形成的对顶角，利用已知的∠C、∠D求出对应对顶角的度数，再结合∠B，通过三角形内角和的关系，就能推导出∠A与∠E的和；也可直接利用三角形外角的性质，直接建立已知角和未知角的等量关系，简化计算步骤。
【解析】
设BC与DE的交点为O。
在$△ CDO$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ COD=180°-∠ C-∠ D=180°-48°-90°=42°$
因为$∠ COD$和$∠ BOE$是对顶角，根据对顶角相等，得$∠ BOE=∠ COD=42°$。
再观察包含$∠ A$、$∠ B$、$∠ E$的三角形，由三角形内角和为$180°$，可得$∠ A+∠ B+∠ E+∠ BOE=180°$，代入数值计算：
$∠ A+∠ E=180°-∠ B-∠ BOE=180°-50°-42°=88°$
【答案】
$88$
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，解题关键是识别图形中的对顶角，将分散的已知角和待求角建立关联，熟练掌握三角形的基本性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
三、解答题
15. 计算：
(1) $3\sqrt{48} - 9\sqrt{\dfrac{1}{3}} + 3\sqrt{18} - 4\sqrt{\dfrac{1}{8}}$；
(2) $(5\sqrt{\dfrac{1}{5}} - 2\sqrt{45}) ÷ (-\sqrt{5})$。
15. 计算：
(1) $3\sqrt{48} - 9\sqrt{\dfrac{1}{3}} + 3\sqrt{18} - 4\sqrt{\dfrac{1}{8}}$；
(2) $(5\sqrt{\dfrac{1}{5}} - 2\sqrt{45}) ÷ (-\sqrt{5})$。
答案
15. (1) $9\sqrt{3}+8\sqrt{2}$ (2) 5
解析
【分析】
这两道题属于二次根式的运算类题目，解题核心思路是先将所有非最简二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，有除法运算时可灵活运用运算律简化计算。对于第(1)题，需先逐个化简每个二次根式项，再将被开方数相同的同类二次根式的系数相加减，被开方数保持不变即可；对于第(2)题，既可以先化简括号内的二次根式，合并后再做除法运算，也可以利用除法分配律将括号内两项分别除以除数，简化计算过程，计算时注意正负号的变化。
【解析】
(1) 先化简各项二次根式：
$3\sqrt{48}=3×\sqrt{16×3}=3×4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$
$9\sqrt{\dfrac{1}{3}}=9×\dfrac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$
$3\sqrt{18}=3×\sqrt{9×2}=3×3\sqrt{2}=9\sqrt{2}$
$4\sqrt{\dfrac{1}{8}}=4×\dfrac{\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=12\sqrt{3}-3\sqrt{3}+9\sqrt{2}-\sqrt{2}\\&=(12-3)\sqrt{3}+(9-1)\sqrt{2}\\&=9\sqrt{3}+8\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 先化简括号内的项再计算除法：
先化简括号内各项：
$5\sqrt{\dfrac{1}{5}}=5×\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$
$2\sqrt{45}=2×\sqrt{9×5}=2×3\sqrt{5}=6\sqrt{5}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{5}-6\sqrt{5})÷(-\sqrt{5})\\&=(-5\sqrt{5})÷(-\sqrt{5})\\&=5\end{aligned}$
【答案】
(1) $9\sqrt{3}+8\sqrt{2}$；(2) $5$
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式合并；二次根式混合运算
【点评】
本题属于二次根式运算的常规基础题型，重点考察二次根式的化简能力和运算规则的掌握程度，解题时需注意运算顺序和符号变化，熟练掌握最简二次根式的化简方法是快速准确解题的关键。
【难度系数】
0.8
这两道题属于二次根式的运算类题目，解题核心思路是先将所有非最简二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，有除法运算时可灵活运用运算律简化计算。对于第(1)题，需先逐个化简每个二次根式项，再将被开方数相同的同类二次根式的系数相加减，被开方数保持不变即可；对于第(2)题，既可以先化简括号内的二次根式，合并后再做除法运算，也可以利用除法分配律将括号内两项分别除以除数，简化计算过程，计算时注意正负号的变化。
【解析】
(1) 先化简各项二次根式：
$3\sqrt{48}=3×\sqrt{16×3}=3×4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$
$9\sqrt{\dfrac{1}{3}}=9×\dfrac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$
$3\sqrt{18}=3×\sqrt{9×2}=3×3\sqrt{2}=9\sqrt{2}$
$4\sqrt{\dfrac{1}{8}}=4×\dfrac{\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=12\sqrt{3}-3\sqrt{3}+9\sqrt{2}-\sqrt{2}\\&=(12-3)\sqrt{3}+(9-1)\sqrt{2}\\&=9\sqrt{3}+8\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 先化简括号内的项再计算除法：
先化简括号内各项：
$5\sqrt{\dfrac{1}{5}}=5×\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$
$2\sqrt{45}=2×\sqrt{9×5}=2×3\sqrt{5}=6\sqrt{5}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{5}-6\sqrt{5})÷(-\sqrt{5})\\&=(-5\sqrt{5})÷(-\sqrt{5})\\&=5\end{aligned}$
【答案】
(1) $9\sqrt{3}+8\sqrt{2}$；(2) $5$
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式合并；二次根式混合运算
【点评】
本题属于二次根式运算的常规基础题型，重点考察二次根式的化简能力和运算规则的掌握程度，解题时需注意运算顺序和符号变化，熟练掌握最简二次根式的化简方法是快速准确解题的关键。
【难度系数】
0.8
