8. (2024·响水县月考)如图,D 是等边三角形 ABC 的边 BC 延长线上的一点，$∠ EBC=∠ DAC,CE// AB$. 求证:$△ CDE$ 是等边三角形.

8. 证明:$\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore AC=BC,∠ ABC=∠ ACB=60°$,
$\therefore ∠ ABE+∠ CBE=60°,∠ CAD+∠ ADC=60°$.
$\because ∠ EBC=∠ DAC,\therefore ∠ ABE=∠ ADC$.
$\because CE// AB,\therefore ∠ BEC=∠ ABE,\therefore ∠ BEC=∠ ADC$.
在$△ BCE$ 和$△ ACD$ 中,$\begin{cases}∠ BEC=∠ ADC,\\∠ EBC=∠ DAC,\\BC=AC,\end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ ACD(\mathrm{AAS})$,
$\therefore CE=CD,∠ BCE=∠ ACD$,
$\therefore ∠ ECD=∠ ACB=60°$,
$\therefore △ CDE$ 是等边三角形.

9. 如图,$P$为等边$△ ABC$内一点,连接$BP,PC$,延长$PC$到点$D$,使$CD=PC$.延长$BC$到点$E$,使$CE=BC$,连接$AE,DE$.
(1)求证:$BP// DE$;
(2)若$BP⊥ AC$,求$∠ AED$的度数.

9.(1)证明:在$△ DEC$ 和$△ PBC$ 中,$\begin{cases}CD=CP,\\∠ DCE=∠ PCB,\\CE=CB,\end{cases}$
$\therefore △ DEC≌△ PBC(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ DEC=∠ PBC,\therefore BP// DE$.
(2)解:如答图,延长 $AC$ 交 $ED$ 的延长线于点 $F$.
$\because △ ABC$ 为等边三角形, $\therefore BC=AC,∠ ACB=60°$.
$\because CE=BC,\therefore AC=CE,\therefore ∠ CAE=∠ CEA$.
$\because ∠ CAE+∠ CEA=∠ ACB=60°$,
$\therefore ∠ CAE=∠ CEA=30°$.
$\because BP// DE,BP⊥ AC,\therefore DE⊥ AC,\therefore ∠ F=90°$.
$\because ∠ ECF=∠ ACB=60°,\therefore ∠ CED=90°-∠ ECF=30°$,
$\therefore ∠ AED=∠ CEA+∠ CED=30°+30°=60°$.

10. 如图,在等边$△ ABC$中,$D$是$AB$的中点,$E$是线段$BC$上一点,连接$DE$,$∠ DEB=α$($30°≤α＜60°$),将射线$DA$绕点$D$顺时针旋转$α$,得到射线$DQ$,$F$是射线$DQ$上一点,且$DF=DE$,连接$FE,FC$.
(1)补全图形;
(2)求$∠ EDF$的度数;
(3)用等式表示线段$FE,FC$的数量关系,并证明.

10.解:(1)如答图①.

(2)$\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ A=∠ B=60°$.
$\because$ 射线 $DA$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $α$, 得到射线 $DQ$,
$\therefore ∠ ADF=α,\therefore ∠ BDF=180°-α$.
$\because ∠ DEB=α,\therefore ∠ BDE=180°-∠ B-∠ DEB=180°-60°-α=120°-α$,
$\therefore ∠ EDF=∠ BDF-∠ BDE=180°-α-(120°-α)=60°$.
(3)$FE=FC$.

证明:如答图②,在 $CA$ 上截取 $CG=CE$,
连接 $EG,DG.\because △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ ACB=60°,AC=BC,\therefore △ EGC$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ GEC=60°,GE=EC$.
$\because ∠ EDF=60°,DE=DF,\therefore △ DEF$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ DEF=60°,DE=EF$,
$\therefore ∠ DEF+∠ FEG=∠ GEC+∠ FEG$, 即 $∠ DEG=∠ FEC$,
$\therefore △ DEG≌△ FEC(\mathrm{SAS}),\therefore DG=FC$.
$\because AC-GC=BC-EC,\therefore AG=BE$.
$\because D$ 是 $AB$ 的中点, $\therefore AD=DB$.
$\because ∠ A=∠ B,\therefore △ BDE≌△ ADG(\mathrm{SAS})$,
$\therefore DE=DG,\therefore FE=FC$.

【模型】共顶点双等边三角形
【条件】如图，$△ ABC$ 是等边三角形
【方法】作等边 $△ DBE$
【结论】$△ ABD ≌ △ CBE,CB$ 平分 $∠ DCE$

证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=CB，∠A=∠ABC=∠ACB=60°。
∵ △DBE是等边三角形，
∴ DB=EB，∠DBE=60°。
∴ ∠ABC = ∠DBE，
∴ ∠ABC - ∠DBC = ∠DBE - ∠DBC，
即 ∠ABD = ∠CBE。
在△ABD和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}AB = CB \\∠ABD = ∠CBE \\DB = EB\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CBE（SAS）。
由△ABD ≌ △CBE，得∠BCE = ∠A = 60°，
又∵ ∠ACB = 60°，即∠BCD = 60°，
∴ ∠BCD = ∠BCE，
∴ CB 平分 ∠DCE。