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7. 如图，$∠ ABC$，$∠ ACE$ 的平分线 $BP$，$CP$ 交于点 $P$，$PF⊥ BD$，$PG⊥ BE$，垂足分别为 $F$，$G$，有下列结论：①$S_{△ ABP}:S_{△ BCP}=AB:BC$；②$∠ APB+∠ ACP=90°$；③$∠ ABC+2∠ APC=180°$. 其中正确的结论有（
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
D
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
7.D
8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=70^{\circ }$,点$O$到$AB$,$BC$,$AC$的距离相等,连接$BO$,$CO$,则$∠ BOC=\_\_\_\_\_\_°$.
答案
8.125
9. 如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC,DE ⊥ AB$,垂足为$E$,若$S_{△ ABC}=120,AC=12,DE=6$,则$AB$的长是
28
.答案
9.28
10. 如图,$CB=CD$,$∠ D+∠ ABC=180°$,$CE⊥ AD$于点$E$.
(1)求证:$AC$平分$∠ DAB$;
(2)若$AE=10$,$DE=4$,求$AB$的长.
(1)求证:$AC$平分$∠ DAB$;
(2)若$AE=10$,$DE=4$,求$AB$的长.
答案
10.(1)证明:如答图,过点$C$作$CF⊥ AB$,交$AB$的延长线于点$F$.
$\because CE⊥ AD,\therefore ∠ DEC=∠ CFB=90°$.
$\because ∠ D+∠ ABC=180°,∠ CBF+∠ ABC=180°$,
$\therefore ∠ D=∠ CBF$.
在$△ CDE$与$△ CBF$中,$\begin{cases} ∠ D=∠ CBF,\\ ∠ DEC=∠ BFC,\\ CD=CB, \end{cases}$
$\therefore △ CDE≌△ CBF(\mathrm{AAS}),\therefore CE=CF$,
$\therefore AC$平分$∠ DAB$.
(2)解:由(1)可得$BF=DE=4$.
在$\mathrm{Rt}△ ACE$和$\mathrm{Rt}△ ACF$中,$\begin{cases} AC=AC,\\ CE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACE≌\mathrm{Rt}△ ACF(\mathrm{HL})$,
$\therefore AE=AF=10$,
$\therefore AB=AF-BF=6$.
11. 如图,$D$是$∠ EAF$平分线上的一点,若$∠ ACD+∠ ABD=180°$,请说明$CD=DB$的理由.
答案
11.解:如答图,过点$D$分别作$AE$,$AF$的垂线,垂足分别为$M$,$N$,则$∠ CMD=∠ BND=90°$.
$\because AD$是$∠ EAF$的平分线,$\therefore DM=DN$.
$\because ∠ ACD+∠ ABD=180°,∠ ACD+∠ MCD=180°$,
$\therefore ∠ MCD=∠ NBD$.
在$△ CDM$和$△ BDN$中,$\begin{cases} ∠ CMD=∠ BND,\\ ∠ MCD=∠ NBD,\\ DM=DN, \end{cases}$
$\therefore △ CDM≌△ BDN(\mathrm{AAS}),\therefore CD=DB$.
【模型】作单垂线
【条件】如图①,$AD$平分$∠ BAC,∠ C=90°$,作$DE⊥ AB$
【结论】(1)$DE=DC$;
(2)$△ ADE≌△ ADC$
【模型】作双垂线
【条件】如图②,$AD$平分$∠ BAC$,作$DE⊥ AB,DF⊥ AC$
【结论】(1)$DE=DF$;
(2)$△ ADE≌△ ADF$;
(3)$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}$
【条件】如图①,$AD$平分$∠ BAC,∠ C=90°$,作$DE⊥ AB$
【结论】(1)$DE=DC$;
(2)$△ ADE≌△ ADC$
【模型】作双垂线
【条件】如图②,$AD$平分$∠ BAC$,作$DE⊥ AB,DF⊥ AC$
【结论】(1)$DE=DF$;
(2)$△ ADE≌△ ADF$;
(3)$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}$
答案
作单垂线模型证明：
证明：
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠EAD = ∠CAD，
∵ ∠C=90°，DE⊥AB，
∴ ∠AED = ∠C = 90°，
在△ADE和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}∠AED = ∠C \\∠EAD = ∠CAD \\AD = AD\end{array} $
∴ △ADE ≌ △ADC（AAS）
∴ DE = DC，结论(1)(2)得证。
---
作双垂线模型证明：
证明：
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠EAD = ∠FAD，
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠AED = ∠AFD = 90°，
在△ADE和△ADF中：
$\{\begin{array}{l}∠AED = ∠AFD \\∠EAD = ∠FAD \\AD = AD\end{array} $
∴ △ADE ≌ △ADF（AAS）
∴ DE = DF，结论(1)(2)得证。
∵ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2} · AB · DE$，$S_{△ ACD} = \frac{1}{2} · AC · DF$，且DE=DF，
∴ $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{\frac{1}{2} · AB · DE}{\frac{1}{2} · AC · DF} = \frac{AB}{AC}$，
∵ △ABD与△ACD共享BC边上的等高，
∴ $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{BD}{DC}$，
∴ $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$，结论(3)得证。
证明：
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠EAD = ∠CAD，
∵ ∠C=90°，DE⊥AB，
∴ ∠AED = ∠C = 90°，
在△ADE和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}∠AED = ∠C \\∠EAD = ∠CAD \\AD = AD\end{array} $
∴ △ADE ≌ △ADC（AAS）
∴ DE = DC，结论(1)(2)得证。
---
作双垂线模型证明：
证明：
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠EAD = ∠FAD，
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠AED = ∠AFD = 90°，
在△ADE和△ADF中：
$\{\begin{array}{l}∠AED = ∠AFD \\∠EAD = ∠FAD \\AD = AD\end{array} $
∴ △ADE ≌ △ADF（AAS）
∴ DE = DF，结论(1)(2)得证。
∵ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2} · AB · DE$，$S_{△ ACD} = \frac{1}{2} · AC · DF$，且DE=DF，
∴ $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{\frac{1}{2} · AB · DE}{\frac{1}{2} · AC · DF} = \frac{AB}{AC}$，
∵ △ABD与△ACD共享BC边上的等高，
∴ $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{BD}{DC}$，
∴ $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$，结论(3)得证。
