1. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$∠ B=∠ C=90°$,$E$ 为 $BC$ 的中点,且 $AE$ 平分$∠ BAD$. 求证:$DE$ 是$∠ ADC$ 的平分线.

证明:如答图,过点 E 作 $EF⊥AD$ 于点 F.
$\because ∠B=90°$,AE 平分$∠BAD$,$\therefore BE=EF$.
$\because E$ 是 $BC$ 的中点,$\therefore BE=CE$,$\therefore CE=EF$.
又$\because ∠C=90°$,$EF⊥AD$,$\therefore DE$ 是$∠ADC$的平分线.

2. 如图,在四边形$ABCD$中,$∠ ABC+∠ ADC=180°$,$CH$垂直平分$BD$.求证:$AC$平分$∠ BAD$.

证明:如答图,过点 $C$ 作 $CM⊥AB$ 于点 $M$,$CN⊥AD$ 交$AD$ 的延长线于点 $N$,
$\therefore ∠BMC=∠CND=90°$.
$\because ∠ABC+∠ADC=180°$,$∠ADC+∠CDN=180°$,
$\therefore ∠ABC=∠CDN$.
$\because CH$ 垂直平分 $BD$,$\therefore CB=CD$.
在$△ CBM$ 和$△ CDN$ 中,$\begin{cases} ∠MBC=∠NDC, \\ ∠BMC=∠DNC, \\ CB=CD, \end{cases}$
$\therefore △ CBM≌△ CDN(\mathrm{AAS})$,$\therefore CM=CN$,
$\therefore AC$ 平分$∠BAD$.

3. 如图,在$△ ABC$中,$AC=6\ \mathrm{cm}$,$AB=9\ \mathrm{cm}$,$D$是边$BC$上一点,$AD$平分$∠ BAC$,在$AB$上截取$AE=AC$,连接$DE$,已知$DE=2\ \mathrm{cm}$,$BD=3\ \mathrm{cm}$.
(1)求线段$BC$的长;
(2)若$∠ ACB$的平分线$CF$交$AD$于点$O$,且点$O$到$AC$的距离是$a\ \mathrm{cm}$,请用含$a$的代数式表示$△ ABC$的面积.

(1)$\because AD$ 平分$∠BAC$,$\therefore ∠BAD=∠CAD$.
在$△ ADE$ 和$△ ADC$ 中,$\begin{cases} AE=AC, \\ ∠EAD=∠CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ ADC(\mathrm{SAS})$,$\therefore DE=DC$,
$\therefore BC=BD+DC=BD+DE=3+2=5(\mathrm{cm})$.
(2)如答图,连接 $OB$. $\because ∠ACB$ 的平分线 $CF$ 交 $AD$ 于点 $O$,且点 $O$ 到 $AC$ 的距离是 $a$ cm,$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ AOC}+S_{△ AOB}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×6a+\frac{1}{2}×9a+\frac{1}{2}×5a=10a(\mathrm{cm}^2)$.