4. 如图,在$△ ABC$中,点$D$在边$BC$的延长线上,$∠ ACB=100°$,$∠ ABC$的平分线交$AD$于点$E$,过点$E$作$EH ⊥ BD$,垂足为$H$,且$∠ CEH=50°$.
(1)求$∠ ACE$的度数;
(2)求证:$AE$平分$∠ CAF$;
(3)若$AC+CD=14$,$AB=8.5$,且$S_{△ ACD}=21$,求$△ ABE$的面积.

(1)$\because ∠ACB=100°$,$\therefore ∠ACD=180°-100°=80°$.
$\because EH⊥BD$,$\therefore ∠CHE=90°$.
$\because ∠CEH=50°$,$\therefore ∠ECH=90°-50°=40°$,
$\therefore ∠ACE=∠ACD-∠ECH=80°-40°=40°$.
(2)证明:如答图,过点 $E$ 分别作 $EM⊥BF$ 于点 $M$,$EN⊥AC$ 于点 $N$.
$\because BE$ 平分$∠ABC$,$\therefore EM=EH$.
$\because ∠ACE=∠ECH=40°$,$\therefore CE$ 平分$∠ACD$,
$\therefore EN=EH$,$\therefore EM=EN$,$\therefore AE$ 平分$∠CAF$.
(3)解:$\because AC+CD=14$,$S_{△ ACD}=21$,$EM=EN=EH$,
$\therefore S_{△ ACD}=S_{△ ACE}+S_{△ CED}=\frac{1}{2}AC·EN+\frac{1}{2}CD·EH=\frac{1}{2}(AC+CD)·EM=21$,
即$\frac{1}{2}×14EM=21$,解得 $EM=3$.
$\because AB=8.5$,$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB·EM=\frac{1}{2}×8.5×3=\frac{51}{4}$.

5. 如图，$∠ AOB=90°$，$OC$ 平分 $∠ AOB$，将三角尺的直角顶点放在 $OC$ 上的任意一点 $P$ 处，使三角尺的两条直角边与 $∠ AOB$ 的两边分别相交于点 $E,F$，试猜想 $PE,PF$ 的大小关系，并说明理由.

$PE=PF$.
理由:如答图,过点 $P$ 作 $PM⊥OA$,$PN⊥OB$,垂足分别是 $M$,$N$,则$∠PME=∠PNF=90°$.
$\because OP$ 平分$∠AOB$,$PM⊥OA$,$PN⊥OB$,$\therefore PM=PN$.
$\because ∠AOB=∠PME=∠PNO=90°$,$\therefore ∠MPN=90°$.
$\because ∠EPF=90°$,$\therefore ∠MPE=∠NPF$.
在$△ PEM$ 和$△ PFN$ 中,$\begin{cases} ∠PME=∠PNF, \\ PM=PN, \\ ∠MPE=∠NPF, \end{cases}$
$\therefore △ PEM≌△ PFN(\mathrm{ASA})$,$\therefore PE=PF$.

6. 在四边形 $ABCD$ 中, $AD=CD$.
(1) 如图①, $BD$ 平分 $∠ ABC, DE ⊥ BC$ 于点 $E$, 求 $∠ BAD+∠ BCD$ 的度数;
(2) 如图②, 在(1)的条件下, $M,N$ 分别为 $AB,BC$ 上的点, 若 $∠ B=50°, ∠ MDN=65°$, 求证: $MN=AM+CN$;
(3) 若将(2)中 $∠ MDN$ 旋转至如图③所示的位置, 判断 $MN,AM,CN$ 的数量关系, 并证明你的结论.

(1)解:如答图①,作 $DF⊥AB$ 交 $BA$ 的延长线于点 $F$.
$\because BD$ 平分$∠ABC$,$DE⊥BC$ 于点 $E$,$\therefore DF=DE$.
在$\mathrm{Rt}△ ADF$ 和$\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,$\begin{cases} AD=CD, \\ DF=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ CDE(\mathrm{HL})$,$\therefore ∠DAF=∠BCD$.
$\because ∠BAD+∠DAF=180°$,$\therefore ∠BAD+∠BCD=180°$.
(2)证明:如答图②,延长 $NC$ 至点 $H$,使 $CH=AM$,连接 $DH$. 由(1)知$∠BAD+∠BCD=180°$.
$\because ∠BCD+∠DCH=180°$,$\therefore ∠BAD=∠DCH$.
在$△ ADM$ 和$△ CDH$ 中,$\begin{cases} AD=CD, \\ ∠MAD=∠HCD, \\ AM=CH, \end{cases}$
$\therefore △ ADM≌△ CDH(\mathrm{SAS})$,
$\therefore DM=DH$,$∠ADM=∠CDH$.
$\because ∠BAD+∠BCD=180°$,$\therefore ∠ABC+∠ADC=180°$.
$\because ∠ABC=50°$,$∠MDN=65°$,$\therefore ∠NDC+∠ADM=65°$,
$\therefore ∠NDH = ∠NDC + ∠CDH = ∠NDC + ∠ADM = 65°=∠MDN$.
在$△ MDN$ 和$△ HDN$ 中,$\begin{cases} DM=DH, \\ ∠MDN=∠HDN, \\ DN=DN, \end{cases}$
$\therefore △ MDN≌△ HDN(\mathrm{SAS})$,
$\therefore MN=HN=CH+CN=AM+CN$.
(3)解:$MN=CN-AM$.
证明:如答图③,在 $CN$ 上截取 $CH=AM$,同(2)的方法得出$△ MDN≌△ HDN$,
$\therefore MN=HN=CN-CH=CN-AM$.