12.(12分)已知点$P(a-2,2a+8)$，分别根据下列条件求出点$P$的坐标.
(1)点$P$在$x$轴上；
(2)点$P$在$y$轴上；
(3)点$Q$的坐标为$(1,5)$，直线$PQ// y$轴；
(4)点$P$到$x$轴，$y$轴的距离相等.

12.解:(1)根据题意,得 2a+8=0,
解得 a=-4,
∴a-2=-4-2=-6,
∴P(-6,0).
(2)根据题意,得 a-2=0,解得 a=2,
∴2a+8=2×2+8=12,
∴P(0,12).
(3)根据题意,得 a-2=1,
解得 a=3,
∴2a+8=2×3+8=14,
∴P(1,14).
(4)根据题意,得 a-2=2a+8 或 a-2+2a+8=0,
解得 a=-10 或 a=-2.
当 a=-10 时,a-2=-10-2=-12,2a+8=2×(-10)+8=-12,
∴P(-12,-12);
当 a=-2 时,a-2=-2-2=-4,2a+8=2×(-2)+8=4,
∴P(-4,4).
综上所述,点 P 的坐标为(-12,-12)或(-4,4).

13. (10 分) 如图, 在平面直角坐标系中, 已知点 $A(0,4), B(-3,0)$, 连接 $A B$. 将 $△ A O B$ 沿过点 $B$ 的直线折叠, 使点 $A$ 落在 $x$ 轴上的点 $A'$ 处, 折痕交 $y$ 轴于点 $C$, 求点 $A', C$ 的坐标.

13.解:
∵A(0,4),B(-3,0),
∴OA=4,OB=3.
在Rt△OAB中,由勾股定理,得AB=5.
∵△AOB沿过点B的直线折叠,点A落在x轴上的点A'处,
∴BA'=BA=5,CA'=CA,
∴OA'=BA'-OB=5-3=2,
∴点A'的坐标为(2,0).
设OC=m,则CA'=CA=4-m.
在Rt△OCA'中,由勾股定理,得OC²+OA'²=CA'²,
即m²+2²=(4-m)²,解得m=3/2,
∴点C的坐标为(0, 3/2).

14.(16分)如图①,在平面直角坐标系中,直线AB分别交y轴,x轴于点$A(0,a)$,点$B(b,0)$,且a,b满足$a^{2}-4a+4+\sqrt{2b+2}=0$.
(1)求a,b的值.
(2)如图②,以AB为直角边作$\mathrm{Rt}△ ABC$,点C落在第四象限且$∠ ACB=45°$,求点C的坐标.
(3)在(2)的条件下,AC与x轴交于点D,BC与y轴交于点E,连接DE,过点C作$CF⊥ BC$交x轴于点F.
①求证:$CF=\dfrac{1}{2}BC$;
②求点C到DE的距离.

14.(1)解:
∵a²-4a+4+√(2b+2)=0,
∴(a-2)²+√(2b+2)=0.
∵(a-2)²≥0,√(2b+2)≥0,
∴a-2=0,2b+2=0,解得a=2,b=-1.
(2)解:由(1)知a=2,b=-1,
∴A(0,2),B(-1,0),
∴OA=2,OB=1.
∵△ABC是直角三角形,且∠ACB=45°,点C在第四象限,
∴∠ABC=90°,∠CAB=45°.
如答图①,过点C作CG⊥OB于点G.

∵∠CAB=∠ACB,
∴AB=BC.
∵∠ABC=∠AOB=90°,
∴∠OAB+∠OBA=∠OBA+∠CBG=90°,
∴∠OAB=∠GBC,
∴△AOB≌△BGC,
∴CG=OB=1,BG=OA=2,
∴OG=1,
∴点C的坐标为(1,-1).
(3)①证明:如答图②,由(2)知点C(1,-1),
过点C作CL⊥y轴于点L,则CL=1=BO.
在△BOE和△CLE中,
{∠OEB=∠LEC,
∠EOB=∠ELC,
BO=CL,
∴△BOE≌△CLE(AAS),
∴BE=CE.
∵∠ABC=90°,
∴∠BAO+∠BEA=90°.
∵∠BOE=90°,
∴∠CBF+∠BEA=90°,
∴∠BAE=∠CBF.
∵CF⊥BC,
∴∠BCF=90°=∠ABC.
在△ABE和△BCF中,
{∠BAE=∠CBF,
AB=BC,
∠ABE=∠BCF,
∴△ABE≌△BCF(ASA),
∴BE=CF,
∴CF=1/2 BC.

②解:如答图③,过点C作CK⊥ED于点K,CG⊥DF于点G,由①知BE=CF.
∵BE=CE=1/2 BC,
∴CE=CF.
∵∠ACB=45°,∠BCF=90°,
∴∠ECD=∠DCF.
∵DC=DC,
∴△CDE≌△CDF(SAS),
∴∠CDE=∠CDF,
∴CK=CG=1,
∴点C到DE的距离为1.