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15. 如图所示,在$△ ABC$中,中线$BD$,$CE$交于点$O$,$F$,$G$分别为$OB$,$OC$的中点.求证:四边形$DEFG$为平行四边形. 
答案
证明：
∵ BD，CE是△ABC的中线，
∴ E是AB的中点，D是AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，$DE=\frac{1}{2}BC$。
又∵ F，G分别为OB，OC的中点，
∴ FG是△OBC的中位线，
∴ FG//BC，$FG=\frac{1}{2}BC$。
∴ DE//FG，且DE = FG，
∴ 四边形DEFG为平行四边形。
∵ BD，CE是△ABC的中线，
∴ E是AB的中点，D是AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，$DE=\frac{1}{2}BC$。
又∵ F，G分别为OB，OC的中点，
∴ FG是△OBC的中位线，
∴ FG//BC，$FG=\frac{1}{2}BC$。
∴ DE//FG，且DE = FG，
∴ 四边形DEFG为平行四边形。
解析
【分析】
要证明四边形DEFG是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法推导。首先观察已知条件：BD、CE是△ABC的中线，可得E、D分别是AB、AC的中点，符合三角形中位线的应用条件；F、G分别是OB、OC的中点，同样满足中位线的应用条件。我们可以分别推导DE、FG与BC的位置和数量关系，通过BC作为中间量，得到DE和FG的关系，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ BD，CE是△ABC的中线，
∴ E是AB的中点，D是AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，$DE=\frac{1}{2}BC$。
又
∵ F，G分别为OB，OC的中点，
∴ FG是△OBC的中位线，
∴ FG//BC，$FG=\frac{1}{2}BC$。
∴ DE//FG，且DE = FG，
∴ 四边形DEFG为平行四边形。
【答案】
证明：
∵ BD，CE是△ABC的中线，
∴ E是AB的中点，D是AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，$DE=\frac{1}{2}BC$。
又
∵ F，G分别为OB，OC的中点，
∴ FG是△OBC的中位线，
∴ FG//BC，$FG=\frac{1}{2}BC$。
∴ DE//FG，且DE = FG，
∴ 四边形DEFG为平行四边形。
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定；三角形中线的定义
【点评】
本题是几何证明的基础题型，解题的突破口是抓住题干中多个中点的条件，灵活运用三角形中位线定理得到对边的平行和相等关系，再结合平行四边形的判定定理完成求证，能很好地巩固相关基础知识点。
【难度系数】
0.7
要证明四边形DEFG是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法推导。首先观察已知条件：BD、CE是△ABC的中线，可得E、D分别是AB、AC的中点，符合三角形中位线的应用条件；F、G分别是OB、OC的中点，同样满足中位线的应用条件。我们可以分别推导DE、FG与BC的位置和数量关系，通过BC作为中间量，得到DE和FG的关系，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ BD，CE是△ABC的中线，
∴ E是AB的中点，D是AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，$DE=\frac{1}{2}BC$。
又
∵ F，G分别为OB，OC的中点，
∴ FG是△OBC的中位线，
∴ FG//BC，$FG=\frac{1}{2}BC$。
∴ DE//FG，且DE = FG，
∴ 四边形DEFG为平行四边形。
【答案】
证明：
∵ BD，CE是△ABC的中线，
∴ E是AB的中点，D是AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，$DE=\frac{1}{2}BC$。
又
∵ F，G分别为OB，OC的中点，
∴ FG是△OBC的中位线，
∴ FG//BC，$FG=\frac{1}{2}BC$。
∴ DE//FG，且DE = FG，
∴ 四边形DEFG为平行四边形。
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定；三角形中线的定义
【点评】
本题是几何证明的基础题型，解题的突破口是抓住题干中多个中点的条件，灵活运用三角形中位线定理得到对边的平行和相等关系，再结合平行四边形的判定定理完成求证，能很好地巩固相关基础知识点。
【难度系数】
0.7
16. 如图所示,在$□ ABCD$中,$∠ B - ∠ A = 20°$,则$∠ D$是()
A.$80°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$110°$
A.$80°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$110°$
答案
C
解析
【分析】
解决本题首先要回忆平行四边形角的相关性质：平行四边形邻角互补、对角相等。我们可以先利用邻角互补得到∠A与∠B的和，再结合题目给出的∠B与∠A的差，计算出∠B的度数，最后根据对角相等即可得到∠D的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，且平行四边形对角相等，即∠D=∠B，
由AD//BC可得∠A + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补，即平行四边形邻角互补），
又
∵ ∠B - ∠A = 20°，即∠A = ∠B - 20°，
将∠A = ∠B - 20°代入∠A + ∠B = 180°得：
$∠ B - 20° + ∠ B = 180°$
$2∠ B = 200°$
解得$∠ B = 100°$，
∴ $∠ D = ∠ B = 100°$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形邻角互补；平行四边形对角相等；角度运算
【点评】
本题是四边形的基础考题，核心考查平行四边形角的基本性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形邻角、对角的数量关系，整体难度较低，属于必须拿分的题型。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆平行四边形角的相关性质：平行四边形邻角互补、对角相等。我们可以先利用邻角互补得到∠A与∠B的和，再结合题目给出的∠B与∠A的差，计算出∠B的度数，最后根据对角相等即可得到∠D的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，且平行四边形对角相等，即∠D=∠B，
由AD//BC可得∠A + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补，即平行四边形邻角互补），
又
∵ ∠B - ∠A = 20°，即∠A = ∠B - 20°，
将∠A = ∠B - 20°代入∠A + ∠B = 180°得：
$∠ B - 20° + ∠ B = 180°$
$2∠ B = 200°$
解得$∠ B = 100°$，
∴ $∠ D = ∠ B = 100°$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形邻角互补；平行四边形对角相等；角度运算
【点评】
本题是四边形的基础考题，核心考查平行四边形角的基本性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形邻角、对角的数量关系，整体难度较低，属于必须拿分的题型。
【难度系数】
0.8
17. 如图所示，AC,BD是$□ ABCD$的对角线，AC和BD相交于点O，AC=4，BD=5，BC=3，则$△ BOC$的周长是()
A.7.5
B.12
C.8.5
D.9
A.7.5
B.12
C.8.5
D.9
答案
A
解析
【分析】
解题时首先结合图形明确已知条件：四边形ABCD是平行四边形，已知对角线AC、BD的长度和边BC的长度，要求△BOC的周长。首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，据此可先求出△BOC中OB、OC两条边的长度，再将OB、OC、BC的长度相加，即可得到△BOC的周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴平行四边形的对角线互相平分，即$OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$
已知$AC=4$，$BD=5$
∴$OC=\frac{1}{2}×4=2$，$OB=\frac{1}{2}×5=2.5$
又
∵$BC=3$
∴$△ BOC$的周长$=OB+OC+BC=2.5+2+3=7.5$
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查平行四边形对角线互相平分的性质，熟练掌握平行四边形的基础性质即可快速求解，计算量小，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合图形明确已知条件：四边形ABCD是平行四边形，已知对角线AC、BD的长度和边BC的长度，要求△BOC的周长。首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，据此可先求出△BOC中OB、OC两条边的长度，再将OB、OC、BC的长度相加，即可得到△BOC的周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴平行四边形的对角线互相平分，即$OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$
已知$AC=4$，$BD=5$
∴$OC=\frac{1}{2}×4=2$，$OB=\frac{1}{2}×5=2.5$
又
∵$BC=3$
∴$△ BOC$的周长$=OB+OC+BC=2.5+2+3=7.5$
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查平行四边形对角线互相平分的性质，熟练掌握平行四边形的基础性质即可快速求解，计算量小，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
