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12. 如图所示，在$□ ABCD$中，EF过对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，AB=4 cm，BC=5 cm，OE=1.5 cm，则四边形ABFE的周长为。
答案
$\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$
解析
【分析】
要求四边形ABFE的周长，需计算AB+BF+FE+EA的和，已知AB、OE的长度，核心是转化未知线段的长度：首先利用平行四边形对角线互相平分、对边平行且相等的性质，可证明△AOE与△COF全等，得到AE=CF、OE=OF的结论，进而将AE+BF转化为BC的长度，将EF转化为2倍OE的长度，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，AD//BC，AD=BC=5 cm
∴∠OAE=∠OCF
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠OAE=∠OCF \\OA=OC \\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴△AOE≌△COF（ASA）
∴AE=CF，OE=OF=1.5 cm
∴EF=OE+OF=1.5×2=3 cm，AE+BF=CF+BF=BC=5 cm
∴四边形ABFE的周长=AB+BF+EF+AE=4+5+3=12 cm
【答案】
$\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
1.平行四边形的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.四边形周长计算
【点评】
本题是平行四边形线段计算的典型题型，解题关键是通过全等三角形实现未知线段的转化，将分散的未知线段和转化为已知长度的线段，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
要求四边形ABFE的周长，需计算AB+BF+FE+EA的和，已知AB、OE的长度，核心是转化未知线段的长度：首先利用平行四边形对角线互相平分、对边平行且相等的性质，可证明△AOE与△COF全等，得到AE=CF、OE=OF的结论，进而将AE+BF转化为BC的长度，将EF转化为2倍OE的长度，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，AD//BC，AD=BC=5 cm
∴∠OAE=∠OCF
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠OAE=∠OCF \\OA=OC \\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴△AOE≌△COF（ASA）
∴AE=CF，OE=OF=1.5 cm
∴EF=OE+OF=1.5×2=3 cm，AE+BF=CF+BF=BC=5 cm
∴四边形ABFE的周长=AB+BF+EF+AE=4+5+3=12 cm
【答案】
$\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
1.平行四边形的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.四边形周长计算
【点评】
本题是平行四边形线段计算的典型题型，解题关键是通过全等三角形实现未知线段的转化，将分散的未知线段和转化为已知长度的线段，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
13. 如图所示,在$□ ABCD$中,已知$AD=8\ \mathrm{cm},AB=6\ \mathrm{cm},DE$平分$∠ ADC$交$BC$于点$E$,求$BE$的长. 
答案
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC=8 cm，AB=CD=6 cm，
∴ ∠ADE=∠DEC。
∵ DE平分∠ADC，
∴ ∠ADE=∠CDE，
∴ ∠DEC=∠CDE，
∴ CE=CD=6 cm，
∴ BE=BC - CE=8 - 6=2 cm。
答：BE的长为2 cm。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC=8 cm，AB=CD=6 cm，
∴ ∠ADE=∠DEC。
∵ DE平分∠ADC，
∴ ∠ADE=∠CDE，
∴ ∠DEC=∠CDE，
∴ CE=CD=6 cm，
∴ BE=BC - CE=8 - 6=2 cm。
答：BE的长为2 cm。
解析
【分析】
解题时先从平行四边形的已知条件入手，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AD与BC平行、AD=BC、AB=CD，进而可得内错角∠ADE=∠DEC；再结合DE是∠ADC的角平分线，可推得∠DEC=∠CDE，根据等角对等边得到CE=CD；最后用BC的长度减去CE的长度即可求出BE的长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC=8 cm，AB=CD=6 cm，
∴ ∠ADE=∠DEC（两直线平行，内错角相等）。
∵ DE平分∠ADC，
∴ ∠ADE=∠CDE（角平分线的定义），
∴ ∠DEC=∠CDE（等量代换），
∴ CE=CD=6 cm（等角对等边），
∴ BE=BC - CE=8 - 6=2 cm。
【答案】
2 cm
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是结合平行线性质与角平分线的定义推导得到等腰三角形，进而求出对应线段的长度，熟练掌握相关几何性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时先从平行四边形的已知条件入手，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AD与BC平行、AD=BC、AB=CD，进而可得内错角∠ADE=∠DEC；再结合DE是∠ADC的角平分线，可推得∠DEC=∠CDE，根据等角对等边得到CE=CD；最后用BC的长度减去CE的长度即可求出BE的长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC=8 cm，AB=CD=6 cm，
∴ ∠ADE=∠DEC（两直线平行，内错角相等）。
∵ DE平分∠ADC，
∴ ∠ADE=∠CDE（角平分线的定义），
∴ ∠DEC=∠CDE（等量代换），
∴ CE=CD=6 cm（等角对等边），
∴ BE=BC - CE=8 - 6=2 cm。
【答案】
2 cm
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是结合平行线性质与角平分线的定义推导得到等腰三角形，进而求出对应线段的长度，熟练掌握相关几何性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
14. 如图所示,四边形ABCD是平行四边形,DB⊥AD,AD=8 cm,BD=12 cm,求BC,AC的长.
答案
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $BC = AD = 8\ \mathrm{cm}$，
由平行四边形对角线互相平分，得 $OD = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} × 12 = 6\ \mathrm{cm}$，$AC = 2OA$。
∵ $DB ⊥ AD$，
∴ $∠ ADO = 90°$，$△ ADO$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AD^2 + OD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC = 2OA = 20\ \mathrm{cm}$。
答：BC的长为8 cm，AC的长为20 cm。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $BC = AD = 8\ \mathrm{cm}$，
由平行四边形对角线互相平分，得 $OD = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} × 12 = 6\ \mathrm{cm}$，$AC = 2OA$。
∵ $DB ⊥ AD$，
∴ $∠ ADO = 90°$，$△ ADO$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AD^2 + OD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC = 2OA = 20\ \mathrm{cm}$。
答：BC的长为8 cm，AC的长为20 cm。
解析
【分析】
解题时先从已知的平行四边形条件入手：①求BC的长，可直接利用平行四边形对边相等的性质，结合已知AD的长度直接得出结果；②求AC的长，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可知AC=2OA，因此只需先求出OA的长度即可。已知DB⊥AD，可得△ADO是直角三角形，先由BD的长度求出OD的长，再利用勾股定理计算OA的长度，最终求出AC的长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $BC = AD = 8\ \mathrm{cm}$，
根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得 $OD = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} × 12 = 6\ \mathrm{cm}$，$AC = 2OA$。
∵ $DB ⊥ AD$，
∴ $∠ ADO = 90°$，即$△ ADO$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AD^2 + OD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC = 2OA = 2×10 = 20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
BC的长为8 cm，AC的长为20 cm。
【知识点】
平行四边形的性质；勾股定理
【点评】
这道题是平行四边形性质与勾股定理的基础综合应用题，解题的核心是熟练运用平行四边形的对边、对角线的相关性质，将未知线段的求解转化为直角三角形的边长计算，解题思路清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的平行四边形条件入手：①求BC的长，可直接利用平行四边形对边相等的性质，结合已知AD的长度直接得出结果；②求AC的长，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可知AC=2OA，因此只需先求出OA的长度即可。已知DB⊥AD，可得△ADO是直角三角形，先由BD的长度求出OD的长，再利用勾股定理计算OA的长度，最终求出AC的长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $BC = AD = 8\ \mathrm{cm}$，
根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得 $OD = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} × 12 = 6\ \mathrm{cm}$，$AC = 2OA$。
∵ $DB ⊥ AD$，
∴ $∠ ADO = 90°$，即$△ ADO$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AD^2 + OD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC = 2OA = 2×10 = 20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
BC的长为8 cm，AC的长为20 cm。
【知识点】
平行四边形的性质；勾股定理
【点评】
这道题是平行四边形性质与勾股定理的基础综合应用题，解题的核心是熟练运用平行四边形的对边、对角线的相关性质，将未知线段的求解转化为直角三角形的边长计算，解题思路清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
