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19. 如图所示,在靠墙(墙长为18 m)的地方围成一个长方形的鸡场,另三边用总长为30 m的竹篱笆围成.设垂直于墙的一边长为x m,平行于墙的一边长为y m,围成的长方形的面积为S m².
(1)写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)求S与x之间的函数关系式;
(3)当垂直于墙的一边长为10 m时,求围成的长方形的面积.
(1)写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)求S与x之间的函数关系式;
(3)当垂直于墙的一边长为10 m时,求围成的长方形的面积.
答案
解：
(1) 由题意得，2x + y = 30，
因此y与x的函数关系式为 $y = 30 - 2x$。
由墙长为18 m，可得 $0 ＜ y ≤ 18$，即：
$0 ＜ 30 - 2x ≤ 18$
解不等式 $30 - 2x ＞ 0$，得 $x ＜ 15$，
解不等式 $30 - 2x ≤ 18$，得 $x ≥ 6$，
所以自变量x的取值范围是 $6 ≤ x ＜ 15$。
(2) 由长方形面积公式，$S = x · y$，将$y=30-2x$代入得：
$S = x(30 - 2x) = -2x^2 + 30x$
即S与x之间的函数关系式为 $S = -2x^2 + 30x\ (6 ≤ x ＜ 15)$。
(3) 当$x=10$时，代入$S = -2x^2 + 30x$得：
$S = -2×10^2 + 30×10 = -200 + 300 = 100$
答：围成的长方形的面积为$100\ \mathrm{m}^2$。
(1) 由题意得，2x + y = 30，
因此y与x的函数关系式为 $y = 30 - 2x$。
由墙长为18 m，可得 $0 ＜ y ≤ 18$，即：
$0 ＜ 30 - 2x ≤ 18$
解不等式 $30 - 2x ＞ 0$，得 $x ＜ 15$，
解不等式 $30 - 2x ≤ 18$，得 $x ≥ 6$，
所以自变量x的取值范围是 $6 ≤ x ＜ 15$。
(2) 由长方形面积公式，$S = x · y$，将$y=30-2x$代入得：
$S = x(30 - 2x) = -2x^2 + 30x$
即S与x之间的函数关系式为 $S = -2x^2 + 30x\ (6 ≤ x ＜ 15)$。
(3) 当$x=10$时，代入$S = -2x^2 + 30x$得：
$S = -2×10^2 + 30×10 = -200 + 300 = 100$
答：围成的长方形的面积为$100\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1) 要推导y与x的函数关系，先明确三边篱笆总长为30m，2个垂直于墙的边长均为x，平行于墙的边长为y，因此可列等式2x+y=30，整理即可得到y关于x的表达式。求自变量x的范围时，需结合实际限制：平行于墙的边长y不能超过墙长18m，且边长必须为正，因此0＜y≤18，将y=30-2x代入该不等式组求解，即可得到x的取值范围。
(2) 长方形面积=垂直于墙的边长×平行于墙的边长，即S=xy，将第一问得到的y=30-2x代入公式整理，同时附上x的取值范围，即可得到S与x的函数关系式。
(3) 先验证x=10是否在x的取值范围内，再将x=10代入第二问的面积函数计算，即可得到对应面积。
【解析】
(1) 由题意得，三边竹篱笆总长为30m，因此：
$2x + y = 30$
整理得y与x的函数关系式为 $\boldsymbol{y = 30 - 2x}$。
由于墙长为18m，且平行于墙的边长为正，因此$0 ＜ y ≤ 18$，将$y=30-2x$代入得不等式组：
$\begin{cases}30 - 2x ＞ 0 \\ 30 - 2x ≤ 18 \end{cases}$
解$30 - 2x ＞ 0$，得$x ＜ 15$；
解$30 - 2x ≤ 18$，得$x ≥ 6$；
因此自变量x的取值范围是$\boldsymbol{6 ≤ x ＜ 15}$。
(2) 根据长方形面积公式$S = x·y$，将$y=30-2x$代入得：
$S = x(30 - 2x) = -2x^2 + 30x$
结合x的取值范围，S与x的函数关系式为$\boldsymbol{S = -2x^2 + 30x\ (6 ≤ x ＜ 15)}$。
(3) 验证得$6 ≤ 10 ＜15$，x=10符合取值要求，将$x=10$代入$S = -2x^2 + 30x$得：
$S = -2×10^2 + 30×10 = -200 + 300 = 100$（$\mathrm{m}^2$）
【答案】
(1) $y = 30 - 2x\ (6 ≤ x ＜ 15)$
(2) $S = -2x^2 + 30x\ (6 ≤ x ＜ 15)$
(3) $100\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
一次函数解析式，二次函数实际应用，自变量取值范围确定
【点评】
本题是函数实际应用类基础题，解题核心是找准题干中的等量关系列函数表达式，易错点是容易忽略墙长的限制，错误确定自变量的取值范围，解题时需注意结合实际场景验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
(1) 要推导y与x的函数关系，先明确三边篱笆总长为30m，2个垂直于墙的边长均为x，平行于墙的边长为y，因此可列等式2x+y=30，整理即可得到y关于x的表达式。求自变量x的范围时，需结合实际限制：平行于墙的边长y不能超过墙长18m，且边长必须为正，因此0＜y≤18，将y=30-2x代入该不等式组求解，即可得到x的取值范围。
(2) 长方形面积=垂直于墙的边长×平行于墙的边长，即S=xy，将第一问得到的y=30-2x代入公式整理，同时附上x的取值范围，即可得到S与x的函数关系式。
(3) 先验证x=10是否在x的取值范围内，再将x=10代入第二问的面积函数计算，即可得到对应面积。
【解析】
(1) 由题意得，三边竹篱笆总长为30m，因此：
$2x + y = 30$
整理得y与x的函数关系式为 $\boldsymbol{y = 30 - 2x}$。
由于墙长为18m，且平行于墙的边长为正，因此$0 ＜ y ≤ 18$，将$y=30-2x$代入得不等式组：
$\begin{cases}30 - 2x ＞ 0 \\ 30 - 2x ≤ 18 \end{cases}$
解$30 - 2x ＞ 0$，得$x ＜ 15$；
解$30 - 2x ≤ 18$，得$x ≥ 6$；
因此自变量x的取值范围是$\boldsymbol{6 ≤ x ＜ 15}$。
(2) 根据长方形面积公式$S = x·y$，将$y=30-2x$代入得：
$S = x(30 - 2x) = -2x^2 + 30x$
结合x的取值范围，S与x的函数关系式为$\boldsymbol{S = -2x^2 + 30x\ (6 ≤ x ＜ 15)}$。
(3) 验证得$6 ≤ 10 ＜15$，x=10符合取值要求，将$x=10$代入$S = -2x^2 + 30x$得：
$S = -2×10^2 + 30×10 = -200 + 300 = 100$（$\mathrm{m}^2$）
【答案】
(1) $y = 30 - 2x\ (6 ≤ x ＜ 15)$
(2) $S = -2x^2 + 30x\ (6 ≤ x ＜ 15)$
(3) $100\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
一次函数解析式，二次函数实际应用，自变量取值范围确定
【点评】
本题是函数实际应用类基础题，解题核心是找准题干中的等量关系列函数表达式，易错点是容易忽略墙长的限制，错误确定自变量的取值范围，解题时需注意结合实际场景验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
20. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为$y_1$(km)，出租车离甲地的距离为$y_2$(km)，两车行驶的时间为$x$(h)，$y_1,y_2$关于$x$的函数图象如图所示.
(1)根据图象，直接写出$y_1,y_2$关于$x$的函数关系式；
(1)根据图象，直接写出$y_1,y_2$关于$x$的函数关系式；
答案
解：
(1) 设$y_1 = k_1x$（$k_1≠0$），将$(10,600)$代入得：
$10k_1=600$，解得$k_1=60$，
因此$y_1 = 60x\quad (0≤ x≤ 10)$。
设$y_2 = k_2x + b$（$k_2≠0$），将$(0,600)$、$(6,0)$代入得：
$\begin{cases}b=600 \\ 6k_2 + b = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-100 \\ b=600\end{cases}$，
因此$y_2 = -100x + 600\quad (0≤ x≤ 6)$。
(1) 设$y_1 = k_1x$（$k_1≠0$），将$(10,600)$代入得：
$10k_1=600$，解得$k_1=60$，
因此$y_1 = 60x\quad (0≤ x≤ 10)$。
设$y_2 = k_2x + b$（$k_2≠0$），将$(0,600)$、$(6,0)$代入得：
$\begin{cases}b=600 \\ 6k_2 + b = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-100 \\ b=600\end{cases}$，
因此$y_2 = -100x + 600\quad (0≤ x≤ 6)$。
解析
【分析】
解题时先判断两个函数的类型：客车从甲地出发，初始时离甲地距离为0，因此$y_1$是关于$x$的正比例函数，可设正比例函数的一般形式$y=k_1x$，再从图象中找到$y_1$经过的点$(10,600)$，代入即可求出$k_1$的值，最后结合行程的时间范围写出自变量$x$的取值范围；出租车从乙地出发，初始时离甲地距离为600km，6小时后到达甲地（离甲地距离为0），因此$y_2$是关于$x$的一次函数，设一次函数一般形式$y=k_2x+b$，将图象上的两个点$(0,600)$和$(6,0)$代入，解二元一次方程组求出$k_2$和$b$的值，同样标注$x$的取值范围即可。
【解析】
(1) 设$y_1 = k_1x$（$k_1≠0$），将点$(10,600)$代入解析式得：
$10k_1=600$，解得$k_1=60$，
因此$y_1 = 60x\quad (0≤ x≤ 10)$。
设$y_2 = k_2x + b$（$k_2≠0$），将点$(0,600)$、$(6,0)$代入解析式得：
$\begin{cases}b=600 \\ 6k_2 + b = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-100 \\ b=600\end{cases}$，
因此$y_2 = -100x + 600\quad (0≤ x≤ 6)$。
【答案】
$y_1=60x\ (0≤ x≤10)$；$y_2=-100x+600\ (0≤ x≤6)$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数应用；正比例函数应用
【点评】
本题结合行程问题背景，考查从函数图象中提取有效信息的能力，核心考查待定系数法求函数解析式的方法，解题时需注意不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
解题时先判断两个函数的类型：客车从甲地出发，初始时离甲地距离为0，因此$y_1$是关于$x$的正比例函数，可设正比例函数的一般形式$y=k_1x$，再从图象中找到$y_1$经过的点$(10,600)$，代入即可求出$k_1$的值，最后结合行程的时间范围写出自变量$x$的取值范围；出租车从乙地出发，初始时离甲地距离为600km，6小时后到达甲地（离甲地距离为0），因此$y_2$是关于$x$的一次函数，设一次函数一般形式$y=k_2x+b$，将图象上的两个点$(0,600)$和$(6,0)$代入，解二元一次方程组求出$k_2$和$b$的值，同样标注$x$的取值范围即可。
【解析】
(1) 设$y_1 = k_1x$（$k_1≠0$），将点$(10,600)$代入解析式得：
$10k_1=600$，解得$k_1=60$，
因此$y_1 = 60x\quad (0≤ x≤ 10)$。
设$y_2 = k_2x + b$（$k_2≠0$），将点$(0,600)$、$(6,0)$代入解析式得：
$\begin{cases}b=600 \\ 6k_2 + b = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-100 \\ b=600\end{cases}$，
因此$y_2 = -100x + 600\quad (0≤ x≤ 6)$。
【答案】
$y_1=60x\ (0≤ x≤10)$；$y_2=-100x+600\ (0≤ x≤6)$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数应用；正比例函数应用
【点评】
本题结合行程问题背景，考查从函数图象中提取有效信息的能力，核心考查待定系数法求函数解析式的方法，解题时需注意不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
