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13. 下列说法正确的是()
A.若变量$x,y$满足$y^2=x$,则$y$是$x$的函数
B.若变量$x,y$满足$x+3y=1$,则$y$是$x$的函数
C.若变量$x,y$满足$|y|=x$,则$y$是$x$的函数
D.在$V=\frac{4}{3}π r^3$中,$\frac{4}{3}$是常量,$π,r$是自变量,$V$是$r$的函数
A.若变量$x,y$满足$y^2=x$,则$y$是$x$的函数
B.若变量$x,y$满足$x+3y=1$,则$y$是$x$的函数
C.若变量$x,y$满足$|y|=x$,则$y$是$x$的函数
D.在$V=\frac{4}{3}π r^3$中,$\frac{4}{3}$是常量,$π,r$是自变量,$V$是$r$的函数
答案
B
解析
【分析】
解题的核心是紧扣函数的定义：在某一变化过程中，对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应时，y才是x的函数；同时要明确常量是变化过程中固定不变的量，自变量是主动变化的量，接下来按照上述标准逐一分析每个选项即可。
【解析】
首先明确函数的判断依据：若两个变量x、y满足x取任意一个确定值时，y有且只有一个确定的值与之对应，则y是x的函数。
逐一分析选项：
A. 对于$y^2=x$，当$x=4$时，$y=\pm2$，有2个y值和x=4对应，不满足“唯一对应”的要求，因此y不是x的函数，A错误；
B. 对$x+3y=1$变形可得$y=\frac{1-x}{3}$，任意给定一个确定的x值，都能计算出唯一的y值，符合函数定义，因此y是x的函数，B正确；
C. 对于$|y|=x$，当$x=3$时，$y=\pm3$，有2个y值和x=3对应，不满足“唯一对应”的要求，因此y不是x的函数，C错误；
D. 在$V=\frac{4}{3}π r^3$中，$π$是固定不变的圆周率，属于常量，只有r是自变量，V是r的函数，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
函数的定义；常量与变量
【点评】
本题是函数相关的基础概念辨析题，解题关键是牢牢抓住函数定义中“一个自变量对应唯一因变量”的核心判断标准，同时注意区分固定常量（如π）和变量，掌握概念就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题的核心是紧扣函数的定义：在某一变化过程中，对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应时，y才是x的函数；同时要明确常量是变化过程中固定不变的量，自变量是主动变化的量，接下来按照上述标准逐一分析每个选项即可。
【解析】
首先明确函数的判断依据：若两个变量x、y满足x取任意一个确定值时，y有且只有一个确定的值与之对应，则y是x的函数。
逐一分析选项：
A. 对于$y^2=x$，当$x=4$时，$y=\pm2$，有2个y值和x=4对应，不满足“唯一对应”的要求，因此y不是x的函数，A错误；
B. 对$x+3y=1$变形可得$y=\frac{1-x}{3}$，任意给定一个确定的x值，都能计算出唯一的y值，符合函数定义，因此y是x的函数，B正确；
C. 对于$|y|=x$，当$x=3$时，$y=\pm3$，有2个y值和x=3对应，不满足“唯一对应”的要求，因此y不是x的函数，C错误；
D. 在$V=\frac{4}{3}π r^3$中，$π$是固定不变的圆周率，属于常量，只有r是自变量，V是r的函数，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
函数的定义；常量与变量
【点评】
本题是函数相关的基础概念辨析题，解题关键是牢牢抓住函数定义中“一个自变量对应唯一因变量”的核心判断标准，同时注意区分固定常量（如π）和变量，掌握概念就能快速解题。
【难度系数】
0.8
14. 一根蜡烛长 20 cm,点燃后每小时燃烧 5 cm. 若点燃后燃烧时间为 x(h),所剩余蜡烛的长为 y(cm),则在这个变化过程中,下列判断错误的是()
A.20 是常量
B.燃烧时间是自变量
C.y 随 x 的变化而变化
D.x 是 y 的函数
A.20 是常量
B.燃烧时间是自变量
C.y 随 x 的变化而变化
D.x 是 y 的函数
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆常量、自变量、函数的相关定义，再结合蜡烛燃烧的实际情况逐一判断选项：
1. 基本概念：常量是变化过程中保持不变的量；自变量是变化过程中主动发生变化的量；函数的定义为：在一个变化过程中有两个变量，如果对于其中一个变量的每一个确定值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，那么后者就是前者的函数。
2. 先根据题意写出剩余蜡烛长和燃烧时间的关系式，同时注意实际场景下的取值限制：蜡烛最多燃烧4小时就会完全燃尽，超过4小时后剩余长度恒为0，再对应判断每个选项的正误即可。
【解析】
根据题意，剩余蜡烛长度$ y $与燃烧时间$ x $的关系式为$ y = 20 - 5x $，结合实际意义，$ x ≥ 0 $，且当$ x ≥ 4 $时蜡烛完全燃尽，$ y = 0 $。
对各选项逐一分析：
A. 20是蜡烛的初始长度，在整个变化过程中固定不变，属于常量，该选项判断正确，不符合题意；
B. 燃烧时间$ x $是主动变化的量，是这个变化过程的自变量，该选项判断正确，不符合题意；
C. 剩余蜡烛长度$ y $随燃烧时间$ x $的增加而减小，$ y $随$ x $的变化而变化，该选项判断正确，不符合题意；
D. 若$ x $是$ y $的函数，需满足对$ y $的每一个确定值，$ x $都有唯一确定的值与之对应。当$ y = 0 $时，$ x $可以取大于等于4的任意值，对应多个$ x $的取值，不满足函数的定义，因此$ x $不是$ y $的函数，该选项判断错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
常量与变量；函数的定义；自变量与因变量
【点评】
本题属于函数概念的基础考查题，解题时要注意结合实际场景分析变量的取值范围，不能仅脱离实际看代数关系式，避免因忽略变量的实际限制导致判断错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要回忆常量、自变量、函数的相关定义，再结合蜡烛燃烧的实际情况逐一判断选项：
1. 基本概念：常量是变化过程中保持不变的量；自变量是变化过程中主动发生变化的量；函数的定义为：在一个变化过程中有两个变量，如果对于其中一个变量的每一个确定值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，那么后者就是前者的函数。
2. 先根据题意写出剩余蜡烛长和燃烧时间的关系式，同时注意实际场景下的取值限制：蜡烛最多燃烧4小时就会完全燃尽，超过4小时后剩余长度恒为0，再对应判断每个选项的正误即可。
【解析】
根据题意，剩余蜡烛长度$ y $与燃烧时间$ x $的关系式为$ y = 20 - 5x $，结合实际意义，$ x ≥ 0 $，且当$ x ≥ 4 $时蜡烛完全燃尽，$ y = 0 $。
对各选项逐一分析：
A. 20是蜡烛的初始长度，在整个变化过程中固定不变，属于常量，该选项判断正确，不符合题意；
B. 燃烧时间$ x $是主动变化的量，是这个变化过程的自变量，该选项判断正确，不符合题意；
C. 剩余蜡烛长度$ y $随燃烧时间$ x $的增加而减小，$ y $随$ x $的变化而变化，该选项判断正确，不符合题意；
D. 若$ x $是$ y $的函数，需满足对$ y $的每一个确定值，$ x $都有唯一确定的值与之对应。当$ y = 0 $时，$ x $可以取大于等于4的任意值，对应多个$ x $的取值，不满足函数的定义，因此$ x $不是$ y $的函数，该选项判断错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
常量与变量；函数的定义；自变量与因变量
【点评】
本题属于函数概念的基础考查题，解题时要注意结合实际场景分析变量的取值范围，不能仅脱离实际看代数关系式，避免因忽略变量的实际限制导致判断错误。
【难度系数】
0.7
15. 下列变量间的关系不是函数关系的是()
A.长方形的宽一定,其长与面积
B.正方形的周长与面积
C.等腰三角形的底边长与面积
D.圆的周长与半径
A.长方形的宽一定,其长与面积
B.正方形的周长与面积
C.等腰三角形的底边长与面积
D.圆的周长与半径
答案
C
解析
【分析】
要判断变量间是否为函数关系，首先明确函数的核心判定规则：在一个变化过程中，对于自变量的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对应，二者才是函数关系。解题时我们只需逐个分析选项，判断两个变量是否满足“唯一对应”的要求即可。
【解析】
根据函数的定义，逐一分析选项：
A. 设长方形的宽为定值a，长为x，面积为S，由长方形面积公式得S=ax。给定长x的一个确定值时，面积S有唯一确定的值与之对应，是函数关系，不符合题意。
B. 设正方形的周长为C，面积为S，则正方形边长为$\frac{C}{4}$，面积$S=(\frac{C}{4})^2=\frac{C^2}{16}$。给定周长C的一个确定值时，面积S有唯一确定的值与之对应，是函数关系，不符合题意。
C. 等腰三角形的面积$S=\frac{1}{2}×底边长×高$，当底边长确定时，等腰三角形的腰长可以变化，对应高的值不唯一，因此面积S也会有多个值和确定的底边长对应，不满足“唯一对应”的要求，不是函数关系，符合题意。
D. 设圆的半径为r，周长为C，由圆的周长公式得$C=2πr$。给定半径r的一个确定值时，周长C有唯一确定的值与之对应，是函数关系，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
函数的定义；几何图形周长、面积计算
【点评】
本题是函数概念的基础考查题，解题的关键是牢牢抓住函数定义中“唯一对应”的核心特征，判断时要注意是否存在隐藏的不定量导致因变量不唯一。
【难度系数】
0.8
要判断变量间是否为函数关系，首先明确函数的核心判定规则：在一个变化过程中，对于自变量的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对应，二者才是函数关系。解题时我们只需逐个分析选项，判断两个变量是否满足“唯一对应”的要求即可。
【解析】
根据函数的定义，逐一分析选项：
A. 设长方形的宽为定值a，长为x，面积为S，由长方形面积公式得S=ax。给定长x的一个确定值时，面积S有唯一确定的值与之对应，是函数关系，不符合题意。
B. 设正方形的周长为C，面积为S，则正方形边长为$\frac{C}{4}$，面积$S=(\frac{C}{4})^2=\frac{C^2}{16}$。给定周长C的一个确定值时，面积S有唯一确定的值与之对应，是函数关系，不符合题意。
C. 等腰三角形的面积$S=\frac{1}{2}×底边长×高$，当底边长确定时，等腰三角形的腰长可以变化，对应高的值不唯一，因此面积S也会有多个值和确定的底边长对应，不满足“唯一对应”的要求，不是函数关系，符合题意。
D. 设圆的半径为r，周长为C，由圆的周长公式得$C=2πr$。给定半径r的一个确定值时，周长C有唯一确定的值与之对应，是函数关系，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
函数的定义；几何图形周长、面积计算
【点评】
本题是函数概念的基础考查题，解题的关键是牢牢抓住函数定义中“唯一对应”的核心特征，判断时要注意是否存在隐藏的不定量导致因变量不唯一。
【难度系数】
0.8
16. 粮店在某一段时间内以10元/千克的价格出售同一种大米.在售米的过程中,出售大米的质量记为x(千克),获得的米款记为y(元).
(1) 是变量, 是常量;
(2) 是自变量, 是的函数;
(3) 写出函数解析式为 ;
(4) 当x=8时,对应的函数值为 .
(1) 是变量, 是常量;
(2) 是自变量, 是的函数;
(3) 写出函数解析式为 ;
(4) 当x=8时,对应的函数值为 .
答案
解：
(1) $x$和$y$；$10$
(2) $x$；$y$；$x$
(3) $y=10x$
(4) $80$
(1) $x$和$y$；$10$
(2) $x$；$y$；$x$
(3) $y=10x$
(4) $80$
解析
【分析】
解答本题需依次结合相关概念逐步推导：①先根据变量、常量的定义判断：变化过程中数值变化的是变量，固定不变的是常量，本题中出售大米的质量、获得的米款会随售卖过程变化，单价固定，即可确定变量和常量；②再根据自变量、函数的定义判断：主动变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是自变量的函数，本题中米款随售出大米质量变化，即可确定自变量和函数关系；③根据“总售价=单价×质量”直接列出函数解析式；④将x=8代入解析式计算即可得到对应的函数值。
【解析】
(1) 在售米的过程中，出售大米的质量x、获得的米款y的数值都会发生改变，因此x和y是变量；大米的售价为10元/千克，数值固定不变，因此10是常量。
(2) 米款y的数值随出售大米的质量x的变化而变化，因此x是自变量，y是x的函数。
(3) 根据总米款=单价×售出大米的质量，可得函数解析式为y=10x。
(4) 将x=8代入y=10x，得y=10×8=80，即对应的函数值为80。
【答案】
(1) $x$和$y$；$10$
(2) $x$；$y$；$x$
(3) $y=10x$
(4) $80$
【知识点】
变量与常量；函数相关概念；函数值计算
【点评】
本题是函数的基础考查题，侧重对基本概念的理解和简单应用，熟练掌握变量、自变量、函数的定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解答本题需依次结合相关概念逐步推导：①先根据变量、常量的定义判断：变化过程中数值变化的是变量，固定不变的是常量，本题中出售大米的质量、获得的米款会随售卖过程变化，单价固定，即可确定变量和常量；②再根据自变量、函数的定义判断：主动变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是自变量的函数，本题中米款随售出大米质量变化，即可确定自变量和函数关系；③根据“总售价=单价×质量”直接列出函数解析式；④将x=8代入解析式计算即可得到对应的函数值。
【解析】
(1) 在售米的过程中，出售大米的质量x、获得的米款y的数值都会发生改变，因此x和y是变量；大米的售价为10元/千克，数值固定不变，因此10是常量。
(2) 米款y的数值随出售大米的质量x的变化而变化，因此x是自变量，y是x的函数。
(3) 根据总米款=单价×售出大米的质量，可得函数解析式为y=10x。
(4) 将x=8代入y=10x，得y=10×8=80，即对应的函数值为80。
【答案】
(1) $x$和$y$；$10$
(2) $x$；$y$；$x$
(3) $y=10x$
(4) $80$
【知识点】
变量与常量；函数相关概念；函数值计算
【点评】
本题是函数的基础考查题，侧重对基本概念的理解和简单应用，熟练掌握变量、自变量、函数的定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
17. 等腰三角形的周长为20 cm,设腰长为x cm,底边长为y cm,那么y与x之间的函数解析式是,其中自变量x的取值范围是.
答案
解：
由等腰三角形周长为20 cm，可得：
$2x + y = 20$
整理得$y$与$x$之间的函数解析式为：$\boldsymbol{y = 20 - 2x}$。
根据三角形边长的性质列约束条件：
1. 底边长为正：$y=20-2x＞0$，解得$x＜10$；
2. 两边之和大于第三边：两腰之和大于底边，即$2x＞y=20-2x$，解得$x＞5$。
因此自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{5 ＜ x ＜ 10}$。
由等腰三角形周长为20 cm，可得：
$2x + y = 20$
整理得$y$与$x$之间的函数解析式为：$\boldsymbol{y = 20 - 2x}$。
根据三角形边长的性质列约束条件：
1. 底边长为正：$y=20-2x＞0$，解得$x＜10$；
2. 两边之和大于第三边：两腰之和大于底边，即$2x＞y=20-2x$，解得$x＞5$。
因此自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{5 ＜ x ＜ 10}$。
解析
【分析】
首先根据等腰三角形周长的构成：周长=2倍腰长+底边长，列出关于x、y的等式，整理后即可得到y与x的函数解析式。求自变量x的取值范围时，需结合三角形边长的隐含约束：一是各边长必须为正数，二是三角形任意两边之和大于第三边，结合等腰三角形的特点，只需保证底边长为正、两腰之和大于底边长两个条件，解对应的不等式组就能得到x的取值范围。
【解析】
根据等腰三角形周长为20 cm，可得周长公式：
$2x + y = 20$
整理得y与x之间的函数解析式为：$y = 20 - 2x$。
再根据三角形边长的性质列约束条件：
1. 底边长为正：$y=20-2x＞0$，解得$x＜10$；
2. 满足三角形三边关系：两腰之和大于底边，即$2x＞y=20-2x$，移项化简得$4x＞20$，解得$x＞5$。
因此自变量x的取值范围是$5 ＜ x ＜ 10$。
【答案】
$y=20-2x$；$5 ＜ x ＜ 10$
【知识点】
等腰三角形性质，函数解析式确定，三角形三边关系
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题型，解题时容易遗漏三角形三边关系的隐含条件，仅考虑边长为正得出错误的自变量取值范围，做题时要注意全面挖掘题目中的约束条件。
【难度系数】
0.7
首先根据等腰三角形周长的构成：周长=2倍腰长+底边长，列出关于x、y的等式，整理后即可得到y与x的函数解析式。求自变量x的取值范围时，需结合三角形边长的隐含约束：一是各边长必须为正数，二是三角形任意两边之和大于第三边，结合等腰三角形的特点，只需保证底边长为正、两腰之和大于底边长两个条件，解对应的不等式组就能得到x的取值范围。
【解析】
根据等腰三角形周长为20 cm，可得周长公式：
$2x + y = 20$
整理得y与x之间的函数解析式为：$y = 20 - 2x$。
再根据三角形边长的性质列约束条件：
1. 底边长为正：$y=20-2x＞0$，解得$x＜10$；
2. 满足三角形三边关系：两腰之和大于底边，即$2x＞y=20-2x$，移项化简得$4x＞20$，解得$x＞5$。
因此自变量x的取值范围是$5 ＜ x ＜ 10$。
【答案】
$y=20-2x$；$5 ＜ x ＜ 10$
【知识点】
等腰三角形性质，函数解析式确定，三角形三边关系
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题型，解题时容易遗漏三角形三边关系的隐含条件，仅考虑边长为正得出错误的自变量取值范围，做题时要注意全面挖掘题目中的约束条件。
【难度系数】
0.7
18.有下列四个关系式:①$y=|x|$;②$|y|=x$;③$y=x^2$;④$y^2=x$.其中y是x的函数的是(填序号).
答案
解：根据函数的定义：对于自变量x的每一个确定的值，都有唯一确定的y值与之对应，逐一判断：
1. 关系式①$y=|x|$：任意给定一个x，都有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数；
2. 关系式②$|y|=x$：当x取任意正数时，对应的y有两个不同的值，不符合函数定义，y不是x的函数；
3. 关系式③$y=x^2$：任意给定一个x，都有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数；
4. 关系式④$y^2=x$：当x取任意正数时，对应的y有两个不同的值，不符合函数定义，y不是x的函数。
综上，y是x的函数的是①③。
1. 关系式①$y=|x|$：任意给定一个x，都有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数；
2. 关系式②$|y|=x$：当x取任意正数时，对应的y有两个不同的值，不符合函数定义，y不是x的函数；
3. 关系式③$y=x^2$：任意给定一个x，都有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数；
4. 关系式④$y^2=x$：当x取任意正数时，对应的y有两个不同的值，不符合函数定义，y不是x的函数。
综上，y是x的函数的是①③。
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确函数的判断标准：在变化过程中，对于自变量x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数。我们就以这个标准为依据，依次对四个关系式逐一验证，判断每个关系式是否满足“一个x对应唯一的y”，即可得出结果。
【解析】
解：根据函数的定义：对于自变量x的每一个确定的值，都有唯一确定的y值与之对应，逐一判断：
1. 关系式①$y=|x|$：任意给定一个x的取值，都有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数；
2. 关系式②$|y|=x$：当x取任意正数时，对应的y有正负两个不同的值，不符合函数定义中“唯一确定”的要求，y不是x的函数；
3. 关系式③$y=x^2$：任意给定一个x的取值，都有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数；
4. 关系式④$y^2=x$：当x取任意正数时，对应的y有正负两个不同的值，不符合函数定义中“唯一确定”的要求，y不是x的函数。
综上，y是x的函数的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
1.函数的定义
2.绝对值的性质
3.平方的性质
【点评】
这道题是函数定义的基础考查题，解题核心是抓住函数定义中“唯一确定”的关键要求，当关系式中出现y的绝对值或y的偶次乘方时，容易出现一个x对应多个y的情况，判断时要重点甄别这类情况，避免出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确函数的判断标准：在变化过程中，对于自变量x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数。我们就以这个标准为依据，依次对四个关系式逐一验证，判断每个关系式是否满足“一个x对应唯一的y”，即可得出结果。
【解析】
解：根据函数的定义：对于自变量x的每一个确定的值，都有唯一确定的y值与之对应，逐一判断：
1. 关系式①$y=|x|$：任意给定一个x的取值，都有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数；
2. 关系式②$|y|=x$：当x取任意正数时，对应的y有正负两个不同的值，不符合函数定义中“唯一确定”的要求，y不是x的函数；
3. 关系式③$y=x^2$：任意给定一个x的取值，都有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数；
4. 关系式④$y^2=x$：当x取任意正数时，对应的y有正负两个不同的值，不符合函数定义中“唯一确定”的要求，y不是x的函数。
综上，y是x的函数的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
1.函数的定义
2.绝对值的性质
3.平方的性质
【点评】
这道题是函数定义的基础考查题，解题核心是抓住函数定义中“唯一确定”的关键要求，当关系式中出现y的绝对值或y的偶次乘方时，容易出现一个x对应多个y的情况，判断时要重点甄别这类情况，避免出错。
【难度系数】
0.7
