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(2)若两车之间的距离为s km,请写出s关于x的函数关系式；
(3)甲、乙两地间有A,B两个加油站,相距200 km,若客车进入A加油站时,出租车恰好进入B加油站,求A加油站与甲地的距离。
(3)甲、乙两地间有A,B两个加油站,相距200 km,若客车进入A加油站时,出租车恰好进入B加油站,求A加油站与甲地的距离。
答案
解：
结合该题对应题干条件：甲、乙两地相距600km，客车从甲地以60km/h的速度匀速驶向乙地，出租车从乙地以100km/h的速度匀速驶向甲地，两车同时出发，x为客车行驶的时间（单位：h）。
(2) 两车相遇的时间为$\frac{600}{60+100}=\frac{15}{4}\ \mathrm{h}$，
出租车到达甲地的时间为$\frac{600}{100}=6\ \mathrm{h}$，
客车到达乙地的时间为$\frac{600}{60}=10\ \mathrm{h}$。
分三段推导函数关系式：
① 当$0≤ x≤ \frac{15}{4}$时，两车未相遇，$s=600-(60+100)x=-160x+600$；
② 当$\frac{15}{4}＜ x≤ 6$时，两车相遇后反向行驶，$s=(60+100)x-600=160x-600$；
③ 当$6＜ x≤ 10$时，出租车已到达甲地，仅客车向乙地行驶，$s=60x$。
综上，$s=\begin{cases}-160x+600 & (0≤ x≤ \frac{15}{4}) \\160x-600 & (\frac{15}{4}＜ x≤ 6) \\60x & (6＜ x≤ 10)\end{cases}$
(3) 由题意可知两车距离$s=200$，分情况代入求解：
① 当$0≤ x≤ \frac{15}{4}$时，令$-160x+600=200$，
解得$x=2.5$，
此时A加油站与甲地的距离为$60× 2.5=150\ \mathrm{km}$；
② 当$\frac{15}{4}＜ x≤ 6$时，令$160x-600=200$，
解得$x=5$，
此时A加油站与甲地的距离为$60× 5=300\ \mathrm{km}$；
③ 当$6＜ x≤ 10$时，令$60x=200$，解得$x=\frac{10}{3}$，不符合$6＜ x≤ 10$的取值范围，舍去。
答：A加油站与甲地的距离为150km或300km。
结合该题对应题干条件：甲、乙两地相距600km，客车从甲地以60km/h的速度匀速驶向乙地，出租车从乙地以100km/h的速度匀速驶向甲地，两车同时出发，x为客车行驶的时间（单位：h）。
(2) 两车相遇的时间为$\frac{600}{60+100}=\frac{15}{4}\ \mathrm{h}$，
出租车到达甲地的时间为$\frac{600}{100}=6\ \mathrm{h}$，
客车到达乙地的时间为$\frac{600}{60}=10\ \mathrm{h}$。
分三段推导函数关系式：
① 当$0≤ x≤ \frac{15}{4}$时，两车未相遇，$s=600-(60+100)x=-160x+600$；
② 当$\frac{15}{4}＜ x≤ 6$时，两车相遇后反向行驶，$s=(60+100)x-600=160x-600$；
③ 当$6＜ x≤ 10$时，出租车已到达甲地，仅客车向乙地行驶，$s=60x$。
综上，$s=\begin{cases}-160x+600 & (0≤ x≤ \frac{15}{4}) \\160x-600 & (\frac{15}{4}＜ x≤ 6) \\60x & (6＜ x≤ 10)\end{cases}$
(3) 由题意可知两车距离$s=200$，分情况代入求解：
① 当$0≤ x≤ \frac{15}{4}$时，令$-160x+600=200$，
解得$x=2.5$，
此时A加油站与甲地的距离为$60× 2.5=150\ \mathrm{km}$；
② 当$\frac{15}{4}＜ x≤ 6$时，令$160x-600=200$，
解得$x=5$，
此时A加油站与甲地的距离为$60× 5=300\ \mathrm{km}$；
③ 当$6＜ x≤ 10$时，令$60x=200$，解得$x=\frac{10}{3}$，不符合$6＜ x≤ 10$的取值范围，舍去。
答：A加油站与甲地的距离为150km或300km。
解析
【分析】
第(2)题解题思路：
首先明确两车为相向匀速行驶，先计算3个关键时间节点：两车相遇时间、出租车到达甲地的时间、客车到达乙地的时间，这三个节点将整个行驶过程划分为3个阶段，不同阶段两车位置关系不同，分别结合路程公式推导每个阶段s与x的函数关系即可。
第(3)题解题思路：
由题意可知两车距离s=200km，将s=200分别代入第(2)题得到的3段分段函数中求解x，验证x是否符合对应分段的取值范围，舍去不符合的解，再根据“客车行驶路程=速度×时间”即可求出A加油站到甲地的距离。
【解析】
已知题干条件：甲、乙两地相距600km，客车从甲地以60km/h的速度匀速驶向乙地，出租车从乙地以100km/h的速度匀速驶向甲地，两车同时出发，x为客车行驶的时间（单位：h）。
(2) 推导s关于x的函数关系式
先计算关键时间点：
两车相遇时间：$\frac{600}{60+100}=\frac{15}{4}\ \mathrm{h}$
出租车到达甲地的时间：$\frac{600}{100}=6\ \mathrm{h}$
客车到达乙地的时间：$\frac{600}{60}=10\ \mathrm{h}$
分3种情况讨论：
① 当$0≤ x≤ \frac{15}{4}$时，两车未相遇，两车距离=总路程-两车共同行驶的路程，即：
$s=600-(60+100)x=-160x+600$
② 当$\frac{15}{4}＜ x≤ 6$时，两车相遇后反向行驶，两车距离=两车共同行驶的路程-总路程，即：
$s=(60+100)x-600=160x-600$
③ 当$6＜ x≤ 10$时，出租车已到达甲地停止行驶，仅客车向乙地行驶，两车距离等于客车行驶的路程，即：
$s=60x$
(3) 求A加油站与甲地的距离
由题意得$s=200\mathrm{km}$，分情况代入求解：
① 当$0≤ x≤ \frac{15}{4}$时，令$-160x+600=200$，解得$x=2.5$，符合取值范围，此时A加油站到甲地的距离为：$60× 2.5=150\ \mathrm{km}$
② 当$\frac{15}{4}＜ x≤ 6$时，令$160x-600=200$，解得$x=5$，符合取值范围，此时A加油站到甲地的距离为：$60× 5=300\ \mathrm{km}$
③ 当$6＜ x≤ 10$时，令$60x=200$，解得$x=\frac{10}{3}$，不符合$6＜ x≤ 10$的取值范围，舍去。
【答案】
(2) $s=\begin{cases}-160x+600 & (0≤ x≤ \frac{15}{4}) \\160x-600 & (\frac{15}{4}＜ x≤ 6) \\60x & (6＜ x≤ 10)\end{cases}$
(3) 150km或300km
【知识点】
分段函数，一次函数应用，一元一次方程求解
【点评】
本题是行程类函数综合题，核心考查分类讨论思想，解题关键是根据两车的运动状态划分合理的时间区间，分情况推导函数关系，代入求值后要注意验证解是否符合对应区间的取值要求，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
第(2)题解题思路：
首先明确两车为相向匀速行驶，先计算3个关键时间节点：两车相遇时间、出租车到达甲地的时间、客车到达乙地的时间，这三个节点将整个行驶过程划分为3个阶段，不同阶段两车位置关系不同，分别结合路程公式推导每个阶段s与x的函数关系即可。
第(3)题解题思路：
由题意可知两车距离s=200km，将s=200分别代入第(2)题得到的3段分段函数中求解x，验证x是否符合对应分段的取值范围，舍去不符合的解，再根据“客车行驶路程=速度×时间”即可求出A加油站到甲地的距离。
【解析】
已知题干条件：甲、乙两地相距600km，客车从甲地以60km/h的速度匀速驶向乙地，出租车从乙地以100km/h的速度匀速驶向甲地，两车同时出发，x为客车行驶的时间（单位：h）。
(2) 推导s关于x的函数关系式
先计算关键时间点：
两车相遇时间：$\frac{600}{60+100}=\frac{15}{4}\ \mathrm{h}$
出租车到达甲地的时间：$\frac{600}{100}=6\ \mathrm{h}$
客车到达乙地的时间：$\frac{600}{60}=10\ \mathrm{h}$
分3种情况讨论：
① 当$0≤ x≤ \frac{15}{4}$时，两车未相遇，两车距离=总路程-两车共同行驶的路程，即：
$s=600-(60+100)x=-160x+600$
② 当$\frac{15}{4}＜ x≤ 6$时，两车相遇后反向行驶，两车距离=两车共同行驶的路程-总路程，即：
$s=(60+100)x-600=160x-600$
③ 当$6＜ x≤ 10$时，出租车已到达甲地停止行驶，仅客车向乙地行驶，两车距离等于客车行驶的路程，即：
$s=60x$
(3) 求A加油站与甲地的距离
由题意得$s=200\mathrm{km}$，分情况代入求解：
① 当$0≤ x≤ \frac{15}{4}$时，令$-160x+600=200$，解得$x=2.5$，符合取值范围，此时A加油站到甲地的距离为：$60× 2.5=150\ \mathrm{km}$
② 当$\frac{15}{4}＜ x≤ 6$时，令$160x-600=200$，解得$x=5$，符合取值范围，此时A加油站到甲地的距离为：$60× 5=300\ \mathrm{km}$
③ 当$6＜ x≤ 10$时，令$60x=200$，解得$x=\frac{10}{3}$，不符合$6＜ x≤ 10$的取值范围，舍去。
【答案】
(2) $s=\begin{cases}-160x+600 & (0≤ x≤ \frac{15}{4}) \\160x-600 & (\frac{15}{4}＜ x≤ 6) \\60x & (6＜ x≤ 10)\end{cases}$
(3) 150km或300km
【知识点】
分段函数，一次函数应用，一元一次方程求解
【点评】
本题是行程类函数综合题，核心考查分类讨论思想，解题关键是根据两车的运动状态划分合理的时间区间，分情况推导函数关系，代入求值后要注意验证解是否符合对应区间的取值要求，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
21. 如图所示,从点$A(0,2)$发出的一束光,经$x$轴反射,过点$B(4,3)$,求这束光从点$A$到点$B$所经过路径的长.
答案
解：作点A关于x轴的对称点$A'$，可得$A'$的坐标为$(0,-2)$。
根据光的反射性质，点A到点B经过反射的路径长等于线段$A'B$的长度。
过点B作$BD ⊥ y$轴于点D，则D点坐标为$(0,3)$。
可得$A'D = 3 - (-2) = 5$，$BD = 4$。
在$\mathrm{Rt}△ A'DB$中，由勾股定理得：
$A'B = \sqrt{A'D^2 + BD^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41}$
答：这束光从点A到点B所经过路径的长为$\sqrt{41}$。
根据光的反射性质，点A到点B经过反射的路径长等于线段$A'B$的长度。
过点B作$BD ⊥ y$轴于点D，则D点坐标为$(0,3)$。
可得$A'D = 3 - (-2) = 5$，$BD = 4$。
在$\mathrm{Rt}△ A'DB$中，由勾股定理得：
$A'B = \sqrt{A'D^2 + BD^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41}$
答：这束光从点A到点B所经过路径的长为$\sqrt{41}$。
解析
【分析】
遇到光的反射求路径长度的问题，我们可以利用轴对称的性质把折线路径转化为直线路径求解：首先反射面是x轴，我们作点A关于x轴的对称点A'，根据光的反射规律，点A到反射点再到点B的路径长度，就等于A'到B的线段长度；接下来已知两个点的坐标，我们可以构造直角三角形，用勾股定理计算这条线段的长度即可。
【解析】
解：作点A关于x轴的对称点$A'$，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得$A'$的坐标为$(0,-2)$。
根据光的反射性质，点A到点B经过x轴反射的路径长等于线段$A'B$的长度。
过点B作$BD ⊥ y$轴于点D，因为B点坐标为$(4,3)$，则D点坐标为$(0,3)$。
可得$A'D = 3 - (-2) = 5$，$BD = 4$。
在$\mathrm{Rt}△ A'DB$中，由勾股定理得：
$A'B = \sqrt{A'D^2 + BD^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25+16} = \sqrt{41}$
即这束光从点A到点B所经过路径的长为$\sqrt{41}$。
【答案】
$\sqrt{41}$
【知识点】
轴对称的性质；勾股定理；坐标与图形性质
【点评】
本题是跨学科结合的典型题型，将光的反射规律与数学的轴对称、勾股定理知识结合，解题的核心是利用轴对称转化思想，把折线路径转化为可直接计算的直线段长度，熟练掌握该转化方法能快速解决同类反射路径、最短路径问题。
【难度系数】
0.7
遇到光的反射求路径长度的问题，我们可以利用轴对称的性质把折线路径转化为直线路径求解：首先反射面是x轴，我们作点A关于x轴的对称点A'，根据光的反射规律，点A到反射点再到点B的路径长度，就等于A'到B的线段长度；接下来已知两个点的坐标，我们可以构造直角三角形，用勾股定理计算这条线段的长度即可。
【解析】
解：作点A关于x轴的对称点$A'$，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得$A'$的坐标为$(0,-2)$。
根据光的反射性质，点A到点B经过x轴反射的路径长等于线段$A'B$的长度。
过点B作$BD ⊥ y$轴于点D，因为B点坐标为$(4,3)$，则D点坐标为$(0,3)$。
可得$A'D = 3 - (-2) = 5$，$BD = 4$。
在$\mathrm{Rt}△ A'DB$中，由勾股定理得：
$A'B = \sqrt{A'D^2 + BD^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25+16} = \sqrt{41}$
即这束光从点A到点B所经过路径的长为$\sqrt{41}$。
【答案】
$\sqrt{41}$
【知识点】
轴对称的性质；勾股定理；坐标与图形性质
【点评】
本题是跨学科结合的典型题型，将光的反射规律与数学的轴对称、勾股定理知识结合，解题的核心是利用轴对称转化思想，把折线路径转化为可直接计算的直线段长度，熟练掌握该转化方法能快速解决同类反射路径、最短路径问题。
【难度系数】
0.7
