1.$(x+m)^2=x^2-2(n-1)x+36$,则$n=$.

7或-5

【分析】
本题可利用完全平方公式和多项式相等的性质求解。首先回忆完全平方公式的展开形式，将等式左边的完全平方式展开，两个多项式相等时，同类项的系数必须对应相等，先根据常数项相等求出m的取值，再根据一次项系数相等建立关于n的方程，分两种情况代入m的值即可求出n，注意完全平方有两种形式，不要漏解。
【解析】
首先展开等式左边的完全平方式：
$(x+m)^2=x^2+2mx+m^2$
已知$x^2+2mx+m^2=x^2-2(n-1)x+36$，根据多项式相等时同类项系数对应相等，可得：
1. 常数项对应相等：$m^2=36$，解得$m=6$或$m=-6$
2. 一次项系数对应相等：$2m=-2(n-1)$，化简得$m=-(n-1)$，变形为$n=1-m$
分两种情况计算n：
① 当$m=6$时，$n=1-6=-5$
② 当$m=-6$时，$n=1-(-6)=7$
【答案】
7或-5
【知识点】
完全平方公式、多项式相等性质、一元一次方程求解
【点评】
本题是乘法公式应用的常考基础题，解题的关键是掌握完全平方公式的两种形式，避免因忽略负的情况漏解，能有效考查对整式乘法基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.7

2.若$m≠0$，$Q=(m^2 - m + 1)(m^2 + m + 1)$，$P=(m + 1)^2(m - 1)^2$，则有()

A.$P≥Q$
B.$P＜Q$
C.$Q≥P$
D.$P=Q$

B
提示:$Q=m^4+m^2+1,P=m^4-2m^2+1,Q-P=3m^2＞0$

【分析】
要比较两个代数式P和Q的大小，常用作差法，通过判断差的正负即可得出大小关系。首先观察两个代数式的结构，可先利用平方差公式、完全平方公式分别化简Q和P，再计算Q-P的结果，结合m≠0的条件判断差的正负，就能得到P和Q的大小关系。
【解析】
1. 化简$Q$：
将$Q$的因式变形为平方差结构：
$Q=(m^2 - m + 1)(m^2 + m + 1)=[(m^2+1)-m][(m^2+1)+m]$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，得：
$Q=(m^2+1)^2 - m^2$
再用完全平方公式展开并合并同类项：
$Q=m^4 + 2m^2 + 1 - m^2 = m^4 + m^2 + 1$
2. 化简$P$：
根据积的乘方性质$a^2b^2=(ab)^2$，得：
$P=(m+1)^2(m-1)^2=[(m+1)(m-1)]^2$
先用平方差公式计算括号内的部分：
$(m+1)(m-1)=m^2 - 1$
再用完全平方公式展开：
$P=(m^2 - 1)^2 = m^4 - 2m^2 + 1$
3. 作差比较大小：
计算$Q-P$：
$Q-P=(m^4 + m^2 + 1) - (m^4 - 2m^2 + 1) = 3m^2$
已知$m≠0$，因此$m^2＞0$，可得$3m^2＞0$，即$Q-P＞0$，故$Q＞P$，也就是$P＜Q$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，作差比较法
【点评】
本题考查乘法公式的灵活运用，解题关键是观察代数式的结构特征，通过合理变形简化运算。作差法是比较代数式大小的常用方法，需熟练掌握乘法公式的结构，提升代数式变形的能力。
【难度系数】
0.7

3.先化简,再求值:
(1)$(2x+3y)^2 - (2x+y)(2x-y) - 2y(3x+5y)$,其中$x=-2,y=\frac{1}{2}$.
(2)$(8x^2 +4x +1)(-8x^2 +4x -1)$,其中$x=\frac{1}{2}$.

(1)原式$=4x^2+12xy+9y^2-(4x^2-y^2)-6xy-10y^2$
$=6xy$
当$x=-2,y=\frac{1}{2}$时,
原式$=-6.$
(2)原式$=[4x+(8x^2+1)][4x-(8x^2+1)]$
$=(4x)^2-(8x^2+1)^2$
$=16x^2-(64x^4+16x^2+1)$
$=16x^2-64x^4-16x^2-1$
$=-64x^4-1.$
当$x=\frac{1}{2}$时,
原式$=-64×(\frac{1}{2})^4-1$
$=-64×\frac{1}{16}-1=-5.$

【分析】
这两道题属于整式化简求值类题目，解题分为“化简”和“代值计算”两个核心步骤：
第(1)题：依次用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则展开原式的三个部分，再去括号合并同类项得到最简式，最后代入x、y的数值计算结果；
第(2)题：观察式子的结构特征，将4x视为相同项，$8x^2+1$视为相反项，先变形为平方差公式的标准形式，再依次用平方差公式、完全平方公式展开，合并同类项后代入x的数值计算即可。
【解析】
(1) 利用乘法公式及运算法则展开：
$\begin{aligned}原式&=4x^2+12xy+9y^2-(4x^2-y^2)-6xy-10y^2\\&=4x^2+12xy+9y^2-4x^2+y^2-6xy-10y^2\\&=6xy\end{aligned}$
将$x=-2,y=\frac{1}{2}$代入最简式：
$原式=6×(-2)×\frac{1}{2}=-6$
(2) 变形凑平方差公式结构：
$\begin{aligned}原式&=[4x+(8x^2+1)][4x-(8x^2+1)]\\&=(4x)^2-(8x^2+1)^2\\&=16x^2-(64x^4+16x^2+1)\\&=16x^2-64x^4-16x^2-1\\&=-64x^4-1\end{aligned}$
将$x=\frac{1}{2}$代入最简式：
$原式=-64×(\frac{1}{2})^4-1=-64×\frac{1}{16}-1=-5$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6}$；(2) $\boldsymbol{-5}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 完全平方公式
3. 整式化简求值
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活应用，解题的核心是准确识别公式适用的结构特征，展开计算时注意去括号的符号变化，合并同类项要彻底，代入数值计算时要注意运算顺序，避免低级失误。
【难度系数】
0.7

4.(1)已知$(x+y)^2=20,(x-y)^2=16$,
求$xy$的值.
(2)已知$a+b=5,ab=3$,
求$(a-b)^2$的值.

(1)$\begin{cases} x^2+2xy+y^2=20 \quad ① \\ x^2-2xy+y^2=16 \quad ② \end{cases}$,
①$-$②得$4xy=4,∴xy=1.$
(2)$(a+b)^2=25$,
故$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
$=25-12=13.$

【分析】
（1）解题时先利用完全平方公式把已知的两个等式展开，观察两个展开式的结构特点，可知两式相减后会消去$x^2$和$y^2$项，仅剩下含$xy$的项，整理后即可求出$xy$的值；
（2）要求$(a-b)^2$的值，可先推导$(a-b)^2$与已知条件$a+b$、$ab$的关系：根据完全平方公式可得$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，直接代入已知数值计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体值，简化运算。
【解析】
(1) 利用完全平方公式展开已知等式，得：
$\begin{cases} x^2+2xy+y^2=20 \quad ① \\ x^2-2xy+y^2=16 \quad ② \end{cases}$
用①式减去②式：
$(x^2+2xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)=20-16$
合并同类项得$4xy=4$，解得$xy=1$。
(2) 由$a+b=5$可得$(a+b)^2=5^2=25$，
根据完全平方公式变形得：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
将$(a+b)^2=25$，$ab=3$代入上式：
$(a-b)^2=25-4×3=25-12=13$
【答案】
(1) $xy=1$；(2) $(a-b)^2=13$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 完全平方公式变形求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用，掌握和的平方与差的平方之间的转换关系是解题核心，这类题是整式运算的常见基础题型，熟练掌握公式变形可大幅提升解题效率，避免不必要的复杂计算。
【难度系数】
0.8

5.如图，某市有一块长为$(3a+b)$米，宽为$(2a+b)$米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为$(a+b)$米的正方形雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当$a=3,b=2$时的绿化面积。

$S_{阴}=(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2$
$=5a^2+3ab,$
当$a=3,b=2$时,$S=63(\mathrm{m}^2).$
答:绿化的面积是$(5a^2+3ab)\mathrm{m}^2$,当$a=3,b=2$时的绿化面积是$63\ \mathrm{m}^2.$

【分析】
要求阴影部分的绿化面积，可采用“整体减空白”的思路：阴影面积等于大长方形地块的面积减去中间正方形雕像的面积。首先分别根据长方形、正方形的面积公式写出对应面积的代数式，再利用整式乘法法则展开、合并同类项化简，最后将a、b的取值代入化简后的式子计算即可得到具体面积。
【解析】
解：绿化面积=大长方形面积 - 正方形雕像面积
1. 计算大长方形面积：
根据长方形面积公式，得面积为$(3a+b)(2a+b)$，由多项式乘多项式法则展开：
$(3a+b)(2a+b)=3a·2a + 3a· b + b·2a + b· b = 6a^2 + 5ab + b^2$
2. 计算正方形雕像面积：
根据正方形面积公式，得面积为$(a+b)^2$，由完全平方公式展开：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
3. 计算阴影面积并化简：
$S_{阴}=(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2$
$=6a^2 + 5ab + b^2 - (a^2 + 2ab + b^2)$
$=6a^2 + 5ab + b^2 - a^2 - 2ab - b^2$
合并同类项得：$S_{阴}=5a^2 + 3ab$
4. 代入$a=3,b=2$计算具体面积：
将$a=3,b=2$代入$5a^2 + 3ab$得：
$S=5×3^2 + 3×3×2 = 5×9 + 18 = 45 + 18 = 63(\mathrm{m}^2)$
【答案】
绿化的面积是$(5a^2+3ab)\mathrm{m}^2$，当$a=3,b=2$时的绿化面积是$63\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
多项式乘多项式，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题属于几何背景下的整式运算应用题，解题关键是明确阴影面积的计算方法，熟练掌握整式乘法的相关运算法则，计算时需注意去括号时的符号变化，代入求值时要遵循运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7

6.如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，若AB=9，两正方形的面积和为41，求△AFC的面积.

设$BC=a,AC=b,$
$∴a+b=9,a^2+b^2=41,$
$∴(a+b)^2=81,$
$a^2+b^2+2ab=81,$
$∴2ab=40,$
$∴S_{△ AFC}=\frac{1}{2}ab=10.$

【分析】
要求△AFC的面积，首先观察图形可知△AFC是直角三角形，两条直角边分别等于两个正方形的边长，因此面积为两个边长乘积的一半。题目给出AB的长度为两个正方形边长之和，两正方形面积和为两个边长的平方和，刚好符合完全平方公式的结构，因此我们可以先设两个正方形的边长分别为a、b，先利用完全平方公式的变形求出ab的值，即可得到三角形的面积。
【解析】
设正方形BCFG的边长$BC=a$，正方形ACDE的边长$AC=b$。
由AB的长度为AC与BC之和，得：$a+b=9$
由两正方形的面积和为41，得：$a^2+b^2=41$
根据完全平方公式，$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a+b=9$代入得：
$(a+b)^2=9^2=81$
把$a^2+b^2=41$代入上式，得：
$41+2ab=81$
解得：$2ab=40$，即$ab=20$
又
∵△AFC为直角三角形，直角边$CF=BC=a$，$AC=b$
∴$S_{△ AFC}=\frac{1}{2}· AC· CF=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×20=10$
【答案】
10
【知识点】
完全平方公式的应用，正方形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题主要考查完全平方公式的变形应用，解题时不需要单独求出两个边长的具体值，利用整体思想求出ab的值即可快速得到结果，熟练掌握完全平方公式的变形是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7