【典例1】计算：
(1)$(x-3y)(x+3y)=$；
(2)$(x+y)^2=$.
变式.(1)$(x+y)(-x+y)=$；
(2)$(2m-n)^2=$.

(1)$x^2-9y^2$
(2)$x^2+2xy+y^2$
变式.(1)$y^2-x^2$
(2)$4m^2-4mn+n^2$

【分析】
解决这类整式乘法计算题，首先观察算式的结构特征，匹配对应的乘法公式：①若式子是“两个数的和×两个数的差”的形式，使用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算；②若式子是“两个数的和/差的平方”的形式，使用完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$计算。计算时要找准公式中对应的$a$、$b$，注意系数的乘方运算和符号不要出错。
【解析】
(1) 式子符合平方差公式特征，其中$a=x$，$b=3y$，代入得：
$(x-3y)(x+3y)=x^2-(3y)^2=x^2-9y^2$
(2) 式子符合完全平方和公式特征，其中$a=x$，$b=y$，代入得：
$(x+y)^2=x^2+2· x· y+y^2=x^2+2xy+y^2$
变式(1) 先调整式子顺序为$(y+x)(y-x)$，符合平方差公式特征，其中$a=y$，$b=x$，代入得：
$(x+y)(-x+y)=(y+x)(y-x)=y^2-x^2$
变式(2) 式子符合完全平方差公式特征，其中$a=2m$，$b=n$，代入得：
$(2m-n)^2=(2m)^2-2· 2m· n+n^2=4m^2-4mn+n^2$
【答案】
(1)$x^2-9y^2$
(2)$x^2+2xy+y^2$
变式.(1)$y^2-x^2$
(2)$4m^2-4mn+n^2$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是乘法公式的基础运用题，核心是准确识别公式的结构特征，找准公式中对应的$a$和$b$，计算时注意系数的乘方和符号，避免出现漏乘、符号错误等问题。
【难度系数】
0.8

【典例2】计算：
(1)$(-3x -5y)(3x -5y)=$；(2)$(-2x - y)^2=$。

(1)$25y^2-9x^2$
(2)$4x^2+4xy+y^2$

【分析】
本题考查整式乘法中乘法公式的基础应用，解题思路如下：(1) 观察第一个算式的两个因式，先区分出其中的相同项和互为相反数的项，判断其符合平方差公式的结构特征，确定公式中对应的a、b后代入计算即可；(2) 观察第二个算式是两个代数式和的平方的形式，符合完全平方公式的结构特征，可先调整符号简化算式，再代入公式计算，注意处理好各项的系数和符号，避免出错。
【解析】
(1) 先对算式变形，将相同项放在前侧：
$(-3x -5y)(3x -5y)=(-5y -3x)(-5y +3x)$
其中相同项为$a=-5y$，互为相反数的项为$3x$和$-3x$，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，代入计算得：
原式$=(-5y)^2 - (3x)^2 = 25y^2 - 9x^2$
(2) 先提取公因式负号简化算式：
$(-2x - y)^2=[-(2x + y)]^2=(2x + y)^2$
符合完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，其中$a=2x$，$b=y$，代入计算得：
原式$=(2x)^2 + 2× 2x × y + y^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$
【答案】
(1)$25y^2-9x^2$；(2)$4x^2+4xy+y^2$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式乘法运算
【点评】
本题是乘法公式应用的基础题型，解题核心是准确识别算式对应的公式结构，找准公式中的对应项，计算时注意系数的平方运算和符号处理，避免出现漏项、符号错误等问题。
【难度系数】
0.8

变式1. $(-3a - 2b)(3a - 2b)$.
变式2. $(-2m + 3)^2$.

变式1.解:原式$=-(3a+2b)(3a-2b)$
$=-(9a^2-4b^2)$
$=-9a^2+4b^2$
变式2.解:原式$=[-(2m-3)]^2$
$=(2m-3)^2$
$=4m^2-12m+9$

【分析】
1. 变式1：观察式子结构，两个因式中-2b是相同项，3a和-3a是相反项，符合平方差公式的特征，可先提取第一个因式的负号，将原式变形为平方差公式的标准形式，再套用公式计算，最后去括号得到结果。
2. 变式2：观察式子是带负号的整式的平方，先对括号内的整式提取负号，根据平方的非负性消去负号，转化为完全平方差公式的标准形式，再套用公式展开计算即可。
【解析】
变式1
解：原式$=-(3a+2b)(3a-2b)$
$=-(9a^2-4b^2)$
$=-9a^2+4b^2$
变式2
解：原式$=[-(2m-3)]^2$
$=(2m-3)^2$
$=4m^2-12m+9$
【答案】
变式1：$\boldsymbol{-9a^2+4b^2}$
变式2：$\boldsymbol{4m^2-12m+9}$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、整式符号化简
【点评】
这两道题是乘法公式的基础应用，解题关键是先观察式子的结构特征，找准公式中对应的"a""b"，遇到含负号的式子时先调整符号转化为公式的标准形式再计算，注意运算过程中的符号变化，减少计算失误。
【难度系数】
0.85

【典例3】计算：$(a-b)^2(a+b)^2=$。

$a^4-2a^2b^2+b^4$

【分析】
首先观察式子特征，两个因式的乘方指数均为2，符合积的乘方逆运算的形式$a^n b^n=(ab)^n$，因此可以先将两个底数相乘，再对乘积进行平方运算。此时底数$(a-b)(a+b)$刚好满足平方差公式的结构，计算得到$a^2-b^2$后，再对其运用完全平方公式展开即可，该方法比分别展开两个完全平方再相乘的计算量更小，不易出错。
【解析】
解：$\begin{aligned}原式&=[(a-b)(a+b)]^2 \quad \mathrm{（逆用积的乘方公式）}\\&=(a^2-b^2)^2 \quad \mathrm{（运用平方差公式计算）}\\&=a^4-2a^2b^2+b^4 \quad \mathrm{（运用完全平方公式展开）}\end{aligned}$
【答案】
$a^4-2a^2b^2+b^4$
【知识点】
积的乘方逆运算、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题重点考查整式乘法中乘法公式的灵活运用，解题时优先观察式子的结构特征，选择合适的运算顺序和公式，能够有效简化计算过程，提升运算的准确率。
【难度系数】
0.7

变式1.$(-a-2b)^2-(a+2b)(a-2b)$.
变式2.$(3a-2b)^2-(3a+2b)^2$.

变式1.解:原式$=[-(a+2b)]^2-(a^2-4b^2)$
$=a^2+4ab+4b^2-a^2+4b^2$
$=8b^2+4ab.$
变式2.解:原式$=9a^2-12ab+4b^2-(9a^2+12ab+4b^2)$
$=-24ab.$

【分析】
这两道题是乘法公式的基础计算题型，解题思路如下：①变式1：先观察到$(-a-2b)^2$可变形为$(a+2b)^2$（平方运算可消去负号），后半部分$(a+2b)(a-2b)$符合平方差公式的结构，分别用对应公式展开两个部分，再去括号合并同类项即可；②变式2：前后两项均符合完全平方公式的结构，分别用完全平方公式展开，注意去括号时括号前为负号，括号内所有项都要变号，最后合并同类项得到结果。
【解析】
变式1
原式$=[-(a+2b)]^2-(a^2-4b^2)$
$=(a+2b)^2 -a^2 +4b^2$
$=a^2+4ab+4b^2 -a^2 +4b^2$
$=8b^2+4ab$
变式2
原式$=9a^2-12ab+4b^2-(9a^2+12ab+4b^2)$
$=9a^2-12ab+4b^2-9a^2-12ab-4b^2$
$=-24ab$
【答案】
变式1：$\boxed{8b^2+4ab}$；变式2：$\boxed{-24ab}$
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；整式混合运算
【点评】
本题属于乘法公式的基础应用类题目，解题核心是准确识别代数式对应的公式结构，计算时注意规避去括号符号错误、公式记错两类常见问题，熟练掌握公式可大幅提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8

【典例4】计算：
(1)$(a+b-c)(a-b+c)=$；
(2)$(a-b-c)^2=$。

(1)$a^2-b^2-c^2+2bc$
(2)$a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ac$

【分析】
对于这类多项式乘法计算，核心思路是通过添括号把原式变形为已学的乘法公式（平方差公式、完全平方公式）的标准形式，再利用公式展开化简，最后整理得到结果。
(1) 观察两个因式：相同项是$a$，互为相反数的项是$+b-c$和$-b+c$，因此可以把后两项打包看成一个整体，凑出“$(x+y)(x-y)$”的平方差公式结构，先用平方差公式计算，再展开剩余的完全平方项即可。
(2) 三个项的平方运算，可先将后两项打包看成一个整体，凑出“$(x-y)^2$”的完全平方公式结构，先用完全平方公式展开，再展开二次得到的完全平方项，最后合并整理即可，注意去括号时符号的变化。
【解析】
(1) 对原式添括号变形：
$\begin{aligned}(a+b-c)(a-b+c)&=[a+(b-c)][a-(b-c)]\\&=a^2-(b-c)^2 \quad \mathrm{（利用平方差公式：$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$）}\\&=a^2-(b^2-2bc+c^2) \quad \mathrm{（利用完全平方公式：$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$）}\\&=a^2-b^2+2bc-c^2\\&=a^2-b^2-c^2+2bc\end{aligned}$
(2) 对原式添括号变形：
$\begin{aligned}(a-b-c)^2&=[a-(b+c)]^2\\&=a^2-2a(b+c)+(b+c)^2 \quad \mathrm{（利用完全平方公式：$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$）}\\&=a^2-2ab-2ac+(b^2+2bc+c^2) \quad \mathrm{（利用完全平方公式：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$）}\\&=a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ac\end{aligned}$
【答案】
(1)$a^2-b^2-c^2+2bc$
(2)$a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ac$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、添括号法则
【点评】
本题是乘法公式的基础应用题型，解题的关键是通过合理添括号将陌生的多项式结构转化为熟悉的乘法公式标准形式，计算时要注意去括号的符号规则，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.75

变式1.$(a+b+c)(a+b-c)$. 变式2.$(a-b+c)^2$.

变式1.解:原式$=[(a+b)+c][(a+b)-c]$
$=(a+b)^2-c^2$
$=a^2+2ab+b^2-c^2.$
变式2.解:原式$=[(a-b)+c]^2$
$=(a-b)^2+2c(a-b)+c^2$
$=a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc.$

【分析】
对于多项式乘法运算，当式子中出现结构相同的部分时，可利用整体思想将其打包为一个整体，转化为已学的乘法公式形式简化计算：
1. 变式1中，观察两个因式的特征，a、b的符号均相同，仅c的符号相反，因此将(a+b)看作一个整体，原式就符合平方差公式“(m+n)(m-n)=m²-n²”的形式，先用平方差公式化简，再展开完全平方即可得到结果。
2. 变式2是三个数和的平方，可将前两项(a-b)看作一个整体，原式就符合完全平方公式“(m+n)²=m²+2mn+n²”的形式，先用完全平方公式展开，再进一步化简计算即可。
【解析】
变式1：
解：原式$=[(a+b)+c][(a+b)-c]$
$=(a+b)^2-c^2$
$=a^2+2ab+b^2-c^2$
变式2：
解：原式$=[(a-b)+c]^2$
$=(a-b)^2+2c(a-b)+c^2$
$=a^2-2ab+b^2+2ac-2bc+c^2$
$=a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc$
【答案】
变式1：$a^2+2ab+b^2-c^2$
变式2：$a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 完全平方公式
3. 整体代换思想
【点评】
这两道题是乘法公式的典型拓展应用，解题核心是通过合理分组构造出符合乘法公式的结构，利用整体思想降低运算难度，展开计算时要注意各项的符号，避免出现漏乘、符号错误的问题。
【难度系数】
0.7

变式3.$(a-2b+c)(a+2b-c)$.
变式4.$(x-y-2)^2.$

变式3.解:原式$=[a-(2b-c)][a+(2b-c)]$
$=a^2-(2b-c)^2$
$=a^2-(4b^2-4bc+c^2)$
$=a^2-4b^2+4bc-c^2.$
变式4.解:原式$=[(x-y)-2]^2$
$=(x-y)^2-4(x-y)+4$
$=x^2+y^2-2xy-4x+4y+4.$

【分析】
对于变式3，先观察两个因式的结构特征，找到相同项为$a$，相反项为$-2b+c$和$2b-c$，因此可以将相反项看成一个整体，把原式变形为平方差公式的标准形式，先运用平方差公式计算，再展开完全平方项，最后去括号化简即可。
对于变式4，式子是三项的平方，可将前两项$x-y$看成一个整体，把原式变形为完全平方公式的标准形式，先运用完全平方公式展开，再展开内部的$(x-y)^2$，最后去括号合并同类项得到结果。
【解析】
变式3
解：原式$=[a-(2b-c)][a+(2b-c)]$
$=a^2-(2b-c)^2$
$=a^2-(4b^2-4bc+c^2)$
$=a^2-4b^2+4bc-c^2$
变式4
解：原式$=[(x-y)-2]^2$
$=(x-y)^2-4(x-y)+4$
$=x^2-2xy+y^2-4x+4y+4$
【答案】
变式3：$\boldsymbol{a^2-4b^2+4bc-c^2}$
变式4：$\boldsymbol{x^2-2xy+y^2-4x+4y+4}$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、整式去括号法则
【点评】
这两道题是乘法公式的基础应用题型，解题核心是运用整体思想将复杂的多项式变形为符合乘法公式的结构，再按运算法则计算，计算时需注意去括号的符号变化，避免出现漏乘、符号错误等问题。
【难度系数】
0.7