【例1】在括号里填上适当的项.
(1)$a - 2b - c = a - ($$)$;
(2)$a - 2b + c = a - ($$)$;
(3)$a + b - c = a + ($$)$;
(4)$a - b + c - d = (a - d) - ($$)$.

(1)2b+c (2)2b-c (3)b-c (4)b-c

【分析】
本题考查添括号法则的应用，解题思路如下：首先明确添括号的核心规则：①若所添括号前面是正号，括到括号内的各项都不改变符号；②若所添括号前面是负号，括到括号内的各项都要改变符号。接下来针对每个小问，先观察括号前的符号，再将需要括进括号的项按规则调整符号后填入即可。
【解析】
根据添括号法则逐一计算：
(1) 式子右边括号前为负号，需将原式中-2b、-c两项变号后放入括号，因此括号内填2b+c；
(2) 式子右边括号前为负号，需将原式中-2b、+c两项变号后放入括号，因此括号内填2b-c；
(3) 式子右边括号前为正号，需将原式中+b、-c两项保持符号不变放入括号，因此括号内填b-c；
(4) 先将原式分组为$(a-d) + (-b +c)$，后续括号前为负号，需将-b、+c两项变号后放入括号，因此括号内填b-c。
【答案】
(1)$2b+c$；(2)$2b-c$；(3)$b-c$；(4)$b-c$
【知识点】
添括号法则；整式的恒等变形
【点评】
本题是整式变形的基础题型，重点考查添括号时的符号变化规律，熟练掌握该规则是后续学习乘法公式、因式分解等内容的必备基础，解题时要注意括号前的符号对括号内各项符号的影响，避免符号出错。
【难度系数】
0.9

练习.下列各式从左到右的变形,正确的是()

A.$-x-y=-(x-y)$
B.$-a+b=-(a+b)$
C.$(y-x)^2=(x-y)^2$
D.$(a-b)^3=(b-a)^3$

C

【分析】
这道题考查整式变形中的符号判断，解题时可结合添括号法则、互为相反数的数的乘方性质逐个分析选项：首先明确添括号规则：括号前添负号时，括号内所有项都要改变符号；其次牢记：互为相反数的两个数，偶次幂相等，奇次幂互为相反数，按照这个思路逐一验证四个选项即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据添括号法则，$-x-y=-(x+y)$，等式右边$-(x-y)=-x+y$，和左边$-x-y$不相等，故A错误；
B选项：$-a+b=-(a-b)$，等式右边$-(a+b)=-a-b$，和左边$-a+b$不相等，故B错误；
C选项：因为$y-x=-(x-y)$，所以$(y-x)^2=[-(x-y)]^2=(-1)^2×(x-y)^2=(x-y)^2$，左右两边相等，故C正确；
D选项：$(a-b)^3=[-(b-a)]^3=(-1)^3×(b-a)^3=-(b-a)^3$，和右边$(b-a)^3$不相等（$a≠ b$时），故D错误。
【答案】
C
【知识点】
添括号法则，偶次幂的性质，奇次幂的性质
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心易错点是符号处理，熟练掌握添去括号的符号规则、奇偶次幂的符号特点，能有效避免这类错误，也是后续学习乘法公式的重要基础。
【难度系数】
0.75

【例2】(a−b+c)(a+b−c)=[a−()][a+()]

b-c b-c

【分析】
本题需要利用添括号法则将原式变形为题目要求的[a−( )][a+( )]的形式。解题思路如下：首先明确添括号的符号规则，然后分别对两个因式中除a之外的项进行打包处理：第一个因式要凑成“a减某个整式”，所以给后面的项加带负号的括号，注意括号内各项要变号；第二个因式要凑成“a加某个整式”，给后面的项加带正号的括号，括号内各项不变号，即可得到括号内应填的整式。
【解析】
根据添括号法则：添括号时，括号前是正号，括到括号内的各项符号不变；括号前是负号，括到括号内的各项符号都改变。
1. 变形第一个因式$a-b+c$：
要写成$a-(\quad)$的形式，将$-b+c$放入带负号的括号中，各项变号得：$-b+c=-(b-c)$，因此$a-b+c=a-(b-c)$。
2. 变形第二个因式$a+b-c$：
要写成$a+(\quad)$的形式，将$b-c$放入带正号的括号中，各项符号不变，因此$a+b-c=a+(b-c)$。
所以两个括号内均填$b-c$。
【答案】
$b-c$；$b-c$
【知识点】
添括号法则；整式恒等变形
【点评】
本题是乘法公式运用的基础题型，重点考察添括号时的符号变化规律，熟练掌握该规律是后续灵活运用平方差、完全平方公式解决复杂整式运算的前提。
【难度系数】
0.8

练习1.$(x - y + z)(-x + y + z) = [z + (\_\_\_\_\_\_)][z - (\_\_\_\_\_\_)] = z^2 - (\_\_\_\_\_\_)^2.$

x-y x-y x-y

【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题核心是识别平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征：两个因式中存在相同的项和互为相反数的项。首先观察两个括号的项，找到公共项$z$，再将剩余部分整理为互为相反数的形式，通过添括号法则拼凑出平方差公式的标准形式即可求解。
【解析】
第一步：对两个括号进行变形，将公共项$z$放在前面，对剩余部分用添括号法则整理：
第一个括号：$x-y+z = z + (x-y)$；
第二个括号：$-x+y+z = z + (-x+y) = z - (x-y)$；
第二步：套用平方差公式计算：
原式$=[z + (x-y)][z - (x-y)] = z^2 - (x-y)^2$。
因此三个空依次填入对应内容即可。
【答案】
$x-y$；$x-y$；$x-y$
【知识点】
平方差公式；添括号法则
【点评】
本题侧重考查平方差公式的结构识别，解题关键是准确区分公式中相同的项和相反的项，熟练掌握添括号时的符号变化规则即可快速解题，是乘法公式应用的基础题型。
【难度系数】
0.8

练习2.计算$(2x+y+z)(2x-y-z)$，下列变形正确的是()

A.$[(2x-y)+z][(2x-y)-z]$
B.$[(2x+z)+y][(2x+z)-y]$
C.$[2x+(y+z)][2x-(y+z)]$
D.$[z+(2x+y)][z-(2x+y)]$

C

【分析】
这道题考查平方差公式的应用，解题核心是先明确平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征：两个因式中存在一项完全相同，另一项互为相反数。解题时先观察原式两个因式的组成：$(2x+y+z)$和$(2x-y-z)$，首先找共同项为$2x$，再将剩余部分整理成互为相反数的整体：第一个因式剩余$y+z$，第二个因式剩余$-y-z=-(y+z)$，因此可以把$y+z$看作一个整体，将原式变形为符合平方差公式的结构，再对应选项判断即可。
【解析】
平方差公式的结构为：两个因式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，可表示为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
对原式$(2x+y+z)(2x-y-z)$变形：
将第二个因式中的后两项提取负号，可得$2x-y-z=2x-(y+z)$，
因此原式可改写为$[2x+(y+z)][2x-(y+z)]$，对应选项C。
逐一验证其他选项：
A选项：$[(2x-y)+z][(2x-y)-z]$展开前项为$2x-y+z$，和原式第一个因式$2x+y+z$不符，错误；
B选项：$[(2x+z)+y][(2x+z)-y]$展开后项为$2x+z-y$，和原式第二个因式$2x-y-z$不符，错误；
D选项：$[z+(2x+y)][z-(2x+y)]$展开后项为$z-2x-y$，和原式第二个因式$2x-y-z$不符，错误。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；添括号法则；整体思想
【点评】
本题是乘法公式应用的基础题型，解题关键是准确识别两个因式中的相同项和相反项，熟练掌握把多项式部分看作整体的变形方法，能帮助我们快速套用公式简化运算。
【难度系数】
0.8

练习3.计算：
(1)$(x+y+1)(x+y-1)$；
(2)$(a+2b-c)(a-2b-c)$。

(1)原式$=[(x+y)+1][(x+y)-1]$
$=(x+y)^2-1^2$
$=x^2+2xy+y^2-1$
(2)原式$=[(a-c)+2b][(a-c)-2b]$
$=(a-c)^2-(2b)^2$
$=a^2-2ac+c^2-4b^2$

【分析】
这两道题都是三项式乘三项式的整式运算，直接逐项展开计算量大且容易出错。解题时先观察式子结构特征：两个相乘的多项式中，有部分项完全相同，剩余项互为相反数，因此可利用整体思想，将相同项打包看作一个整体，把原式变形为平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的结构，先套用平方差公式化简，再对化简后的完全平方项展开计算即可。
第(1)题相同项为$x+y$，相反项为$+1$和$-1$，把$x+y$看作整体$m$、1看作$n$即可套用公式；第(2)题相同项为$a-c$，相反项为$+2b$和$-2b$，把$a-c$看作整体$m$、$2b$看作$n$即可套用公式。
【解析】
(1) 先分组将$x+y$看作整体：
原式$=[(x+y)+1][(x+y)-1]$
根据平方差公式计算：
$=(x+y)^2-1^2$
再根据完全平方公式展开$(x+y)^2$：
$=x^2+2xy+y^2-1$
(2) 先分组将$a-c$看作整体：
原式$=[(a-c)+2b][(a-c)-2b]$
根据平方差公式计算：
$=(a-c)^2-(2b)^2$
先计算乘方，再根据完全平方公式展开$(a-c)^2$：
$=a^2-2ac+c^2-4b^2$
【答案】
(1)$x^2+2xy+y^2-1$；(2)$a^2-2ac+c^2-4b^2$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整体代换思想
【点评】
本题是整式乘法的常规题型，核心考查乘法公式的灵活运用能力，解题关键是准确识别式子中相同和相反的项，通过整体代换转化为熟悉的公式结构，能大幅简化运算、降低出错概率，熟练掌握这类变形方法是后续解决复杂整式化简问题的基础。
【难度系数】
0.8

【例3】计算：
(1)$(a-b-c)^2$；
(2)$(x+y-1)^2$。

(1)原式$=[(a-b)-c]^2$
$=(a-b)^2-2c(a-b)+c^2$
$=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc$
(2)原式$=[(x+y)-1]^2$
$=(x+y)^2-2(x+y)+1$
$=x^2+y^2+2xy-2x-2y+1.$

【分析】
我们已经掌握两项式的完全平方公式，本题为三项式的平方计算，核心解题思路是通过添括号将三项式转化为熟悉的二项式结构：把其中两项看作一个整体，先套用完全平方公式完成第一次展开，再对整体部分的平方二次套用完全平方公式，最后合并同类项即可得到结果，分组时注意遵守添括号的符号规则。
【解析】
(1) 把$(a-b)$看作一个整体分组：
原式$=[(a-b)-c]^2$
根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$（其中$m=a-b$，$n=c$）展开得：
$=(a-b)^2-2c(a-b)+c^2$
再次展开完全平方并去括号合并：
$=a^2-2ab+b^2-2ac+2bc+c^2$
$=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc$
(2) 把$(x+y)$看作一个整体分组：
原式$=[(x+y)-1]^2$
根据完全平方公式展开得：
$=(x+y)^2-2(x+y)+1$
再次展开完全平方并去括号合并：
$=x^2+2xy+y^2-2x-2y+1$
$=x^2+y^2+2xy-2x-2y+1$
【答案】
(1) $a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc$
(2) $x^2+y^2+2xy-2x-2y+1$
【知识点】
完全平方公式；添括号法则；整式化简
【点评】
本题是乘法公式的基础拓展题型，解题的核心是运用整体思想对三项式合理分组，将陌生的三项平方转化为熟悉的二项平方计算，运算过程中要注意去括号时的符号变化，避免符号错误。
【难度系数】
0.8

练习.(1)$(x+1)(x-1)(x^2 -1)$；(2)$(x-2)^2 - (x+3)(x-3)$.

(1)原式$=(x^2-1)(x^2-1)$
$=(x^2-1)^2$
$=x^4-2x^2+1$;
(2)原式$=x^2-4x+4-(x^2-9)$
$=-4x+13.$

【分析】
（1）观察式子特征，前两个因式$(x+1)(x-1)$符合平方差公式的结构，可先利用平方差公式计算得到$x^2-1$，此时原式转化为$(x^2-1)(x^2-1)$，即$(x^2-1)^2$，再利用完全平方公式展开即可得到结果。
（2）式子包含完全平方式和平方差形式，先分别用完全平方公式计算$(x-2)^2$、平方差公式计算$(x+3)(x-3)$，再去括号（括号前是负号时括号内各项要变号），最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 先利用平方差公式计算前两项的乘积：
原式$=(x^2-1)(x^2-1)$
$=(x^2-1)^2$
再利用完全平方公式展开：
$=x^4-2x^2+1$
(2) 分别展开两个乘法项：
原式$=x^2-4x+4-(x^2-9)$
去括号并注意符号变化：
$=x^2-4x+4-x^2+9$
合并同类项：
$=-4x+13$
【答案】
(1) $x^4-2x^2+1$；(2) $-4x+13$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式混合运算
【点评】
本题是乘法公式运用的基础题，解题关键是根据式子结构匹配对应的乘法公式，运算时注意去括号的符号规则，合并同类项要准确，是巩固整式运算能力的典型习题。
【难度系数】
0.8