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1.一个正方形的边长增加2 cm，它的面积增加20 cm²，求这个正方形的边长。
答案
解:设边长为$x$ cm，
$(x+2)^2-x^2=20$，
$4x+4=20$，
$\therefore x=4$。
答:这个正方形的边长为4 cm。
$(x+2)^2-x^2=20$，
$4x+4=20$，
$\therefore x=4$。
答:这个正方形的边长为4 cm。
解析
【分析】
解题时首先明确题目的等量关系：边长增加后的正方形面积减去原正方形的面积等于20 cm²。我们可以先设原正方形的边长为未知数，根据正方形面积公式分别表示出变化前后的面积，代入等量关系列出方程，再利用完全平方公式展开化简，就能求出原正方形的边长。
【解析】
解：设这个正方形原来的边长为$ x $ cm。
根据面积变化的等量关系可列方程：
$ (x+2)^2 - x^2 = 20 $
利用完全平方公式展开左边的式子：
$ x^2 + 4x + 4 - x^2 = 20 $
合并同类项化简得：
$ 4x + 4 = 20 $
移项计算得：
$ 4x = 16 $
解得：$ x = 4 $
答：这个正方形的边长为4 cm。
【答案】
4 cm
【知识点】
完全平方公式，正方形面积计算，一元一次方程应用
【点评】
本题是结合几何面积变化的基础计算题，核心是找准面积增减的等量关系列方程，熟练掌握完全平方公式的展开规则即可顺利求解，是巩固基础公式应用的典型题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目的等量关系：边长增加后的正方形面积减去原正方形的面积等于20 cm²。我们可以先设原正方形的边长为未知数，根据正方形面积公式分别表示出变化前后的面积，代入等量关系列出方程，再利用完全平方公式展开化简，就能求出原正方形的边长。
【解析】
解：设这个正方形原来的边长为$ x $ cm。
根据面积变化的等量关系可列方程：
$ (x+2)^2 - x^2 = 20 $
利用完全平方公式展开左边的式子：
$ x^2 + 4x + 4 - x^2 = 20 $
合并同类项化简得：
$ 4x + 4 = 20 $
移项计算得：
$ 4x = 16 $
解得：$ x = 4 $
答：这个正方形的边长为4 cm。
【答案】
4 cm
【知识点】
完全平方公式，正方形面积计算，一元一次方程应用
【点评】
本题是结合几何面积变化的基础计算题，核心是找准面积增减的等量关系列方程，熟练掌握完全平方公式的展开规则即可顺利求解，是巩固基础公式应用的典型题型。
【难度系数】
0.8
2.如图，一块直径为$m+n$的圆形钢板，从中挖去直径分别为$m$，$n$的两个圆.(1)求剩下钢板的面积；(2)若$m+n=4$，$m^2+n^2=10$，求其面积.
答案
(1)$S_{阴影}=π(\frac{m+n}{2})^2-π(\frac{m}{2})^2-π(\frac{n}{2})^2$
$=\frac{π}{4}[(m+n)^2-m^2-n^2]$
$=\frac{π mn}{2}$。
(2)$\because m+n=4$，
$\therefore (m+n)^2=16$，
$\therefore m^2+n^2+2mn=16$，
$mn=3,\therefore S_{阴影}=\frac{3}{2}π$。
$=\frac{π}{4}[(m+n)^2-m^2-n^2]$
$=\frac{π mn}{2}$。
(2)$\because m+n=4$，
$\therefore (m+n)^2=16$，
$\therefore m^2+n^2+2mn=16$，
$mn=3,\therefore S_{阴影}=\frac{3}{2}π$。
解析
【分析】
(1) 求剩下钢板的面积可按“阴影面积=大圆面积 - 两个挖去的小圆面积”的思路求解：先根据圆的面积公式分别表示出三个圆的面积，再列式，运用完全平方公式展开化简即可得到最简结果。
(2) 已知$m+n$和$m^2+n^2$的值，利用完全平方公式的变形求出$mn$的值，再代入第一问得到的面积表达式即可算出最终面积。
【解析】
(1) 根据圆的面积公式$S=π r^2$可得：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=π(\frac{m+n}{2})^2 - π(\frac{m}{2})^2 - π(\frac{n}{2})^2\\&=\frac{π}{4}[(m+n)^2 - m^2 - n^2]\\&=\frac{π}{4}(m^2+2mn+n^2 - m^2 - n^2)\\&=\frac{π mn}{2}\end{aligned}$
(2) 已知$m+n=4$，将等式两边同时平方得：
$(m+n)^2=4^2=16$
由完全平方公式展开得：$m^2+2mn+n^2=16$
将$m^2+n^2=10$代入上式：$10+2mn=16$
解得$mn=3$
把$mn=3$代入$S_{阴影}=\frac{π mn}{2}$，得：
$S_{阴影}=\frac{3}{2}π$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{2}π mn}$；(2) $\boldsymbol{\frac{3}{2}π}$
【知识点】
圆的面积计算，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，结合图形面积计算考查了完全平方公式的变形应用，解题核心是先明确阴影面积的计算逻辑，再通过代数公式化简、代入求值即可。
【难度系数】
0.7
(1) 求剩下钢板的面积可按“阴影面积=大圆面积 - 两个挖去的小圆面积”的思路求解：先根据圆的面积公式分别表示出三个圆的面积，再列式，运用完全平方公式展开化简即可得到最简结果。
(2) 已知$m+n$和$m^2+n^2$的值，利用完全平方公式的变形求出$mn$的值，再代入第一问得到的面积表达式即可算出最终面积。
【解析】
(1) 根据圆的面积公式$S=π r^2$可得：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=π(\frac{m+n}{2})^2 - π(\frac{m}{2})^2 - π(\frac{n}{2})^2\\&=\frac{π}{4}[(m+n)^2 - m^2 - n^2]\\&=\frac{π}{4}(m^2+2mn+n^2 - m^2 - n^2)\\&=\frac{π mn}{2}\end{aligned}$
(2) 已知$m+n=4$，将等式两边同时平方得：
$(m+n)^2=4^2=16$
由完全平方公式展开得：$m^2+2mn+n^2=16$
将$m^2+n^2=10$代入上式：$10+2mn=16$
解得$mn=3$
把$mn=3$代入$S_{阴影}=\frac{π mn}{2}$，得：
$S_{阴影}=\frac{3}{2}π$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{2}π mn}$；(2) $\boldsymbol{\frac{3}{2}π}$
【知识点】
圆的面积计算，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，结合图形面积计算考查了完全平方公式的变形应用，解题核心是先明确阴影面积的计算逻辑，再通过代数公式化简、代入求值即可。
【难度系数】
0.7
3.如图,两个正方形边长分别为$a$,$b$,如果$a+b=17$,$ab=60$,求图中阴影部分的面积.
答案
解:$S_{阴影}=a^2+b^2-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b(a+b)$
$=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{1}{2}ab$
$=\frac{1}{2}(a^2+b^2-ab)$
$=\frac{1}{2}[(a+b)^2-3ab]$
$=54.5$。
$=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{1}{2}ab$
$=\frac{1}{2}(a^2+b^2-ab)$
$=\frac{1}{2}[(a+b)^2-3ab]$
$=54.5$。
解析
【分析】
阴影部分为不规则图形，无法直接计算面积，因此采用“整体减空白”的思路求解：首先计算两个正方形的总面积作为整体；再分别求出图中两个空白直角三角形的面积；用总面积减去两个空白三角形的面积得到阴影面积的表达式；最后结合已知的$a+b$和$ab$的值，利用完全平方公式的变形对表达式化简，代入数值计算即可。
【解析】
两个正方形的总面积为：$S_{总}=a^2 + b^2$
空白部分包含两个直角三角形：
1. 大正方形内的直角三角形面积：$S_1=\frac{1}{2}a^2$
2. 底为$a+b$、高为$b$的直角三角形面积：$S_2=\frac{1}{2}b(a+b)$
阴影部分面积为：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=a^2+b^2-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b(a+b)\\&=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}(a^2+b^2-ab)\end{aligned}$
根据完全平方公式变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入得：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}[(a+b)^2-3ab]$
将$a+b=17$，$ab=60$代入：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=\frac{1}{2}×(17^2 - 3×60)\\&=\frac{1}{2}×(289-180)\\&=\frac{109}{2}=54.5\end{aligned}$
【答案】
54.5
【知识点】
割补法求面积，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题将几何面积计算和代数公式应用相结合，核心是掌握“整体减空白”的转化思想求解不规则图形面积，同时需要熟练运用完全平方公式的变形简化计算，避免单独求解$a$、$b$的值增加计算量。
【难度系数】
0.6
阴影部分为不规则图形，无法直接计算面积，因此采用“整体减空白”的思路求解：首先计算两个正方形的总面积作为整体；再分别求出图中两个空白直角三角形的面积；用总面积减去两个空白三角形的面积得到阴影面积的表达式；最后结合已知的$a+b$和$ab$的值，利用完全平方公式的变形对表达式化简，代入数值计算即可。
【解析】
两个正方形的总面积为：$S_{总}=a^2 + b^2$
空白部分包含两个直角三角形：
1. 大正方形内的直角三角形面积：$S_1=\frac{1}{2}a^2$
2. 底为$a+b$、高为$b$的直角三角形面积：$S_2=\frac{1}{2}b(a+b)$
阴影部分面积为：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=a^2+b^2-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b(a+b)\\&=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}(a^2+b^2-ab)\end{aligned}$
根据完全平方公式变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入得：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}[(a+b)^2-3ab]$
将$a+b=17$，$ab=60$代入：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=\frac{1}{2}×(17^2 - 3×60)\\&=\frac{1}{2}×(289-180)\\&=\frac{109}{2}=54.5\end{aligned}$
【答案】
54.5
【知识点】
割补法求面积，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题将几何面积计算和代数公式应用相结合，核心是掌握“整体减空白”的转化思想求解不规则图形面积，同时需要熟练运用完全平方公式的变形简化计算，避免单独求解$a$、$b$的值增加计算量。
【难度系数】
0.6
4.先化简,再求值:$(2x-1)^2+(x+2)(x-2)-4x(x-1)$,其中$x=3.$
答案
解:原式$=4x^2-4x+1+x^2-4-4x^2+4x$
$=x^2-3$
当$x=3$时,原式$=6$。
$=x^2-3$
当$x=3$时,原式$=6$。
解析
【分析】
解决此类整式化简求值题可分三步思考：第一步，识别式子中每个部分对应的运算法则或公式，本题中$(2x-1)^2$用完全平方差公式展开，$(x+2)(x-2)$用平方差公式展开，$4x(x-1)$用单项式乘多项式法则展开；第二步，去掉括号后合并同类项，将原式化简为最简形式，避免直接代入原式计算带来的复杂运算；第三步，将已知的$x$的值代入化简后的式子，计算出最终结果。
【解析】
解：先分别展开各项：
根据完全平方差公式得$(2x-1)^2=4x^2-4x+1$
根据平方差公式得$(x+2)(x-2)=x^2-4$
根据单项式乘多项式法则得$4x(x-1)=4x^2-4x$
代入原式合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4x^2-4x+1+x^2-4-4x^2+4x \\&=x^2-3\end{aligned}$
将$x=3$代入化简后的式子计算：
$\mathrm{原式}=3^2-3=9-3=6$
【答案】
$6$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，重点考查对乘法公式的掌握程度，解题时要注意去括号的符号变化，合并同类项时要对应准确，熟练掌握公式和运算规则就能快速求解。
【难度系数】
0.85
解决此类整式化简求值题可分三步思考：第一步，识别式子中每个部分对应的运算法则或公式，本题中$(2x-1)^2$用完全平方差公式展开，$(x+2)(x-2)$用平方差公式展开，$4x(x-1)$用单项式乘多项式法则展开；第二步，去掉括号后合并同类项，将原式化简为最简形式，避免直接代入原式计算带来的复杂运算；第三步，将已知的$x$的值代入化简后的式子，计算出最终结果。
【解析】
解：先分别展开各项：
根据完全平方差公式得$(2x-1)^2=4x^2-4x+1$
根据平方差公式得$(x+2)(x-2)=x^2-4$
根据单项式乘多项式法则得$4x(x-1)=4x^2-4x$
代入原式合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4x^2-4x+1+x^2-4-4x^2+4x \\&=x^2-3\end{aligned}$
将$x=3$代入化简后的式子计算：
$\mathrm{原式}=3^2-3=9-3=6$
【答案】
$6$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，重点考查对乘法公式的掌握程度，解题时要注意去括号的符号变化，合并同类项时要对应准确，熟练掌握公式和运算规则就能快速求解。
【难度系数】
0.85
5.(1)若$a^2 + b^2 =15$，$a - b =5$，求$ab$的值；
(2)已知$a^2 + b^2 =68$，$a + b =10$，求$(a - b)^2$的值。
(2)已知$a^2 + b^2 =68$，$a + b =10$，求$(a - b)^2$的值。
答案
(1)$\because (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=25$，
$\therefore 2ab=-10$，
$\therefore ab=-5$；
(2)$\because (a+b)^2=100$，
$\therefore 2ab=32$，
$\therefore (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=36$。
$\therefore 2ab=-10$，
$\therefore ab=-5$；
(2)$\because (a+b)^2=100$，
$\therefore 2ab=32$，
$\therefore (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=36$。
解析
【分析】
这两道题均考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的两种形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，公式中包含$a^2+b^2$、$ab$、$a±b$三类代数式，已知其中两类即可求出第三类。(1)问已知$a^2+b^2$和$a-b$的值，可先将$(a-b)^2$展开，代入已知数值后即可求解$ab$；(2)问已知$a^2+b^2$和$a+b$的值，可先将$(a+b)^2$展开求出$2ab$的值，再代入$(a-b)^2$的展开式即可得到结果。
【解析】
(1) 根据完全平方公式可得：$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$，
已知$a-b=5$，因此$(a-b)^2=5^2=25$，
又已知$a^2+b^2=15$，代入上式得：$15-2ab=25$，
移项计算得：$2ab=15-25=-10$，
因此$ab=-5$。
(2) 根据完全平方公式可得：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
已知$a+b=10$，因此$(a+b)^2=10^2=100$，
又已知$a^2+b^2=68$，代入上式得：$68+2ab=100$，
计算得：$2ab=100-68=32$，
再根据完全平方公式，$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$，代入$a^2+b^2=68$、$2ab=32$得：
$(a-b)^2=68-32=36$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{ab=-5}$；(2) $\boldsymbol{(a-b)^2=36}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 代数式求值
【点评】
本题属于整式乘法中的基础题型，核心是对完全平方公式的灵活变形运用，熟练掌握完全平方公式的两种展开形式，理清公式中各代数式之间的数量关系，就能快速解决这类求值问题。
【难度系数】
0.7
这两道题均考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的两种形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，公式中包含$a^2+b^2$、$ab$、$a±b$三类代数式，已知其中两类即可求出第三类。(1)问已知$a^2+b^2$和$a-b$的值，可先将$(a-b)^2$展开，代入已知数值后即可求解$ab$；(2)问已知$a^2+b^2$和$a+b$的值，可先将$(a+b)^2$展开求出$2ab$的值，再代入$(a-b)^2$的展开式即可得到结果。
【解析】
(1) 根据完全平方公式可得：$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$，
已知$a-b=5$，因此$(a-b)^2=5^2=25$，
又已知$a^2+b^2=15$，代入上式得：$15-2ab=25$，
移项计算得：$2ab=15-25=-10$，
因此$ab=-5$。
(2) 根据完全平方公式可得：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
已知$a+b=10$，因此$(a+b)^2=10^2=100$，
又已知$a^2+b^2=68$，代入上式得：$68+2ab=100$，
计算得：$2ab=100-68=32$，
再根据完全平方公式，$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$，代入$a^2+b^2=68$、$2ab=32$得：
$(a-b)^2=68-32=36$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{ab=-5}$；(2) $\boldsymbol{(a-b)^2=36}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 代数式求值
【点评】
本题属于整式乘法中的基础题型，核心是对完全平方公式的灵活变形运用，熟练掌握完全平方公式的两种展开形式，理清公式中各代数式之间的数量关系，就能快速解决这类求值问题。
【难度系数】
0.7
6.(2026·仙桃)综合训练:如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“幸运数”.如:$4=2^2-0^2$,$12=4^2-2^2$,$20=6^2-4^2$,因此4,12,20都是“幸运数”.
(1)请判断:28
(2)下面是两个同学演算后的发现,请判断真假,并说明理由.
①奇奇发现:两个连续偶数$2k+2$和$2k$(其中$k$取非负整数)构造的“幸运数”也是4的倍数；
②妙妙发现:2028是“幸运数”.
(1)请判断:28
是
“幸运数”;(选填“是”或“不是”)(2)下面是两个同学演算后的发现,请判断真假,并说明理由.
①奇奇发现:两个连续偶数$2k+2$和$2k$(其中$k$取非负整数)构造的“幸运数”也是4的倍数；
②妙妙发现:2028是“幸运数”.
答案
(1)28$=8^2-6^2$,故是“幸运数”；
(2)奇奇和妙妙说的都是真的,理由:
①$(2k+2)^2-(2k)^2=4(2k+1)$，
故$2k+2,2k$构造的“幸运数”是4的倍数；
②$2028=4×507$，
$507=2×253+1$，
$\therefore 508^2-506^2=2028$。
(2)奇奇和妙妙说的都是真的,理由:
①$(2k+2)^2-(2k)^2=4(2k+1)$，
故$2k+2,2k$构造的“幸运数”是4的倍数；
②$2028=4×507$，
$507=2×253+1$，
$\therefore 508^2-506^2=2028$。
解析
【分析】
（1）判断28是否为“幸运数”，可依据“幸运数”的定义，尝试将28表示为两个连续偶数的平方差，或设两个连续偶数为$2n$、$2n+2$（$n$为非负整数），列方程求解，若能得到非负整数$n$，则28是幸运数。
（2）①判断奇奇的结论，可利用平方差公式对$(2k+2)^2-(2k)^2$展开化简，根据化简结果判断是否为4的倍数即可；②判断2028是否为幸运数，可结合①得出的幸运数的通用特征，先验证2028是否符合该特征，再对应求出对应的两个连续偶数即可。
【解析】
(1) 设两个连续偶数为$2n$、$2n+2$（$n$为非负整数），令$(2n+2)^2-(2n)^2=28$，
展开化简得：$8n+4=28$，解得$n=3$，
此时两个连续偶数为6和8，$8^2-6^2=64-36=28$，因此28是幸运数。
(2) ①奇奇的发现为真，理由如下：
利用平方差公式展开计算：
$(2k+2)^2-(2k)^2=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=(4k+2)×2=4(2k+1)$，
因为$k$为非负整数，所以$2k+1$是正整数，因此两个连续偶数$2k+2$和$2k$构造的“幸运数”是4的倍数。
②妙妙的发现为真，理由如下：
由①可知“幸运数”可表示为$4(2k+1)$（$k$为非负整数），
计算得$2028÷4=507$，且$507=2×253+1$，符合$2k+1$的形式，此时$k=253$，
对应的两个连续偶数为$2k=506$，$2k+2=508$，验证得$508^2-506^2=(508+506)×(508-506)=1014×2=2028$，因此2028是“幸运数”。
【答案】
(1) 是
(2) ①奇奇的发现为真，理由见解析；②妙妙的发现为真，理由见解析
【知识点】
平方差公式，新定义问题，整式运算
【点评】
本题以新定义“幸运数”为载体，考查平方差公式的应用，解题核心是准确理解新定义，熟练运用平方差公式化简代数式，再结合整数的性质分析判断，侧重考查基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）判断28是否为“幸运数”，可依据“幸运数”的定义，尝试将28表示为两个连续偶数的平方差，或设两个连续偶数为$2n$、$2n+2$（$n$为非负整数），列方程求解，若能得到非负整数$n$，则28是幸运数。
（2）①判断奇奇的结论，可利用平方差公式对$(2k+2)^2-(2k)^2$展开化简，根据化简结果判断是否为4的倍数即可；②判断2028是否为幸运数，可结合①得出的幸运数的通用特征，先验证2028是否符合该特征，再对应求出对应的两个连续偶数即可。
【解析】
(1) 设两个连续偶数为$2n$、$2n+2$（$n$为非负整数），令$(2n+2)^2-(2n)^2=28$，
展开化简得：$8n+4=28$，解得$n=3$，
此时两个连续偶数为6和8，$8^2-6^2=64-36=28$，因此28是幸运数。
(2) ①奇奇的发现为真，理由如下：
利用平方差公式展开计算：
$(2k+2)^2-(2k)^2=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=(4k+2)×2=4(2k+1)$，
因为$k$为非负整数，所以$2k+1$是正整数，因此两个连续偶数$2k+2$和$2k$构造的“幸运数”是4的倍数。
②妙妙的发现为真，理由如下：
由①可知“幸运数”可表示为$4(2k+1)$（$k$为非负整数），
计算得$2028÷4=507$，且$507=2×253+1$，符合$2k+1$的形式，此时$k=253$，
对应的两个连续偶数为$2k=506$，$2k+2=508$，验证得$508^2-506^2=(508+506)×(508-506)=1014×2=2028$，因此2028是“幸运数”。
【答案】
(1) 是
(2) ①奇奇的发现为真，理由见解析；②妙妙的发现为真，理由见解析
【知识点】
平方差公式，新定义问题，整式运算
【点评】
本题以新定义“幸运数”为载体，考查平方差公式的应用，解题核心是准确理解新定义，熟练运用平方差公式化简代数式，再结合整数的性质分析判断，侧重考查基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
