【例1】下列各式不能用完全平方公式计算的是（）

A.$(x+y)(x-y)$
B.$(x+y)^2$
C.$(x-y)^2$
D.$(-x+y)(-x+y)$

A

【分析】
解题前首先要牢记完全平方公式的结构特征：完全平方公式适用于两个完全相同的二项式相乘，形式为$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$。我们只需要逐一判断每个选项的式子是否能转化为上述形式，不能转化的即为正确答案。
【解析】
首先明确两类整式乘法公式的结构：
完全平方公式：两个相同的二项式相乘，可写为$(a+b)^2$或$(a-b)^2$；
平方差公式：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数，可写为$(a+b)(a-b)$。
逐一分析选项：
A选项：$(x+y)(x-y)$中x项相同，y项互为相反数，符合平方差公式的结构，无法用完全平方公式计算；
B选项：$(x+y)^2$是完全平方和的标准形式，可直接用完全平方公式计算；
C选项：$(x-y)^2$是完全平方差的标准形式，可直接用完全平方公式计算；
D选项：$(-x+y)(-x+y)=(-x+y)^2$，属于两个相同二项式相乘，符合完全平方公式的结构，可用完全平方公式计算。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是整式乘法公式的基础辨析题，核心是区分完全平方公式和平方差公式的结构特征，避免两类公式混淆。
【难度系数】
0.9

练习.计算:
(1)$(a-b)^2=$;
(2)$(-x-y)^2=$;
(3)$(2x+1)^2=$;
(4)$(a+3)^2=$.

(1)$a^2-2ab+b^2$
(2)$x^2+y^2+2xy$
(3)$4x^2+4x+1$
(4)$a^2+6a+9$

【分析】
本题考查完全平方公式的基础应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的两种形式：两数和的平方$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，两数差的平方$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。解题时先明确每个式子中对应公式里的“a”和“b”，若式子带有负号，可先利用“平方的结果非负”化简符号，再代入公式计算，计算时注意系数、字母的乘方运算不要出错，不要漏写两项乘积的2倍。
【解析】
(1) 直接套用两数差的完全平方公式，其中公式里的$a$对应本题的$a$，$b$对应本题的$b$：
$(a-b)^2=a^2-2· a· b + b^2=a^2-2ab+b^2$
(2) 先化简符号：$(-x-y)^2=[-(x+y)]^2=(x+y)^2$，再套用两数和的完全平方公式，其中$a$对应$x$，$b$对应$y$：
$(x+y)^2=x^2+2· x· y + y^2=x^2+2xy+y^2$
(3) 套用两数和的完全平方公式，其中$a$对应$2x$，$b$对应$1$：
$(2x+1)^2=(2x)^2+2· 2x· 1 +1^2=4x^2+4x+1$
(4) 套用两数和的完全平方公式，其中$a$对应$a$，$b$对应$3$：
$(a+3)^2=a^2+2· a·3 +3^2=a^2+6a+9$
【答案】
(1)$a^2-2ab+b^2$
(2)$x^2+y^2+2xy$
(3)$4x^2+4x+1$
(4)$a^2+6a+9$
【知识点】
完全平方公式，积的乘方运算，整式化简
【点评】
本题是完全平方公式的常规基础练习题，解题的关键是准确匹配公式中的两个项，尤其要注意带负号的式子先化简符号，计算时避免出现漏乘2倍项、系数忘记平方的常见错误。
【难度系数】
0.8

【例2】(教材P115例3改编)计算：
(1)$(2a+b)^2$；
(2)$(m-1)^2$；
(3)$(2x+1)^2$。

(1)原式$=4a^2+4ab+b^2$；
(2)原式$=m^2-2m+1$；
(3)原式$=4x^2+4x+1$。

【分析】
本题考查完全平方公式的基础应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的两种形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；接下来对每道小题先判断属于和的平方还是差的平方，再准确找到公式中对应$a$、$b$的代数式（注意带系数的单项式作为$a$时，平方要把系数也乘方）；最后代入公式计算化简即可得到结果。
【解析】
(1) 利用两数和的完全平方公式计算，其中公式里的$a=2a$，$b=b$：
$\begin{aligned}(2a+b)^2&=(2a)^2 + 2× 2a× b + b^2\\&=4a^2 + 4ab + b^2\end{aligned}$
(2) 利用两数差的完全平方公式计算，其中公式里的$a=m$，$b=1$：
$\begin{aligned}(m-1)^2&=m^2 - 2× m× 1 + 1^2\\&=m^2 - 2m + 1\end{aligned}$
(3) 利用两数和的完全平方公式计算，其中公式里的$a=2x$，$b=1$：
$\begin{aligned}(2x+1)^2&=(2x)^2 + 2× 2x× 1 + 1^2\\&=4x^2 + 4x + 1\end{aligned}$
【答案】
(1)$4a^2+4ab+b^2$；(2)$m^2-2m+1$；(3)$4x^2+4x+1$
【知识点】
完全平方公式、整式乘法运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题，解题核心是准确匹配公式类型、找准公式对应的$a$、$b$项，计算时注意不要漏掉单项式系数的平方，熟练掌握公式后可快速求解。
【难度系数】
0.9

练习.计算:
(1)$(3x-2)^2$;
(2)$(-xy+2)^2$;
(3)$(x-1)^2-(x+1)^2$;
(4)$(2x-3y)^2-(4y-3x)(4y+3x)$;
(5)$(3a-4b)^2-(3a+4b)^2$;
(6)$(x+2y)^2+(x-2y)^2$.

(1)原式$=9x^2-12x+4$；
(2)原式$=x^2y^2-4xy+4$；
(3)原式$=x^2-2x+1-(x^2+2x+1)=-4x$；
(4)原式$=4x^2-12xy+9y^2-(16y^2-9x^2)$
$=13x^2-12xy-7y^2$；
(5)原式$=9a^2-24ab+16b^2-(9a^2+24ab+16b^2)$
$=-48ab$；
(6)原式$=x^2+4xy+4y^2+x^2-4xy+4y^2$
$=2x^2+8y^2$。

【分析】
这几道题均考查整式乘法公式的应用，解题思路如下：①先识别每个式子适用的公式：形如$(a±b)^2$的式子使用完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$展开，形如$(a+b)(a-b)$的式子使用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$展开；②展开后若有括号，注意括号前是负号时，去括号要将括号内每一项都变号；③最后合并同类项得到最简结果即可。
【解析】
(1) 直接使用完全平方公式展开：
原式$=(3x)^2-2×3x×2+2^2=9x^2-12x+4$
(2) 将$-xy$看作整体，使用完全平方公式展开：
原式$=(-xy)^2+2×(-xy)×2+2^2=x^2y^2-4xy+4$
(3) 分别展开两个完全平方项，再去括号合并同类项：
原式$=x^2-2x+1-(x^2+2x+1)$
$=x^2-2x+1-x^2-2x-1$
$=-4x$
(4) 先分别用完全平方公式、平方差公式展开对应项，再去括号合并同类项：
原式$=4x^2-12xy+9y^2-[(4y)^2-(3x)^2]$
$=4x^2-12xy+9y^2-(16y^2-9x^2)$
$=4x^2-12xy+9y^2-16y^2+9x^2$
$=13x^2-12xy-7y^2$
(5) 分别展开两个完全平方项，再去括号合并同类项：
原式$=9a^2-24ab+16b^2-(9a^2+24ab+16b^2)$
$=9a^2-24ab+16b^2-9a^2-24ab-16b^2$
$=-48ab$
(6) 分别展开两个完全平方项，再合并同类项：
原式$=x^2+4xy+4y^2+x^2-4xy+4y^2$
$=2x^2+8y^2$
【答案】
(1)$9x^2-12x+4$；
(2)$x^2y^2-4xy+4$；
(3)$-4x$；
(4)$13x^2-12xy-7y^2$；
(5)$-48ab$；
(6)$2x^2+8y^2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式的加减
【点评】
本组题目是乘法公式的基础巩固题，核心是准确识别公式特征选择对应公式展开，解题的易错点是去括号时的符号处理，熟练掌握公式、注意检查符号可以有效提升解题正确率。
【难度系数】
0.8

【例3】计算：
(1)$201^2$；
(2)$102^2 - 98^2$。

(1)原式$=(200+1)^2$
$=200^2+400+1=40401$
(2)原式$=(100+2)^2-(100-2)^2=800$

【分析】
(1)计算$201^2$时，201接近整百数200，可将201拆为$200+1$，利用完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开计算，比直接硬算更简便且不易出错。
(2)计算$102^2 - 98^2$时，102可拆为$100+2$，98可拆为$100-2$，分别利用完全平方公式展开后，正负相同的项会相互抵消，可快速得到结果；也可直接利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$计算，两种方法都能简化运算。
【解析】
(1) 将201转化为$200+1$，根据完全平方和公式展开计算：
$\begin{aligned}201^2&=(200+1)^2\\&=200^2 + 2×200×1 + 1^2\\&=40000 + 400 + 1\\&=40401\end{aligned}$
(2) 按参考答案思路，将102转化为$100+2$，98转化为$100-2$，分别展开后计算：
$\begin{aligned}102^2 - 98^2&=(100+2)^2 - (100-2)^2\\&=(100^2 + 400 + 4) - (100^2 - 400 + 4)\\&=10000 + 400 + 4 - 10000 + 400 - 4\\&=800\end{aligned}$
也可直接用平方差公式验证：$102^2 - 98^2=(102+98)×(102-98)=200×4=800$，结果一致。
【答案】
(1)$40401$；(2)$800$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，简便运算
【点评】
本题是乘法公式在简便计算中的典型应用，解题核心是根据数字特征合理拆分数字，灵活选择对应的乘法公式，可大幅降低运算量，同时减少计算错误。
【难度系数】
0.85

练习.计算:
(1)$99^2$;
(2)$101^2 - 99^2$.

(1)原式$=(100-1)^2=9801$
(2)原式$=(100+1)^2-(100-1)^2=400$

【分析】
(1) 计算$99^2$时，观察到99接近整百数100，可将99改写为$100-1$，利用完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开计算，比直接计算$99×99$更简便。
(2) 计算$101^2-99^2$时，可将101改写为$100+1$，99改写为$100-1$，分别利用完全平方和、完全平方差公式展开后相减，展开后同类项可相互抵消，大幅简化计算；也可直接利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$计算，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
(1) $99^2$
$=(100-1)^2$
$=100^2 - 2×100×1 + 1^2$
$=10000 - 200 + 1$
$=9801$
(2) 方法一：用完全平方公式计算
$101^2 - 99^2$
$=(100+1)^2 - (100-1)^2$
$=(100^2 + 2×100×1 + 1^2) - (100^2 - 2×100×1 + 1^2)$
$=10000 + 200 + 1 - 10000 + 200 - 1$
$=400$
方法二：用平方差公式计算
$101^2 - 99^2$
$=(101+99)×(101-99)$
$=200×2$
$=400$
【答案】
(1) $\boxed{9801}$；(2) $\boxed{400}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式简便运算
【点评】
本题是乘法公式的基础应用类题目，核心解题技巧是将接近整百的数拆分为整百数与小数字的和或差，再借助乘法公式简化运算，能有效减少计算量，降低出错概率，是整数简便运算的常用技巧。
【难度系数】
0.8