【典例1】如图，AB＝AD＝CD，点D在BC上，∠BAD＝20°，求∠C的度数.

解:设∠C=α，
∵AD=CD,
∴∠DAC=α，
∴∠ADB=α+α=2α，
又
∵AD=AB，
∴∠ABD=2α，
在△ABD 中,2α+2α+20°=180°，
∴α=40°,
∴∠C=40°.

【分析】
解题时首先观察已知的等边条件，可知图中有△ADC和△ABD两个等腰三角形，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到相等的角；再结合三角形外角的性质，将不同三角形的角关联起来；最后利用三角形内角和为180°，通过设未知数列方程即可求出∠C的度数。
【解析】
解：设∠C=α，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠C=α，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=2α，
又
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB=2α，
在△ABD中，根据三角形内角和为180°可得：
∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，
代入得2α+2α+20°=180°，
解得α=40°，
即∠C=40°。
【答案】
40°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的基础题型，核心是通过方程思想将几何角的计算转化为解方程问题，解题的关键是找准等腰三角形的底角关系，以及外角与内角的等量关系，熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7

【典例2】(教材P79例1变式)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$在$BC$上,$AD=BD$,$AC=CD$,求$∠ C$的度数.

解:设∠B=α，
∵AB=AC,
∴∠C=α，
又
∵AD=BD，
∴∠ADC=2α,
∴∠CAD=2α，
在△BAC 中,α+α+3α=180°，
∴α=36°,
∴∠C=36°.

【分析】
本题存在多个等腰三角形，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质，通过设未知角为参数，将所有相关角用参数表示，再结合三角形内角和定理列方程求解。具体思考逻辑：先设最小的底角∠B为α，利用等腰三角形性质推出∠C=α，再结合AD=BD推出∠ADC和α的关系，接着由AC=CD推出∠CAD和α的关系，最后在△ABC中利用内角和为180°列方程求出α，即可得到∠C的度数。
【解析】
解：设∠B=α，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=α（等边对等角），
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B=α（等边对等角），
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2α（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
又
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=2α（等边对等角），
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，其中∠BAC=∠BAD+∠CAD=α+2α=3α，
代入得：α+α+3α=180°，
解得α=36°，
∴∠C=α=36°。
【答案】
36°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，核心是通过“等边对等角”实现边的关系到角的关系的转化，结合方程思想求解角度，需要熟练掌握等腰三角形性质和三角形内角相关定理，灵活运用设参法处理多等腰三角形的角度问题。
【难度系数】
0.6

变式1.如图，点K，B分别在GH，GA上，AK交BH于C，且AB=AC，BG=BH，KA=KG，求∠BAC的度数.

解:设∠A=α，
∵KG=KA,
∴∠G=α，
又
∵HB=BG,
∴∠ABC=2α，
又
∵AB=AC,
∴∠BCA=2α，
在△ABC 中,α+2α+2α=180°，
∴α=36°,
∴∠BAC=36°.

【分析】
本题存在多个等腰三角形，求角度可采用方程思想求解。首先设待求的∠BAC=α，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形外角的性质，依次将△ABC的另外两个内角用含α的式子表示，最后利用三角形内角和为180°列方程，解出α即可得到∠BAC的度数。
【解析】
设∠BAC=α，
∵ KA=KG，
∴ ∠G=∠BAC=α，
∵ BG=BH，
∴ ∠H=∠G=α，
∴ ∠ABC是△GBH的外角，∠ABC=∠G+∠H=2α，
又
∵ AB=AC，
∴ ∠ACB=∠ABC=2α，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即α+2α+2α=180°，
解得α=36°。
【答案】
36°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的常规题型，解题核心是运用方程思想，通过设未知数表示相关角度，结合三角形内角和、外角性质建立等量关系求解，解题时需注意理清各角之间的推导关系，避免角度关系混淆。
【难度系数】
0.65

变式2.如图，在△ABC中，∠ABC=63°，点D，E分别在边BC，AC上，且AB=AD=DE=EC，求∠C的度数.

解:设∠C=x,则∠AED=∠DAE=2x，
∠ADE=180°-4x，
∴180°-4x+x+63°=180°，
x=21°,故∠C=21°.

【分析】
本题给出多组边相等的条件，可联想到等腰三角形“等边对等角”的性质，由于涉及多个等腰三角形的角度关联，适合用方程思想求解：先设最小的角∠C为未知数，依次用含未知数的式子表示其余相关角，最后根据平角为180°的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设∠C = x，
∵ DE = EC，
∴ ∠EDC = ∠C = x（等边对等角），
根据三角形外角的性质可得：∠AED = ∠C + ∠EDC = 2x，
∵ AD = DE，
∴ ∠DAE = ∠AED = 2x（等边对等角），
在△ADE中，由三角形内角和为180°得：
∠ADE = 180° - ∠DAE - ∠AED = 180° - 4x，
∵ AB = AD，
∴ ∠ADB = ∠ABC = 63°（等边对等角），
∵ 点D在BC上，∠ADB + ∠ADE + ∠EDC = 180°（平角的定义），
代入得：$63° + (180° - 4x) + x = 180°$，
解得：$x=21°$。
【答案】
$\boldsymbol{∠C=21°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角性质；方程思想求角度
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题核心是将边相等的条件转化为角的等量关系，结合三角形内角和、外角、平角等隐含的角度关系，通过设未知数列方程求解，能有效考查对等腰三角形性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6

【典例3】如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$，$E$分别在$AC$，$AB$上，且$BD=BC$，$BE=DE=AD$。求$∠ C$的度数。

解:
∵BE=DE=AD，
设∠EBD=∠EDB=x，
则∠A=∠AED=2x,
∴∠BDC=3x，
∵AB=AC,BD=BC，
∴∠BDC=3x=∠C=∠ABC，
∴在△ABC 中,2x+3x+3x=180°，
解得x=22.5°，
∴∠C=67.5°.

【分析】
本题可结合方程思想与等腰三角形、三角形角的相关定理求解：首先观察到图中有多个等腰三角形，根据“等边对等角”，可设最小的角为未知数，再利用三角形外角的性质，将其余相关的角都用该未知数表示，最后根据三角形内角和为180°列方程求解即可。
【解析】
解：
∵BE=DE，根据等边对等角，
∴设∠EBD=∠EDB=x，
∵∠AED是△BED的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，
∴∠AED=∠EBD+∠EDB=2x，
又
∵DE=AD，根据等边对等角，
∴∠A=∠AED=2x，
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC=∠A+∠EBD=2x+x=3x，
∵BD=BC，AB=AC，根据等边对等角，
∴∠BDC=∠C，∠ABC=∠C，即∠C=∠ABC=3x，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠A+∠ABC+∠C=180°，即2x+3x+3x=180°，
解得x=22.5°，
∴∠C=3x=3×22.5°=67.5°。
【答案】
∠C的度数为67.5°
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质与方程思想结合的典型题型，解题的核心是合理设未知数，通过角的等量关系将三角形内角统一用同一未知数表示，再借助内角和建立方程求解，能有效考查学生对角度关系的梳理能力。
【难度系数】
0.6