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【典例1】已知$PC=AC=BC$.如图，$∠ ACB=60°$,点$P$在$∠ ACB$内，求$∠ APB$的度数.
答案
解:设$∠ CAP=∠ CPA=α$,
$∠ CPB=∠ CBP=β$,
$2α+2β+60°=360°$,
$\thereforeα+β=150°$,
$\therefore∠ APB=150°$.
$∠ CPB=∠ CBP=β$,
$2α+2β+60°=360°$,
$\thereforeα+β=150°$,
$\therefore∠ APB=150°$.
解析
【分析】
已知条件给出AC=BC=PC，可得到△ACP和△BCP均为等腰三角形，首先根据等腰三角形等边对等角的性质，可设两个等腰三角形的底角分别为α、β；再结合三角形内角和定理，分别列出两个等腰三角形的内角和表达式，将两式相加后，发现∠ACP与∠BCP的和正好是已知的∠ACB=60°，通过整体代换即可求出α+β的值，而∠APB恰好为α与β的和，即可得出所求角度。
【解析】
解：
∵ PC=AC，
∴ △ACP是等腰三角形，根据等边对等角得∠CAP=∠CPA，设∠CAP=∠CPA=α；
∵ PC=BC，
∴ △BCP是等腰三角形，根据等边对等角得∠CBP=∠CPB，设∠CBP=∠CPB=β；
在△ACP中，由三角形内角和为180°得：∠ACP + 2α = 180° ①；
在△BCP中，由三角形内角和为180°得：∠BCP + 2β = 180° ②；
将①+②可得：∠ACP + ∠BCP + 2α + 2β = 360°；
又
∵ ∠ACP + ∠BCP = ∠ACB = 60°，代入上式得：
60° + 2(α+β) = 360°，解得α+β=150°；
∵ ∠APB = ∠CPA + ∠CPB = α+β，
∴ ∠APB=150°。
【答案】
150°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；整体代换思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题的核心是利用等腰三角形等边对等角的性质设参数，再通过整体代换的方法求出角度和，无需单独计算每个参数的具体值，有效简化了运算过程，熟练掌握该技巧能大幅提升同类角度计算问题的解题效率。
【难度系数】
0.6
已知条件给出AC=BC=PC，可得到△ACP和△BCP均为等腰三角形，首先根据等腰三角形等边对等角的性质，可设两个等腰三角形的底角分别为α、β；再结合三角形内角和定理，分别列出两个等腰三角形的内角和表达式，将两式相加后，发现∠ACP与∠BCP的和正好是已知的∠ACB=60°，通过整体代换即可求出α+β的值，而∠APB恰好为α与β的和，即可得出所求角度。
【解析】
解：
∵ PC=AC，
∴ △ACP是等腰三角形，根据等边对等角得∠CAP=∠CPA，设∠CAP=∠CPA=α；
∵ PC=BC，
∴ △BCP是等腰三角形，根据等边对等角得∠CBP=∠CPB，设∠CBP=∠CPB=β；
在△ACP中，由三角形内角和为180°得：∠ACP + 2α = 180° ①；
在△BCP中，由三角形内角和为180°得：∠BCP + 2β = 180° ②；
将①+②可得：∠ACP + ∠BCP + 2α + 2β = 360°；
又
∵ ∠ACP + ∠BCP = ∠ACB = 60°，代入上式得：
60° + 2(α+β) = 360°，解得α+β=150°；
∵ ∠APB = ∠CPA + ∠CPB = α+β，
∴ ∠APB=150°。
【答案】
150°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；整体代换思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题的核心是利用等腰三角形等边对等角的性质设参数，再通过整体代换的方法求出角度和，无需单独计算每个参数的具体值，有效简化了运算过程，熟练掌握该技巧能大幅提升同类角度计算问题的解题效率。
【难度系数】
0.6
变式.已知 $PC=AC=BC$.如图，$∠ ACB=60°$,点 $P$ 在 $AC$ 下方时，求 $∠ APB$ 的度数.
答案
解:设$∠ ACP=α$,
$\because AC=CP$,
$\therefore∠ CPA=\dfrac{180°-α}{2}$,
又$\because CB=CP$,
$\therefore∠ CPB=\dfrac{180°-(60°+α)}{2}$,
$\therefore∠ APB=30°$.
$\because AC=CP$,
$\therefore∠ CPA=\dfrac{180°-α}{2}$,
又$\because CB=CP$,
$\therefore∠ CPB=\dfrac{180°-(60°+α)}{2}$,
$\therefore∠ APB=30°$.
解析
【分析】
解题时首先观察到题目给出AC=BC=PC，存在两个等腰三角形△ACP和△BCP，要求∠APB的度数，我们可以通过设未知角为参数，利用等腰三角形两底角相等的性质分别表示出∠CPA和∠CPB，再通过角度的差消去参数，即可求出∠APB的度数。第一步先设∠ACP=α，第二步分别表示两个等腰三角形的底角，第三步作差计算即可得到结果。
【解析】
设$∠ ACP=α$，
$\because AC=CP$，$△ ACP$为等腰三角形，顶角为$∠ ACP=α$，
根据三角形内角和为$180°$，等腰三角形两底角相等，
$\therefore∠ CPA=\dfrac{180°-α}{2}$，
又$\because CB=CP$，$△ BCP$为等腰三角形，顶角$∠ BCP=∠ ACB+∠ ACP=60°+α$，
同理可得$∠ CPB=\dfrac{180°-(60°+α)}{2}$，
$\therefore ∠ APB=∠ CPA-∠ CPB=\dfrac{180°-α}{2}-\dfrac{180°-60°-α}{2}=\dfrac{60°}{2}=30°$。
【答案】
$∠ APB=30°$
【知识点】
1. 等腰三角形的性质 2. 三角形内角和定理 3. 角度和差计算
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，通过引入参数表示未知角度，利用等腰三角形性质列式后消去参数得到结果，渗透了整体代换的数学思想，能很好地考查学生对等腰三角形性质的掌握程度和角度计算的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到题目给出AC=BC=PC，存在两个等腰三角形△ACP和△BCP，要求∠APB的度数，我们可以通过设未知角为参数，利用等腰三角形两底角相等的性质分别表示出∠CPA和∠CPB，再通过角度的差消去参数，即可求出∠APB的度数。第一步先设∠ACP=α，第二步分别表示两个等腰三角形的底角，第三步作差计算即可得到结果。
【解析】
设$∠ ACP=α$，
$\because AC=CP$，$△ ACP$为等腰三角形，顶角为$∠ ACP=α$，
根据三角形内角和为$180°$，等腰三角形两底角相等，
$\therefore∠ CPA=\dfrac{180°-α}{2}$，
又$\because CB=CP$，$△ BCP$为等腰三角形，顶角$∠ BCP=∠ ACB+∠ ACP=60°+α$，
同理可得$∠ CPB=\dfrac{180°-(60°+α)}{2}$，
$\therefore ∠ APB=∠ CPA-∠ CPB=\dfrac{180°-α}{2}-\dfrac{180°-60°-α}{2}=\dfrac{60°}{2}=30°$。
【答案】
$∠ APB=30°$
【知识点】
1. 等腰三角形的性质 2. 三角形内角和定理 3. 角度和差计算
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，通过引入参数表示未知角度，利用等腰三角形性质列式后消去参数得到结果，渗透了整体代换的数学思想，能很好地考查学生对等腰三角形性质的掌握程度和角度计算的能力。
【难度系数】
0.7
【典例2】已知$PC=AC=BC$.如图，$∠ ACB=90°$，点$P$在$∠ ACB$内，求$∠ APB$的度数.
答案
解:设$∠ A=α,∠ B=β$,
$\therefore 2β+2α+90°=360°$,
$\thereforeα+β=135°$,
$\therefore∠ APB=135°$.
$\therefore 2β+2α+90°=360°$,
$\thereforeα+β=135°$,
$\therefore∠ APB=135°$.
解析
【分析】
首先根据已知条件中的三组等边关系（AC=BC=PC），结合等腰三角形“等边对等角”的性质，可得到两组相等的底角。接着利用∠ACB=90°的条件，通过设参数表示底角，结合三角形内角和定理建立参数之间的关系，最后利用四边形内角和定理，通过整体代换即可求出∠APB的度数，不需要单独求解每个参数的具体值。
【解析】
设∠CAP=α，∠CBP=β。
∵ PC=AC，
∴ △ACP为等腰三角形，根据等边对等角得∠CPA=∠CAP=α。
∵ PC=BC，
∴ △BCP为等腰三角形，根据等边对等角得∠CPB=∠CBP=β。
根据三角形内角和为180°，在△ACP中：∠ACP=180°-∠CAP-∠CPA=180°-2α；
在△BCP中：∠BCP=180°-∠CBP-∠CPB=180°-2β。
又
∵ ∠ACP + ∠BCP = ∠ACB = 90°，代入得：
(180°-2α)+(180°-2β)=90°
整理得360°-2(α+β)=90°，解得α+β=135°。
∵ 四边形ACBP的内角和为360°，即∠ACB + ∠CBP + ∠APB + ∠CAP = 360°，
代入∠ACB=90°，α+β=135°得：
90°+135°+∠APB=360°
解得∠APB=135°。
【答案】
135°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，四边形内角和
【点评】
本题核心是利用等腰三角形等边对等角的性质，结合整体代换思想求角度，避免单独求解单个角的数值，能有效简化计算过程，是等腰三角形角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
首先根据已知条件中的三组等边关系（AC=BC=PC），结合等腰三角形“等边对等角”的性质，可得到两组相等的底角。接着利用∠ACB=90°的条件，通过设参数表示底角，结合三角形内角和定理建立参数之间的关系，最后利用四边形内角和定理，通过整体代换即可求出∠APB的度数，不需要单独求解每个参数的具体值。
【解析】
设∠CAP=α，∠CBP=β。
∵ PC=AC，
∴ △ACP为等腰三角形，根据等边对等角得∠CPA=∠CAP=α。
∵ PC=BC，
∴ △BCP为等腰三角形，根据等边对等角得∠CPB=∠CBP=β。
根据三角形内角和为180°，在△ACP中：∠ACP=180°-∠CAP-∠CPA=180°-2α；
在△BCP中：∠BCP=180°-∠CBP-∠CPB=180°-2β。
又
∵ ∠ACP + ∠BCP = ∠ACB = 90°，代入得：
(180°-2α)+(180°-2β)=90°
整理得360°-2(α+β)=90°，解得α+β=135°。
∵ 四边形ACBP的内角和为360°，即∠ACB + ∠CBP + ∠APB + ∠CAP = 360°，
代入∠ACB=90°，α+β=135°得：
90°+135°+∠APB=360°
解得∠APB=135°。
【答案】
135°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，四边形内角和
【点评】
本题核心是利用等腰三角形等边对等角的性质，结合整体代换思想求角度，避免单独求解单个角的数值，能有效简化计算过程，是等腰三角形角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
变式.已知 $PC=AC=BC$.如图，$∠ ACB=90°$,点 $P$ 在 $AC$ 下方，求 $∠ APB$ 的度数.
答案
解:设$∠ ACP=α$,
$\because CB=CP$,
$\therefore∠ BPC=\dfrac{180°-(90°+α)}{2}=45°-\dfrac{α}{2}$,
又$\because CA=CP$,
$\therefore∠ CPA=\dfrac{180°-α}{2}$,
$\therefore∠ APB=45°$.
$\because CB=CP$,
$\therefore∠ BPC=\dfrac{180°-(90°+α)}{2}=45°-\dfrac{α}{2}$,
又$\because CA=CP$,
$\therefore∠ CPA=\dfrac{180°-α}{2}$,
$\therefore∠ APB=45°$.
解析
【分析】
已知条件给出$AC=BC=PC$，且$∠ ACB=90°$，可知$△ BCP$和$△ ACP$均为等腰三角形，要求$∠ APB$，可观察到$∠ APB=∠ CPA-∠ BPC$。我们可以先设$∠ ACP$为参数$α$，再利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，分别用$α$表示出$∠ CPA$和$∠ BPC$，两式作差即可消去参数$α$，得到$∠ APB$的度数。
【解析】
设$∠ ACP=α$，
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ BCP=∠ ACB+∠ ACP=90°+α$，
又$\because CB=CP$，$△ BCP$为等腰三角形，
$\therefore ∠ BPC=\frac{180°-∠ BCP}{2}=\frac{180°-(90°+α)}{2}=45°-\frac{α}{2}$，
$\because CA=CP$，$△ ACP$为等腰三角形，
$\therefore ∠ CPA=\frac{180°-∠ ACP}{2}=\frac{180°-α}{2}=90°-\frac{α}{2}$，
$\therefore ∠ APB=∠ CPA-∠ BPC=(90°-\frac{α}{2})-(45°-\frac{α}{2})=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
1.等腰三角形性质
2.三角形内角和定理
3.整体代换思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题核心是通过设参数表示未知角，利用等腰三角形的性质将相关角度用参数表示后，参数会自然抵消，无需求解参数具体值即可得到结果，能很好地锻炼整体代换的数学思维。
【难度系数】
0.6
已知条件给出$AC=BC=PC$，且$∠ ACB=90°$，可知$△ BCP$和$△ ACP$均为等腰三角形，要求$∠ APB$，可观察到$∠ APB=∠ CPA-∠ BPC$。我们可以先设$∠ ACP$为参数$α$，再利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，分别用$α$表示出$∠ CPA$和$∠ BPC$，两式作差即可消去参数$α$，得到$∠ APB$的度数。
【解析】
设$∠ ACP=α$，
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ BCP=∠ ACB+∠ ACP=90°+α$，
又$\because CB=CP$，$△ BCP$为等腰三角形，
$\therefore ∠ BPC=\frac{180°-∠ BCP}{2}=\frac{180°-(90°+α)}{2}=45°-\frac{α}{2}$，
$\because CA=CP$，$△ ACP$为等腰三角形，
$\therefore ∠ CPA=\frac{180°-∠ ACP}{2}=\frac{180°-α}{2}=90°-\frac{α}{2}$，
$\therefore ∠ APB=∠ CPA-∠ BPC=(90°-\frac{α}{2})-(45°-\frac{α}{2})=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
1.等腰三角形性质
2.三角形内角和定理
3.整体代换思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题核心是通过设参数表示未知角，利用等腰三角形的性质将相关角度用参数表示后，参数会自然抵消，无需求解参数具体值即可得到结果，能很好地锻炼整体代换的数学思维。
【难度系数】
0.6
【典例3】已知$OA=OB=OC$.如图，若$∠ ACB=20°$，求$∠ AOB$的度数. 
变式.如图，已知$OA=OB=OC$，若$∠ BOC=α$，用含$α$的代数式表示$∠ BAC$的大小.
变式.如图，已知$OA=OB=OC$，若$∠ BOC=α$，用含$α$的代数式表示$∠ BAC$的大小.
答案
【典例3】解:设$∠ ACO=α$,
$\because OA=OC$,
$\therefore∠ AOC=180°-2α$.
又$\because OB=OC$,
$\therefore∠ BOC=180°-2(α+20°)$,
$\therefore∠ AOB=180°-2α-[180°-2(α+20°)]=40°$.
变式.解:设$∠ AOB=β$,
$\because OA=OC$,
$\therefore∠ OAC=\dfrac{180°-(α+β)}{2}$.
又$\because OA=OB⇒∠ OAB=\dfrac{180°-β}{2}$,
$\therefore∠ BAC=\dfrac{180°-β}{2}-\dfrac{180°-(α+β)}{2}=\dfrac{α}{2}$.
$\because OA=OC$,
$\therefore∠ AOC=180°-2α$.
又$\because OB=OC$,
$\therefore∠ BOC=180°-2(α+20°)$,
$\therefore∠ AOB=180°-2α-[180°-2(α+20°)]=40°$.
变式.解:设$∠ AOB=β$,
$\because OA=OC$,
$\therefore∠ OAC=\dfrac{180°-(α+β)}{2}$.
又$\because OA=OB⇒∠ OAB=\dfrac{180°-β}{2}$,
$\therefore∠ BAC=\dfrac{180°-β}{2}-\dfrac{180°-(α+β)}{2}=\dfrac{α}{2}$.
解析
【分析】
首先观察到OA=OB=OC，可知△OAC、△OBC、△OAB均为等腰三角形，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质结合三角形内角和定理求解角度：
1. 典例3思路：设∠ACO=α，可表示出∠BCO=α+20°，分别用α表示出∠AOC和∠BOC的度数，再根据∠AOB=∠AOC-∠BOC计算，计算过程中辅助未知量α会被整体消去，即可得到∠AOB的度数。
2. 变式思路：设∠AOB=β，分别用α、β表示出∠OAB和∠OAC的度数，再根据∠BAC=∠OAB-∠OAC计算，辅助未知量β会被整体消去，即可得到用α表示∠BAC的代数式。
【解析】
典例3解答：
设∠ACO=α，
∵ OA=OC，
∴ △OAC为等腰三角形，
根据三角形内角和定理，$∠ AOC=180°-2α$，
又
∵ OB=OC，
∴ △OBC为等腰三角形，$∠ BCO=∠ ACO+∠ ACB=α+20°$，
∴ $∠ BOC=180°-2(α+20°)$，
∴ $∠ AOB=∠ AOC - ∠ BOC = 180°-2α - [180°-2(α+20°)] = 40°$。
变式解答：
设∠AOB=β，
∵ OA=OC，
∴ △OAC为等腰三角形，顶角$∠ AOC=∠ BOC+∠ AOB=α+β$，
∴ $∠ OAC=\dfrac{180°-(α+β)}{2}$，
又
∵ OA=OB，
∴ △OAB为等腰三角形，
∴ $∠ OAB=\dfrac{180°-β}{2}$，
∴ $∠ BAC=∠ OAB - ∠ OAC = \dfrac{180°-β}{2} - \dfrac{180°-(α+β)}{2} = \dfrac{α}{2}$。
【答案】
典例3：$∠ AOB=40°$；变式：$∠ BAC=\dfrac{α}{2}$
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形内角和定理
3. 整体代换思想
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的典型题型，通过引入辅助未知角表示相关角度，再利用整体消元的方法简化计算，避开了求解辅助角的复杂过程，是解决共端点等线段类角度求解问题的常用技巧，熟练掌握该方法可大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
首先观察到OA=OB=OC，可知△OAC、△OBC、△OAB均为等腰三角形，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质结合三角形内角和定理求解角度：
1. 典例3思路：设∠ACO=α，可表示出∠BCO=α+20°，分别用α表示出∠AOC和∠BOC的度数，再根据∠AOB=∠AOC-∠BOC计算，计算过程中辅助未知量α会被整体消去，即可得到∠AOB的度数。
2. 变式思路：设∠AOB=β，分别用α、β表示出∠OAB和∠OAC的度数，再根据∠BAC=∠OAB-∠OAC计算，辅助未知量β会被整体消去，即可得到用α表示∠BAC的代数式。
【解析】
典例3解答：
设∠ACO=α，
∵ OA=OC，
∴ △OAC为等腰三角形，
根据三角形内角和定理，$∠ AOC=180°-2α$，
又
∵ OB=OC，
∴ △OBC为等腰三角形，$∠ BCO=∠ ACO+∠ ACB=α+20°$，
∴ $∠ BOC=180°-2(α+20°)$，
∴ $∠ AOB=∠ AOC - ∠ BOC = 180°-2α - [180°-2(α+20°)] = 40°$。
变式解答：
设∠AOB=β，
∵ OA=OC，
∴ △OAC为等腰三角形，顶角$∠ AOC=∠ BOC+∠ AOB=α+β$，
∴ $∠ OAC=\dfrac{180°-(α+β)}{2}$，
又
∵ OA=OB，
∴ △OAB为等腰三角形，
∴ $∠ OAB=\dfrac{180°-β}{2}$，
∴ $∠ BAC=∠ OAB - ∠ OAC = \dfrac{180°-β}{2} - \dfrac{180°-(α+β)}{2} = \dfrac{α}{2}$。
【答案】
典例3：$∠ AOB=40°$；变式：$∠ BAC=\dfrac{α}{2}$
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形内角和定理
3. 整体代换思想
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的典型题型，通过引入辅助未知角表示相关角度，再利用整体消元的方法简化计算，避开了求解辅助角的复杂过程，是解决共端点等线段类角度求解问题的常用技巧，熟练掌握该方法可大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
