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1.在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BD\bot AC$于$D$.若$∠ A=50°$，则$∠ DBC=$
25°
.答案
25°
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先，题目给出△ABC是等腰三角形（AB=AC）且已知顶角度数，可利用等腰三角形“两底角相等”的性质结合三角形内角和算出底角∠C的度数；其次，BD垂直AC可得△BDC是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠C的度数就能得到∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠A=50°
∴ ∠ABC=∠C = (180° - ∠A)÷2 = (180° - 50°)÷2 = 65°
∵ BD⊥AC
∴ ∠BDC = 90°
在Rt△BDC中，∠DBC + ∠C = 90°
∴ ∠DBC = 90° - 65° = 25°
【答案】
25°
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形与直角三角形性质的基础综合应用题，难度较低，只要熟练掌握相关基础性质，按照逻辑逐步推导即可得出结果，解题时注意角度计算不要出错。
【难度系数】
0.9
解题思路可分为两步：首先，题目给出△ABC是等腰三角形（AB=AC）且已知顶角度数，可利用等腰三角形“两底角相等”的性质结合三角形内角和算出底角∠C的度数；其次，BD垂直AC可得△BDC是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠C的度数就能得到∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠A=50°
∴ ∠ABC=∠C = (180° - ∠A)÷2 = (180° - 50°)÷2 = 65°
∵ BD⊥AC
∴ ∠BDC = 90°
在Rt△BDC中，∠DBC + ∠C = 90°
∴ ∠DBC = 90° - 65° = 25°
【答案】
25°
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形与直角三角形性质的基础综合应用题，难度较低，只要熟练掌握相关基础性质，按照逻辑逐步推导即可得出结果，解题时注意角度计算不要出错。
【难度系数】
0.9
2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$36°$,则该等腰三角形的底角为
63°或27°
.答案
63°或27°
解析
【分析】
解决本题需要先考虑等腰三角形一腰上的高的位置存在两种情况：高在三角形内部（对应锐角等腰三角形）、高在三角形外部（对应钝角等腰三角形，直角等腰三角形腰上的高与另一腰重合，夹角为0°不符合题意）。解题时先分情况求出顶角的度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角，注意不要漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形，腰上的高在三角形内部时：
腰上的高与腰垂直，夹角为90°，已知高与另一腰的夹角为36°，因此顶角的度数为$90°-36°=54°$。
因为等腰三角形两底角相等，所以底角度数为$\frac{180°-54°}{2}=63°$。
2. 当等腰三角形为钝角三角形，腰上的高在三角形外部时：
腰上的高与腰垂直，夹角为90°，已知高与另一腰的夹角为36°，因此顶角的外角度数为$90°-36°=54°$，则顶角的度数为$180°-54°=126°$。
同理可得底角度数为$\frac{180°-126°}{2}=27°$。
综上，该等腰三角形的底角为63°或27°。
【答案】
$63°$或$27°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外部的情况导致漏解，解题时需结合等腰三角形的形状分类讨论，熟练运用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理计算角度即可。
【难度系数】
0.6
解决本题需要先考虑等腰三角形一腰上的高的位置存在两种情况：高在三角形内部（对应锐角等腰三角形）、高在三角形外部（对应钝角等腰三角形，直角等腰三角形腰上的高与另一腰重合，夹角为0°不符合题意）。解题时先分情况求出顶角的度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角，注意不要漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形，腰上的高在三角形内部时：
腰上的高与腰垂直，夹角为90°，已知高与另一腰的夹角为36°，因此顶角的度数为$90°-36°=54°$。
因为等腰三角形两底角相等，所以底角度数为$\frac{180°-54°}{2}=63°$。
2. 当等腰三角形为钝角三角形，腰上的高在三角形外部时：
腰上的高与腰垂直，夹角为90°，已知高与另一腰的夹角为36°，因此顶角的外角度数为$90°-36°=54°$，则顶角的度数为$180°-54°=126°$。
同理可得底角度数为$\frac{180°-126°}{2}=27°$。
综上，该等腰三角形的底角为63°或27°。
【答案】
$63°$或$27°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外部的情况导致漏解，解题时需结合等腰三角形的形状分类讨论，熟练运用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理计算角度即可。
【难度系数】
0.6
3.如图,在△ABC中,AB=AC,BE为高,求证:∠BAC=2∠CBE.
备用图
备用图答案
证明:方法一:设$∠ C=α$,
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ ABC=∠ C=α$,
$\because BE⊥ AC$,
$\therefore ∠ A=180°-2α$,
$∠ CBE=90°-α$,
$\therefore ∠ A=2∠ CBE$.
方法二:过点 A 作$AD⊥ BC$于点 D，
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$,
又$\because BE⊥ AC$,
$\therefore ∠ CBE=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC$,
$\therefore ∠ BAC=2∠ CBE$.
解析
【分析】
要证明∠BAC=2∠CBE，有两种常见解题思路：思路1：利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和、直角三角形两锐角互余，通过设参数表示出两个角，直接推导数量关系；思路2：利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点A作BC边上的高AD，将∠BAC拆分为两个相等的角，再通过同角的余角相等证明其中一个角等于∠CBE，即可得到两倍关系。
【解析】
方法一：设∠C=α，
∵AB=AC，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得∠ABC=∠C=α，
结合三角形内角和为180°，得∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-2α，
∵BE为高即BE⊥AC，在Rt△BEC中，直角三角形两锐角互余，故∠CBE+∠C=90°，
即∠CBE=90°-α，
因此可得∠BAC=2∠CBE。
方法二：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，可得∠BAD=∠CAD=½∠BAC，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，可得∠CBE+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，
根据同角的余角相等，得∠CBE=∠CAD，
因此∠CBE=½∠BAC，即∠BAC=2∠CBE。
【答案】
证明:方法一:设$∠ C=α$,
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ ABC=∠ C=α$,
$\because BE⊥ AC$,
$\therefore ∠ A=180°-2α$,
$∠ CBE=90°-α$,
$\therefore ∠ A=2∠ CBE$.
方法二:过点 A 作$AD⊥ BC$于点 D，
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$,
又$\because BE⊥ AC$,
$\therefore ∠ CBE=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC$,
$\therefore ∠ BAC=2∠ CBE$.
【知识点】
等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余，同角的余角相等
【点评】
本题是等腰三角形性质的典型应用题目，两种证明思路分别从代数设参计算、几何构造辅助线的角度切入，既可以巩固等腰三角形的基础性质，也能锻炼多角度思考解题的思维能力。
【难度系数】
0.7
要证明∠BAC=2∠CBE，有两种常见解题思路：思路1：利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和、直角三角形两锐角互余，通过设参数表示出两个角，直接推导数量关系；思路2：利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点A作BC边上的高AD，将∠BAC拆分为两个相等的角，再通过同角的余角相等证明其中一个角等于∠CBE，即可得到两倍关系。
【解析】
方法一：设∠C=α，
∵AB=AC，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得∠ABC=∠C=α，
结合三角形内角和为180°，得∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-2α，
∵BE为高即BE⊥AC，在Rt△BEC中，直角三角形两锐角互余，故∠CBE+∠C=90°，
即∠CBE=90°-α，
因此可得∠BAC=2∠CBE。
方法二：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，可得∠BAD=∠CAD=½∠BAC，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，可得∠CBE+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，
根据同角的余角相等，得∠CBE=∠CAD，
因此∠CBE=½∠BAC，即∠BAC=2∠CBE。
【答案】
证明:方法一:设$∠ C=α$,
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ ABC=∠ C=α$,
$\because BE⊥ AC$,
$\therefore ∠ A=180°-2α$,
$∠ CBE=90°-α$,
$\therefore ∠ A=2∠ CBE$.
方法二:过点 A 作$AD⊥ BC$于点 D，
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$,
又$\because BE⊥ AC$,
$\therefore ∠ CBE=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC$,
$\therefore ∠ BAC=2∠ CBE$.
【知识点】
等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余，同角的余角相等
【点评】
本题是等腰三角形性质的典型应用题目，两种证明思路分别从代数设参计算、几何构造辅助线的角度切入，既可以巩固等腰三角形的基础性质，也能锻炼多角度思考解题的思维能力。
【难度系数】
0.7
4.如图，已知$AB=AC=AD$，且$AD// BC$，$BD$交$AC$于$E$点，且$BE=AE$，求$∠ D$的度数. 
答案
解:设$∠ D=α$,
$\because AD=AB,\therefore ∠ ABD=α$,
又$\because AD// BC,\therefore ∠ DBC=α$,
而 $AB=AC,∠ C=∠ ABC=2α$,
$α+2α+2α=180°,α=36°,\therefore ∠ D=36°$.
$\because AD=AB,\therefore ∠ ABD=α$,
又$\because AD// BC,\therefore ∠ DBC=α$,
而 $AB=AC,∠ C=∠ ABC=2α$,
$α+2α+2α=180°,α=36°,\therefore ∠ D=36°$.
解析
【分析】
本题给出多组相等的边和平行线的条件，可采用设未知数列方程的思路求解：先将要求的$∠ D$设为未知数，再利用等腰三角形“等边对等角”的性质、平行线内错角相等的性质，把与$△ ABC$内角相关的角都用该未知数表示，最后根据三角形内角和为$180°$列方程，解方程即可得到$∠ D$的度数。
【解析】
解：设$∠ D=α$，
$\because AD=AB$，根据等腰三角形等边对等角的性质，$\therefore ∠ ABD=∠ D=α$，
$\because AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，$\therefore ∠ D=∠ DBC=α$，
因此$∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC=α+α=2α$，
又$\because AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，$\therefore ∠ C=∠ ABC=2α$，
$\because BE=AE$，根据等腰三角形等边对等角的性质，$\therefore ∠ BAE=∠ ABE=α$，即$∠ BAC=α$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BAC+∠ ABC+∠ C=180°$，
代入得$α+2α+2α=180°$，
合并同类项得$5α=180°$，解得$α=36°$，
即$∠ D=36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础综合题，核心是通过设未知数将角度关系转化为方程求解，既考察了几何图形的角度推导能力，也考察了方程思想在几何问题中的应用，熟练掌握等腰三角形和平行线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题给出多组相等的边和平行线的条件，可采用设未知数列方程的思路求解：先将要求的$∠ D$设为未知数，再利用等腰三角形“等边对等角”的性质、平行线内错角相等的性质，把与$△ ABC$内角相关的角都用该未知数表示，最后根据三角形内角和为$180°$列方程，解方程即可得到$∠ D$的度数。
【解析】
解：设$∠ D=α$，
$\because AD=AB$，根据等腰三角形等边对等角的性质，$\therefore ∠ ABD=∠ D=α$，
$\because AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，$\therefore ∠ D=∠ DBC=α$，
因此$∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC=α+α=2α$，
又$\because AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，$\therefore ∠ C=∠ ABC=2α$，
$\because BE=AE$，根据等腰三角形等边对等角的性质，$\therefore ∠ BAE=∠ ABE=α$，即$∠ BAC=α$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BAC+∠ ABC+∠ C=180°$，
代入得$α+2α+2α=180°$，
合并同类项得$5α=180°$，解得$α=36°$，
即$∠ D=36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础综合题，核心是通过设未知数将角度关系转化为方程求解，既考察了几何图形的角度推导能力，也考察了方程思想在几何问题中的应用，熟练掌握等腰三角形和平行线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5.如图,在等腰直角$△ ABC$中,$CA=CB$,点$D$,$E$分别在边$AB$,$BC$上,且$BD=BC$,$∠ CDE=45°$.下列结论正确的有
①$∠ BDE=∠ ACD$；
②$CD=DE$；
③$AB=BE+AC$；
④$∠ ACD=22.5°$.
①②③④
.①$∠ BDE=∠ ACD$；
②$CD=DE$；
③$AB=BE+AC$；
④$∠ ACD=22.5°$.
答案
①②③④
解:①$\because ∠ CDB =45°+∠ BDE$
$=45°+∠ ACD$,
$\therefore ∠ BDE=∠ ACD$;
②$△ ACD≌△ BDE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore CD=DE$;
③$AB=AD+BD=BE+AC$;
④$∠ BCD=67.5°,\therefore ∠ ACD=22.5°$.
解:①$\because ∠ CDB =45°+∠ BDE$
$=45°+∠ ACD$,
$\therefore ∠ BDE=∠ ACD$;
②$△ ACD≌△ BDE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore CD=DE$;
③$AB=AD+BD=BE+AC$;
④$∠ BCD=67.5°,\therefore ∠ ACD=22.5°$.
解析
【分析】
首先根据等腰直角△ABC的性质，得到∠A=∠B=45°、∠ACB=90°，再逐个推导结论：①利用三角形外角性质，∠CDB既是△ACD的外角，也可拆分为∠CDE+∠BDE，结合已知∠CDE=45°，等量代换即可证两角相等；②结合BD=BC=AC，加上∠A=∠B，以及①中证得的等角，用ASA判定△ACD≌△BDE，即可得CD=DE；③由全等可得AD=BE，再结合BD=AC，利用线段和AB=AD+BD即可推导；④在等腰△BCD中，已知∠B=45°，可算出∠BCD的度数，再用∠ACB减去∠BCD即可得∠ACD的度数。
【解析】
解：已知等腰直角△ABC中，$CA=CB$，$\therefore ∠A=∠B=45°$，$∠ACB=90°$。
①$\because ∠CDB$是$△ ACD$的外角，$\therefore ∠CDB=∠A+∠ACD=45°+∠ACD$，
又$\because ∠CDB=∠CDE+∠BDE$，且$∠CDE=45°$，
$\therefore ∠CDB=45°+∠BDE$，
$\therefore 45°+∠ACD=45°+∠BDE$，即$∠BDE=∠ACD$，故①正确；
②$\because BD=BC$，$BC=AC$，$\therefore BD=AC$，
在$△ ACD$和$△ BDE$中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠B \\AC=BD \\∠ACD=∠BDE\end{array} $
$\therefore △ ACD≌△ BDE(\mathrm{ASA})$，$\therefore CD=DE$，故②正确；
③$\because △ ACD≌△ BDE$，$\therefore AD=BE$，
又$\because AB=AD+BD$，$BD=BC=AC$，
$\therefore AB=BE+AC$，故③正确；
④在$△ BCD$中，$BD=BC$，$∠B=45°$，
$\therefore ∠BCD=∠BDC=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，
$\therefore ∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-67.5°=22.5°$，故④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
等腰三角形性质，全等三角形判定与性质，三角形外角性质
【点评】
本题综合考查等腰三角形和全等三角形的相关知识，解题时需结合已知条件逐步推导每个结论，注意利用等量代换实现角、边的转化，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先根据等腰直角△ABC的性质，得到∠A=∠B=45°、∠ACB=90°，再逐个推导结论：①利用三角形外角性质，∠CDB既是△ACD的外角，也可拆分为∠CDE+∠BDE，结合已知∠CDE=45°，等量代换即可证两角相等；②结合BD=BC=AC，加上∠A=∠B，以及①中证得的等角，用ASA判定△ACD≌△BDE，即可得CD=DE；③由全等可得AD=BE，再结合BD=AC，利用线段和AB=AD+BD即可推导；④在等腰△BCD中，已知∠B=45°，可算出∠BCD的度数，再用∠ACB减去∠BCD即可得∠ACD的度数。
【解析】
解：已知等腰直角△ABC中，$CA=CB$，$\therefore ∠A=∠B=45°$，$∠ACB=90°$。
①$\because ∠CDB$是$△ ACD$的外角，$\therefore ∠CDB=∠A+∠ACD=45°+∠ACD$，
又$\because ∠CDB=∠CDE+∠BDE$，且$∠CDE=45°$，
$\therefore ∠CDB=45°+∠BDE$，
$\therefore 45°+∠ACD=45°+∠BDE$，即$∠BDE=∠ACD$，故①正确；
②$\because BD=BC$，$BC=AC$，$\therefore BD=AC$，
在$△ ACD$和$△ BDE$中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠B \\AC=BD \\∠ACD=∠BDE\end{array} $
$\therefore △ ACD≌△ BDE(\mathrm{ASA})$，$\therefore CD=DE$，故②正确；
③$\because △ ACD≌△ BDE$，$\therefore AD=BE$，
又$\because AB=AD+BD$，$BD=BC=AC$，
$\therefore AB=BE+AC$，故③正确；
④在$△ BCD$中，$BD=BC$，$∠B=45°$，
$\therefore ∠BCD=∠BDC=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，
$\therefore ∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-67.5°=22.5°$，故④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
等腰三角形性质，全等三角形判定与性质，三角形外角性质
【点评】
本题综合考查等腰三角形和全等三角形的相关知识，解题时需结合已知条件逐步推导每个结论，注意利用等量代换实现角、边的转化，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
6.如图,等腰直角△ACB中,∠ACB=90°,点M在AB上,BM=BC.
(1)求∠ACM的度数;
(2)若CM=4,求△ACM的面积.
(1)求∠ACM的度数;
(2)若CM=4,求△ACM的面积.
答案
解:(1)$CA=CB⇒ ∠ ABC=45°$,
$BC=BM$,
$\therefore ∠ BCM=67.5°$,
$∠ ACM=22.5°$;
(2)作 $BE⊥ CM$ 交 $CM$ 于 $E$ 点，
$AF⊥ CM$ 交直线 $CM$ 于 $F$ 点，
$\therefore △ BCE≌△ CAF$,
$AF=CE=2$,
$S_{△ ACM}=\frac{1}{2}×4×2=4$.
解析
【分析】
(1) 先利用等腰直角三角形的性质求出底角∠ABC的度数，再结合BM=BC可知△BCM是等腰三角形，利用三角形内角和算出∠BCM的度数，最后用∠ACB减去∠BCM即可得到∠ACM的度数。
(2) 已知CM的长度，要求△ACM的面积，只需求出CM边上的高。因此作两条垂线构造全等三角形：作BE⊥CM于E，利用等腰三角形三线合一得到CE的长度，再作AF⊥CM交CM延长线于F，证明△BCE和△CAF全等，将AF的长度转化为CE的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵△ACB是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴CA=CB，∠ABC=45°，
又
∵BM=BC，即△BCM为等腰三角形，
∴$∠ BCM=∠ BMC=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，
∴$∠ ACM=∠ ACB-∠ BCM=90°-67.5°=22.5°$。
(2) 作 $BE⊥ CM$ 交 $CM$ 于 $E$ 点，$AF⊥ CM$ 交直线 $CM$ 于 $F$ 点，
∵BC=BM，BE⊥CM，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴$CE=\frac{1}{2}CM=\frac{1}{2}×4=2$，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，
又
∵AF⊥CM，
∴∠CAF+∠ACF=90°，
∴∠BCE=∠CAF，
在△BCE和△CAF中：
$\{\begin{array}{l}∠ BEC=∠ CFA=90°\\ ∠ BCE=∠ CAF\\ BC=CA\end{array} $
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴AF=CE=2，
∴$S_{△ ACM}=\frac{1}{2}×CM×AF=\frac{1}{2}×4×2=4$。
【答案】
(1)$∠ ACM=22.5°$；
(2)△ACM的面积为$4$。
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题侧重考查等腰三角形相关性质的综合应用，第一问为基础角度计算，第二问的核心是构造辅助线转化高的长度，对学生的几何逻辑推理能力和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 先利用等腰直角三角形的性质求出底角∠ABC的度数，再结合BM=BC可知△BCM是等腰三角形，利用三角形内角和算出∠BCM的度数，最后用∠ACB减去∠BCM即可得到∠ACM的度数。
(2) 已知CM的长度，要求△ACM的面积，只需求出CM边上的高。因此作两条垂线构造全等三角形：作BE⊥CM于E，利用等腰三角形三线合一得到CE的长度，再作AF⊥CM交CM延长线于F，证明△BCE和△CAF全等，将AF的长度转化为CE的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵△ACB是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴CA=CB，∠ABC=45°，
又
∵BM=BC，即△BCM为等腰三角形，
∴$∠ BCM=∠ BMC=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，
∴$∠ ACM=∠ ACB-∠ BCM=90°-67.5°=22.5°$。
(2) 作 $BE⊥ CM$ 交 $CM$ 于 $E$ 点，$AF⊥ CM$ 交直线 $CM$ 于 $F$ 点，
∵BC=BM，BE⊥CM，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴$CE=\frac{1}{2}CM=\frac{1}{2}×4=2$，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，
又
∵AF⊥CM，
∴∠CAF+∠ACF=90°，
∴∠BCE=∠CAF，
在△BCE和△CAF中：
$\{\begin{array}{l}∠ BEC=∠ CFA=90°\\ ∠ BCE=∠ CAF\\ BC=CA\end{array} $
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴AF=CE=2，
∴$S_{△ ACM}=\frac{1}{2}×CM×AF=\frac{1}{2}×4×2=4$。
【答案】
(1)$∠ ACM=22.5°$；
(2)△ACM的面积为$4$。
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题侧重考查等腰三角形相关性质的综合应用，第一问为基础角度计算，第二问的核心是构造辅助线转化高的长度，对学生的几何逻辑推理能力和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
