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3.（苏州）图中每个小方格的边长都表示1厘米，请根据要求先算一算，再画一画。
（1）画一个面积是9平方厘米的三角形，使得底与高的比为2：1。
（2）画一个周长为24厘米的长方形，使得长与宽的比是3：1。
（1）画一个面积是9平方厘米的三角形，使得底与高的比为2：1。
（2）画一个周长为24厘米的长方形，使得长与宽的比是3：1。
答案
(1) $9×2=18=6×3\quad 6:3=2:1$ 画法不唯一，如图所示
(2) 宽:$24÷2÷(3+1)=3$(厘米)
长:$3×3=9$(厘米) 如图所示
解析
【分析】
（1）要画出符合要求的三角形，首先回忆三角形面积公式：三角形面积=底×高÷2，已知面积是9平方厘米，可先算出底和高的乘积为9×2=18平方厘米。再结合底与高的比为2:1，即底是高的2倍，找到乘积为18、比为2:1的两个数，就能确定底和高的长度，再作图即可。
（2）要画出符合要求的长方形，首先回忆长方形周长公式：长方形周长=（长+宽）×2，已知周长是24厘米，可先算出长与宽的和为24÷2=12厘米。再结合长与宽的比为3:1，把长看作3份、宽看作1份，总份数是4份，先算出1份的长度，即可分别求出长和宽，再作图即可。
【解析】
（1）计算三角形的底和高：
由三角形面积公式可得：底×高=面积×2=9×2=18（平方厘米）
已知底:高=2:1，即底=2×高，代入得2×高×高=18，解得高=3厘米，底=2×3=6厘米。
验证：6×3÷2=9（平方厘米），且6:3=2:1，符合要求，按该尺寸作图即可，画法不唯一。
（2）计算长方形的长和宽：
由长方形周长公式可得：长+宽=周长÷2=24÷2=12（厘米）
已知长:宽=3:1，总份数为3+1=4份，
每份长度：12÷4=3（厘米）
宽占1份：3×1=3（厘米）
长占3份：3×3=9（厘米）
验证：(9+3)×2=24（厘米），且9:3=3:1，符合要求，按该尺寸作图即可。
【答案】
(1) $9×2=18=6×3\quad 6:3=2:1$ 画法不唯一，如图所示
(2) 宽:$24÷2÷(3+1)=3$(厘米)
长:$3×3=9$(厘米) 如图所示
【知识点】
三角形面积计算、长方形周长计算、按比分配
【点评】
本题结合了图形周长、面积计算与按比分配的知识点，需要先根据公式和比例关系求出对应图形的边长，再完成作图，既考查了对基础公式的掌握程度，也锻炼了动手操作能力。
【难度系数】
0.75
（1）要画出符合要求的三角形，首先回忆三角形面积公式：三角形面积=底×高÷2，已知面积是9平方厘米，可先算出底和高的乘积为9×2=18平方厘米。再结合底与高的比为2:1，即底是高的2倍，找到乘积为18、比为2:1的两个数，就能确定底和高的长度，再作图即可。
（2）要画出符合要求的长方形，首先回忆长方形周长公式：长方形周长=（长+宽）×2，已知周长是24厘米，可先算出长与宽的和为24÷2=12厘米。再结合长与宽的比为3:1，把长看作3份、宽看作1份，总份数是4份，先算出1份的长度，即可分别求出长和宽，再作图即可。
【解析】
（1）计算三角形的底和高：
由三角形面积公式可得：底×高=面积×2=9×2=18（平方厘米）
已知底:高=2:1，即底=2×高，代入得2×高×高=18，解得高=3厘米，底=2×3=6厘米。
验证：6×3÷2=9（平方厘米），且6:3=2:1，符合要求，按该尺寸作图即可，画法不唯一。
（2）计算长方形的长和宽：
由长方形周长公式可得：长+宽=周长÷2=24÷2=12（厘米）
已知长:宽=3:1，总份数为3+1=4份，
每份长度：12÷4=3（厘米）
宽占1份：3×1=3（厘米）
长占3份：3×3=9（厘米）
验证：(9+3)×2=24（厘米），且9:3=3:1，符合要求，按该尺寸作图即可。
【答案】
(1) $9×2=18=6×3\quad 6:3=2:1$ 画法不唯一，如图所示
(2) 宽:$24÷2÷(3+1)=3$(厘米)
长:$3×3=9$(厘米) 如图所示
【知识点】
三角形面积计算、长方形周长计算、按比分配
【点评】
本题结合了图形周长、面积计算与按比分配的知识点，需要先根据公式和比例关系求出对应图形的边长，再完成作图，既考查了对基础公式的掌握程度，也锻炼了动手操作能力。
【难度系数】
0.75
4.（苏州常熟）2024年11月12日，第十五届中国国际航空航天博览会在珠海开幕，11月13日，空军八一表演队、俄罗斯勇士表演队和海军直升机表演队的计划航展飞行总表演时长为80分钟。其中，海军直升机表演队的计划表演时长占总表演时长的$\frac{1}{4}$，剩余时长按7：5的比分配给俄罗斯勇士表演队和空军八一表演队。海军直升机表演队和空军八一表演队的计划表演时长分别是多少分钟？
答案
$80×\frac{1}{4}=20$(分) $80×(1-\frac{1}{4})=60$(分)
$60×\frac{5}{7+5}=25$(分)
答:海军直升机表演队的计划表演时长是20分钟，空军八一表演队的计划表演时长是25分钟。
$60×\frac{5}{7+5}=25$(分)
答:海军直升机表演队的计划表演时长是20分钟，空军八一表演队的计划表演时长是25分钟。
解析
【分析】
解题时分两步思考：第一步求海军直升机表演队的时长，已知其占总表演时长的$\frac{1}{4}$，直接用总时长乘对应占比即可算出。第二步求空军八一表演队的时长，先算出扣除海军表演队时长后的剩余时长，剩余时长按7:5分配给两支表演队，即剩余时长共分为$7+5=12$份，空军八一表演队占其中的5份，也就是占剩余时长的$\frac{5}{7+5}$，用剩余时长乘这个占比就能求出空军八一表演队的时长。
【解析】
1. 计算海军直升机表演队的计划表演时长：
总表演时长为80分钟，其占比为$\frac{1}{4}$，列式为：
$80×\frac{1}{4}=20$（分）
2. 计算扣除海军表演队后剩余的表演时长：
剩余时长占总时长的$1-\frac{1}{4}$，列式为：
$80×(1-\frac{1}{4})=60$（分）
3. 计算空军八一表演队的计划表演时长：
剩余时长按7:5分配，空军八一表演队占剩余时长的$\frac{5}{7+5}$，列式为：
$60×\frac{5}{7+5}=25$（分）
【答案】
海军直升机表演队的计划表演时长是20分钟，空军八一表演队的计划表演时长是25分钟。
【知识点】
分数乘法应用、按比例分配
【点评】
本题结合航展的时事背景出题，考查分数乘法和按比例分配的综合运用，解题核心是先求出剩余表演时长，再找准对应占比计算，既贴近生活又注重基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时分两步思考：第一步求海军直升机表演队的时长，已知其占总表演时长的$\frac{1}{4}$，直接用总时长乘对应占比即可算出。第二步求空军八一表演队的时长，先算出扣除海军表演队时长后的剩余时长，剩余时长按7:5分配给两支表演队，即剩余时长共分为$7+5=12$份，空军八一表演队占其中的5份，也就是占剩余时长的$\frac{5}{7+5}$，用剩余时长乘这个占比就能求出空军八一表演队的时长。
【解析】
1. 计算海军直升机表演队的计划表演时长：
总表演时长为80分钟，其占比为$\frac{1}{4}$，列式为：
$80×\frac{1}{4}=20$（分）
2. 计算扣除海军表演队后剩余的表演时长：
剩余时长占总时长的$1-\frac{1}{4}$，列式为：
$80×(1-\frac{1}{4})=60$（分）
3. 计算空军八一表演队的计划表演时长：
剩余时长按7:5分配，空军八一表演队占剩余时长的$\frac{5}{7+5}$，列式为：
$60×\frac{5}{7+5}=25$（分）
【答案】
海军直升机表演队的计划表演时长是20分钟，空军八一表演队的计划表演时长是25分钟。
【知识点】
分数乘法应用、按比例分配
【点评】
本题结合航展的时事背景出题，考查分数乘法和按比例分配的综合运用，解题核心是先求出剩余表演时长，再找准对应占比计算，既贴近生活又注重基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
5.（宿迁宿城区）科学课上做盐水漂浮实验。小强先配制了一杯840克的盐水，盐与水的质量比是1：20，现在小强想把盐水浓度降低，使盐与水的质量比为1：25，需要加入多少克水？
答案
$840÷(20+1)=40$(克)
$40×(25+1)=1040$(克) $1040-840=200$(克)
答:需要加入200克水。
$40×(25+1)=1040$(克) $1040-840=200$(克)
答:需要加入200克水。
解析
【分析】
解题的核心是抓住加水稀释过程中盐的质量始终不变这一隐含条件。首先根据原有盐水的总质量和盐与水的质量比，通过按比分配算出盐的质量；再根据稀释后盐与水的新比例，算出稀释后盐水的总质量；最后用稀释后盐水总质量减去原有盐水质量，即可求出需要加入的水的质量。
【解析】
第一步：计算原有盐水中盐的质量
原来盐与水的质量比是1:20，说明盐水总共有1+20=21份
每份质量：$840÷(20+1)=40$（克），即盐的质量为40克。
第二步：计算稀释后盐水的总质量
稀释后盐与水的质量比为1:25，此时盐仍为1份（40克），盐水总共有1+25=26份
稀释后盐水总质量：$40×(25+1)=1040$（克）
第三步：计算需要加入的水的质量
加入水的质量=稀释后总质量-原有总质量：$1040-840=200$（克）
【答案】
需要加入200克水。
【知识点】
按比分配，比例的应用，不变量解题
【点评】
本题是比例应用的常见题型，解题关键是找准稀释过程中不变的盐的质量，再结合按比分配的方法即可求解，易错点是容易忽视盐质量不变的隐含条件，直接用水的份数差计算导致错误。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住加水稀释过程中盐的质量始终不变这一隐含条件。首先根据原有盐水的总质量和盐与水的质量比，通过按比分配算出盐的质量；再根据稀释后盐与水的新比例，算出稀释后盐水的总质量；最后用稀释后盐水总质量减去原有盐水质量，即可求出需要加入的水的质量。
【解析】
第一步：计算原有盐水中盐的质量
原来盐与水的质量比是1:20，说明盐水总共有1+20=21份
每份质量：$840÷(20+1)=40$（克），即盐的质量为40克。
第二步：计算稀释后盐水的总质量
稀释后盐与水的质量比为1:25，此时盐仍为1份（40克），盐水总共有1+25=26份
稀释后盐水总质量：$40×(25+1)=1040$（克）
第三步：计算需要加入的水的质量
加入水的质量=稀释后总质量-原有总质量：$1040-840=200$（克）
【答案】
需要加入200克水。
【知识点】
按比分配，比例的应用，不变量解题
【点评】
本题是比例应用的常见题型，解题关键是找准稀释过程中不变的盐的质量，再结合按比分配的方法即可求解，易错点是容易忽视盐质量不变的隐含条件，直接用水的份数差计算导致错误。
【难度系数】
0.7
6.（南通通州区）长城是我国古代的军事防御工程，是世界文化遗产、全国重点文物保护单位，被誉为“世界八大奇迹之一”。据科学家研究，古代工匠使用了一种用糯米浆搅拌的三合土作为黏合剂来砌墙。三合土是由石灰、黏土和细沙按$1:2:4$的比混合而成的。
（1）配制210吨这样的三合土，三种材料各需要多少吨？
（2）如果用这三种材料各10吨配制这种三合土，那么当黏土全部用完时，石灰还剩多少吨？细沙已经增加多少吨？
（3）某工匠用6.4吨黏土制作了22.8吨这样的三合土，这位工匠制作的三合土是否符合要求？请通过计算说明。
（1）配制210吨这样的三合土，三种材料各需要多少吨？
（2）如果用这三种材料各10吨配制这种三合土，那么当黏土全部用完时，石灰还剩多少吨？细沙已经增加多少吨？
（3）某工匠用6.4吨黏土制作了22.8吨这样的三合土，这位工匠制作的三合土是否符合要求？请通过计算说明。
答案
(1) $210×\frac{1}{1+2+4}=30$(吨) $210×\frac{2}{1+2+4}=60$(吨) $210×\frac{4}{1+2+4}=120$(吨) 答:石灰需要30吨,黏土需要60吨,细沙需要120吨。
(2) $10÷2×1=5$(吨) $10-5=5$(吨)
$10÷2×4=20$(吨) $20-10=10$(吨)
答:石灰还剩5吨,细沙已经增加10吨。
(3) $6.4÷2×(1+2+4)=22.4$(吨) $22.4＜22.8$
答:这位工匠制作的三合土不符合要求。
(2) $10÷2×1=5$(吨) $10-5=5$(吨)
$10÷2×4=20$(吨) $20-10=10$(吨)
答:石灰还剩5吨,细沙已经增加10吨。
(3) $6.4÷2×(1+2+4)=22.4$(吨) $22.4＜22.8$
答:这位工匠制作的三合土不符合要求。
解析
【分析】
这是比在实际场景中的应用类问题，解题核心是抓住石灰、黏土、细沙1:2:4的固定比例，明确每份对应的质量是解题关键。
（1）第一问是典型的按比例分配问题，先计算三种材料的总份数，再分别算出每种材料占总质量的占比，最后用三合土总质量乘对应占比，即可得到各材料的需要量。
（2）第二问中黏土全部用完时，10吨黏土对应比例里的2份，先算出1份对应的质量，再按比例算出此时需要的石灰、细沙质量，用现有石灰质量减去需要的石灰质量就是剩余石灰量，用需要的细沙质量减去现有细沙质量就是需要增加的细沙量。
（3）第三问判断是否符合要求，先按6.4吨黏土（对应比例的2份）算出符合配比的三合土总质量，再和实际制作的22.8吨比较，数值不等则不符合要求。
【解析】
（1）三种材料总份数：$1+2+4=7$
石灰需要量：$210×\frac{1}{1+2+4}=30$（吨）
黏土需要量：$210×\frac{2}{1+2+4}=60$（吨）
细沙需要量：$210×\frac{4}{1+2+4}=120$（吨）
（2）每份对应的质量：$10÷2=5$（吨）
需要石灰的质量：$5×1=5$（吨），石灰剩余量：$10-5=5$（吨）
需要细沙的质量：$5×4=20$（吨），细沙需要增加的量：$20-10=10$（吨）
（3）每份对应的质量：$6.4÷2=3.2$（吨）
符合配比的三合土总质量：$3.2×(1+2+4)=22.4$（吨）
因为$22.4＜22.8$，所以不符合配比要求。
【答案】
(1) 石灰需要30吨，黏土需要60吨，细沙需要120吨。
(2) 石灰还剩5吨，细沙已经增加10吨。
(3) 这位工匠制作的三合土不符合要求。
【知识点】
按比例分配、比的实际应用、比例计算
【点评】
本题结合传统文化背景考查比的相关应用，解题时只要抓住每份对应量不变的核心，就能理清各数量的对应关系，能有效锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是比在实际场景中的应用类问题，解题核心是抓住石灰、黏土、细沙1:2:4的固定比例，明确每份对应的质量是解题关键。
（1）第一问是典型的按比例分配问题，先计算三种材料的总份数，再分别算出每种材料占总质量的占比，最后用三合土总质量乘对应占比，即可得到各材料的需要量。
（2）第二问中黏土全部用完时，10吨黏土对应比例里的2份，先算出1份对应的质量，再按比例算出此时需要的石灰、细沙质量，用现有石灰质量减去需要的石灰质量就是剩余石灰量，用需要的细沙质量减去现有细沙质量就是需要增加的细沙量。
（3）第三问判断是否符合要求，先按6.4吨黏土（对应比例的2份）算出符合配比的三合土总质量，再和实际制作的22.8吨比较，数值不等则不符合要求。
【解析】
（1）三种材料总份数：$1+2+4=7$
石灰需要量：$210×\frac{1}{1+2+4}=30$（吨）
黏土需要量：$210×\frac{2}{1+2+4}=60$（吨）
细沙需要量：$210×\frac{4}{1+2+4}=120$（吨）
（2）每份对应的质量：$10÷2=5$（吨）
需要石灰的质量：$5×1=5$（吨），石灰剩余量：$10-5=5$（吨）
需要细沙的质量：$5×4=20$（吨），细沙需要增加的量：$20-10=10$（吨）
（3）每份对应的质量：$6.4÷2=3.2$（吨）
符合配比的三合土总质量：$3.2×(1+2+4)=22.4$（吨）
因为$22.4＜22.8$，所以不符合配比要求。
【答案】
(1) 石灰需要30吨，黏土需要60吨，细沙需要120吨。
(2) 石灰还剩5吨，细沙已经增加10吨。
(3) 这位工匠制作的三合土不符合要求。
【知识点】
按比例分配、比的实际应用、比例计算
【点评】
本题结合传统文化背景考查比的相关应用，解题时只要抓住每份对应量不变的核心，就能理清各数量的对应关系，能有效锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
