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（1）（苏州张家港）数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算的算理，小明所在的小组写出这样一组算式：
$30×50=(10×3)×(10×5)=(10×10)×(3×5)=100×15$
$0.3×0.5=(0.1×3)×(0.1×5)=(0.1×0.1)×(3×5)=0.01×15$
他们发现：整数乘法算理与小数乘法算理之间有着密切的联系。请你想一想，分数乘法的算理是不是也与整数、小数乘法的算理之间有着密切的联系？完成以下填空。
① $\frac{3}{5}×\frac{7}{8}=(\frac{1}{5}×\_\_\_\_\_\_)×(\frac{1}{8}×\_\_\_\_\_\_)=(\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_)×(\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_)=(\ \ \ \ )×(\ \ \ \ )$
② $\frac{5}{6}×\frac{2}{7}=(\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_)×(\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_)=(\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_)×(\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_)=(\ \ \ \ )×(\ \ \ \ )$
$30×50=(10×3)×(10×5)=(10×10)×(3×5)=100×15$
$0.3×0.5=(0.1×3)×(0.1×5)=(0.1×0.1)×(3×5)=0.01×15$
他们发现：整数乘法算理与小数乘法算理之间有着密切的联系。请你想一想，分数乘法的算理是不是也与整数、小数乘法的算理之间有着密切的联系？完成以下填空。
① $\frac{3}{5}×\frac{7}{8}=(\frac{1}{5}×\_\_\_\_\_\_)×(\frac{1}{8}×\_\_\_\_\_\_)=(\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_)×(\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_)=(\ \ \ \ )×(\ \ \ \ )$
② $\frac{5}{6}×\frac{2}{7}=(\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_)×(\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_)=(\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_)×(\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_)=(\ \ \ \ )×(\ \ \ \ )$
答案
① $3\quad 7\quad \frac{1}{5}\quad \frac{1}{8}\quad 3\quad 7\quad \frac{1}{40}\quad 21$ ② $\frac{1}{6}\quad 5\quad \frac{1}{7}\quad 2\quad \frac{1}{6}\quad \frac{1}{7}\quad 5\quad 2\quad \frac{1}{42}\quad 10$
解析
【分析】
解题时先观察给出的整数、小数乘法算理的例子，可总结出通用规律：先把两个乘数分别拆成“计数单位×计数单位的个数”的形式，再利用乘法交换律和结合律，将计数单位相乘、计数单位的个数分别相乘，最终得到“计数单位的乘积×个数的乘积”的形式。对应分数乘法，分数的计数单位就是分母分之一，分子就是计数单位的个数，按照这个规律拆分计算即可。
【解析】
① 首先，$\frac{3}{5}$表示3个$\frac{1}{5}$，可拆为$\frac{1}{5}×3$；$\frac{7}{8}$表示7个$\frac{1}{8}$，可拆为$\frac{1}{8}×7$。
再根据乘法交换律和结合律分组计算：$(\frac{1}{5}×\frac{1}{8})×(3×7)$，其中$\frac{1}{5}×\frac{1}{8}=\frac{1}{40}$，$3×7=21$，最终得到$\frac{1}{40}×21$。
② 同理，$\frac{5}{6}$是5个$\frac{1}{6}$，拆为$\frac{1}{6}×5$；$\frac{2}{7}$是2个$\frac{1}{7}$，拆为$\frac{1}{7}×2$。
分组计算得：$(\frac{1}{6}×\frac{1}{7})×(5×2)$，其中$\frac{1}{6}×\frac{1}{7}=\frac{1}{42}$，$5×2=10$，最终得到$\frac{1}{42}×10$。
【答案】
① $3\quad 7\quad \frac{1}{5}\quad \frac{1}{8}\quad 3\quad 7\quad \frac{1}{40}\quad 21$
② $\frac{1}{6}\quad 5\quad \frac{1}{7}\quad 2\quad \frac{1}{6}\quad \frac{1}{7}\quad 5\quad 2\quad \frac{1}{42}\quad 10$
【知识点】
乘法运算律、分数的意义、分数乘法算理
【点评】
本题通过类比整数、小数乘法的算理推导过程，引导学生自主探究分数乘法的算理，打通了不同类型乘法运算的内在联系，有助于学生理解乘法运算的本质，实现知识的迁移运用。
【难度系数】
0.7
解题时先观察给出的整数、小数乘法算理的例子，可总结出通用规律：先把两个乘数分别拆成“计数单位×计数单位的个数”的形式，再利用乘法交换律和结合律，将计数单位相乘、计数单位的个数分别相乘，最终得到“计数单位的乘积×个数的乘积”的形式。对应分数乘法，分数的计数单位就是分母分之一，分子就是计数单位的个数，按照这个规律拆分计算即可。
【解析】
① 首先，$\frac{3}{5}$表示3个$\frac{1}{5}$，可拆为$\frac{1}{5}×3$；$\frac{7}{8}$表示7个$\frac{1}{8}$，可拆为$\frac{1}{8}×7$。
再根据乘法交换律和结合律分组计算：$(\frac{1}{5}×\frac{1}{8})×(3×7)$，其中$\frac{1}{5}×\frac{1}{8}=\frac{1}{40}$，$3×7=21$，最终得到$\frac{1}{40}×21$。
② 同理，$\frac{5}{6}$是5个$\frac{1}{6}$，拆为$\frac{1}{6}×5$；$\frac{2}{7}$是2个$\frac{1}{7}$，拆为$\frac{1}{7}×2$。
分组计算得：$(\frac{1}{6}×\frac{1}{7})×(5×2)$，其中$\frac{1}{6}×\frac{1}{7}=\frac{1}{42}$，$5×2=10$，最终得到$\frac{1}{42}×10$。
【答案】
① $3\quad 7\quad \frac{1}{5}\quad \frac{1}{8}\quad 3\quad 7\quad \frac{1}{40}\quad 21$
② $\frac{1}{6}\quad 5\quad \frac{1}{7}\quad 2\quad \frac{1}{6}\quad \frac{1}{7}\quad 5\quad 2\quad \frac{1}{42}\quad 10$
【知识点】
乘法运算律、分数的意义、分数乘法算理
【点评】
本题通过类比整数、小数乘法的算理推导过程，引导学生自主探究分数乘法的算理，打通了不同类型乘法运算的内在联系，有助于学生理解乘法运算的本质，实现知识的迁移运用。
【难度系数】
0.7
(2)(苏州太仓)如右图，小正方形的$\frac{1}{4}$与大正方形的$\frac{1}{18}$重合，小正方形的面积与大正方形的面积比是(
2:9
)，小正方形的涂色部分的面积与大正方形的涂色部分的面积的比值是($\frac{3}{17}$
)。答案
$2:9\quad \frac{3}{17}$
解析
【分析】
解题时我们把重合部分的面积作为中间量，设为单位“1”：首先根据重合部分分别占小正方形、大正方形的分率，用除法求出小正方形、大正方形的面积对应单位1的份数，再化简得到两者的面积比；接着用各自正方形的面积减去重合部分的面积，得到两个正方形涂色部分的份数，最后用除法求出涂色部分的比值即可。
【解析】
设重合部分的面积为1份：
1. 求小正方形与大正方形的面积比：
小正方形面积：$1÷\frac{1}{4}=4$（份）
大正方形面积：$1÷\frac{1}{18}=18$（份）
面积比为$4:18$，化简得$2:9$。
2. 求小正方形涂色部分与大正方形涂色部分的比值：
小正方形涂色部分面积：$4-1=3$（份）
大正方形涂色部分面积：$18-1=17$（份）
比值为$3÷17=\frac{3}{17}$。
【答案】
$2:9$；$\frac{3}{17}$
【知识点】
比的化简；分数除法应用；求比值
【点评】
本题是比与分数结合的典型应用题，解题核心是找到两个正方形共有的重合部分作为中间量，通过设单位“1”的方式简化计算，能很好地考查学生对分数和比的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时我们把重合部分的面积作为中间量，设为单位“1”：首先根据重合部分分别占小正方形、大正方形的分率，用除法求出小正方形、大正方形的面积对应单位1的份数，再化简得到两者的面积比；接着用各自正方形的面积减去重合部分的面积，得到两个正方形涂色部分的份数，最后用除法求出涂色部分的比值即可。
【解析】
设重合部分的面积为1份：
1. 求小正方形与大正方形的面积比：
小正方形面积：$1÷\frac{1}{4}=4$（份）
大正方形面积：$1÷\frac{1}{18}=18$（份）
面积比为$4:18$，化简得$2:9$。
2. 求小正方形涂色部分与大正方形涂色部分的比值：
小正方形涂色部分面积：$4-1=3$（份）
大正方形涂色部分面积：$18-1=17$（份）
比值为$3÷17=\frac{3}{17}$。
【答案】
$2:9$；$\frac{3}{17}$
【知识点】
比的化简；分数除法应用；求比值
【点评】
本题是比与分数结合的典型应用题，解题核心是找到两个正方形共有的重合部分作为中间量，通过设单位“1”的方式简化计算，能很好地考查学生对分数和比的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(3)(南通崇川区)青团是清明节时江南水乡常吃的一种传统美食,下图表示制作一种青团所用材料的份数。现三种原料各有12千克,制作这种青团,当黑芝麻全部用完时,鼠曲草浆还剩(
4
)千克,糯米粉已经增加了(4
)千克。答案
$4\quad 4$
解析
【分析】
首先观察线段图，可得制作青团的三种原料的份数比为糯米粉:鼠曲草浆:黑芝麻=4:2:3。解题时先根据黑芝麻全部用完的质量求出1份原料对应的质量，再分别计算此时需要的鼠曲草浆、糯米粉的质量，最后和现有12千克的原料对比，即可求出鼠曲草浆剩余的质量和糯米粉需要增加的质量。
【解析】
1. 由线段图可知三种原料的份数：糯米粉4份，鼠曲草浆2份，黑芝麻3份。
2. 黑芝麻全部用完时共12千克，对应3份，因此每份原料的质量为：$12÷3=4$（千克）
3. 此时需要鼠曲草浆的质量：$2×4=8$（千克），鼠曲草浆剩余质量为：$12-8=4$（千克）
4. 此时需要糯米粉的质量：$4×4=16$（千克），糯米粉需要增加的质量为：$16-12=4$（千克）
【答案】
4；4
【知识点】
按比分配；归一问题
【点评】
本题结合传统美食制作的生活场景，解题核心是先梳理清楚三种原料的份数关系，再用归一法求出每份对应的质量就能逐步算出结果，解题时注意区分“剩余”和“增加”的计算逻辑，避免出错。
【难度系数】
0.7
首先观察线段图，可得制作青团的三种原料的份数比为糯米粉:鼠曲草浆:黑芝麻=4:2:3。解题时先根据黑芝麻全部用完的质量求出1份原料对应的质量，再分别计算此时需要的鼠曲草浆、糯米粉的质量，最后和现有12千克的原料对比，即可求出鼠曲草浆剩余的质量和糯米粉需要增加的质量。
【解析】
1. 由线段图可知三种原料的份数：糯米粉4份，鼠曲草浆2份，黑芝麻3份。
2. 黑芝麻全部用完时共12千克，对应3份，因此每份原料的质量为：$12÷3=4$（千克）
3. 此时需要鼠曲草浆的质量：$2×4=8$（千克），鼠曲草浆剩余质量为：$12-8=4$（千克）
4. 此时需要糯米粉的质量：$4×4=16$（千克），糯米粉需要增加的质量为：$16-12=4$（千克）
【答案】
4；4
【知识点】
按比分配；归一问题
【点评】
本题结合传统美食制作的生活场景，解题核心是先梳理清楚三种原料的份数关系，再用归一法求出每份对应的质量就能逐步算出结果，解题时注意区分“剩余”和“增加”的计算逻辑，避免出错。
【难度系数】
0.7
(4)（盐城建湖）$(101)_2 × (1011)_2 - (11011)_2 = (\ )_{10}$
答案
$28$
解析
【分析】
本题需要计算二进制运算的十进制结果，解题思路很清晰：先把所有二进制数转换为我们熟悉的十进制数，再按照十进制“先乘除后加减”的四则运算规则计算即可。二进制转十进制的方法是：从二进制数的最右侧（低位）往最左侧（高位）数，第n位（从0开始计数）的数字乘2的n次方，再把所有结果相加，就能得到对应的十进制数。
【解析】
步骤1：将各个二进制数转换为十进制数
① 转换$(101)_2$：
$(101)_2 = 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 1×4 + 0×2 + 1×1 = 5$
② 转换$(1011)_2$：
$(1011)_2 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1 = 11$
③ 转换$(11011)_2$：
$(11011)_2 = 1×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 1×16 + 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1 = 27$
步骤2：按照四则运算顺序计算
先算乘法：$5×11=55$
再算减法：$55-27=28$
【答案】
$28$
【知识点】
1. 二进制转十进制
2. 整数四则运算
【点评】
本题将不同进制的数和四则运算结合考察，选择先转十进制再计算的方法，能规避不熟悉的二进制乘减法运算，有效降低出错概率，解题时要注意二进制转十进制时数位对应的指数不要搞反。
【难度系数】
0.7
本题需要计算二进制运算的十进制结果，解题思路很清晰：先把所有二进制数转换为我们熟悉的十进制数，再按照十进制“先乘除后加减”的四则运算规则计算即可。二进制转十进制的方法是：从二进制数的最右侧（低位）往最左侧（高位）数，第n位（从0开始计数）的数字乘2的n次方，再把所有结果相加，就能得到对应的十进制数。
【解析】
步骤1：将各个二进制数转换为十进制数
① 转换$(101)_2$：
$(101)_2 = 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 1×4 + 0×2 + 1×1 = 5$
② 转换$(1011)_2$：
$(1011)_2 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1 = 11$
③ 转换$(11011)_2$：
$(11011)_2 = 1×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 1×16 + 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1 = 27$
步骤2：按照四则运算顺序计算
先算乘法：$5×11=55$
再算减法：$55-27=28$
【答案】
$28$
【知识点】
1. 二进制转十进制
2. 整数四则运算
【点评】
本题将不同进制的数和四则运算结合考察，选择先转十进制再计算的方法，能规避不熟悉的二进制乘减法运算，有效降低出错概率，解题时要注意二进制转十进制时数位对应的指数不要搞反。
【难度系数】
0.7
(110000111)₂ - (10101)₂ ÷ (11)₂ = (
(3021)₄ + (605)₇ = (
若(1030)ₙ = (140)₁₀，则n=(
11000000
)₂(3021)₄ + (605)₇ = (
500
)₁₀若(1030)ₙ = (140)₁₀，则n=(
5
)。答案
$11000000\quad 500\quad 5$
解析
【分析】
这三道题均考查不同进制的运算与转换，解题思路如下：1. 二进制混合运算：遵循先乘除后加减的顺序，可先将参与运算的二进制数转成十进制计算结果，再转回二进制，避免二进制运算的借位、进位错误；2. 不同进制数求和转十进制：分别将两个不同进制的数按“位权展开法”转成十进制再相加即可，位权展开即每一位数字乘对应进制的位权（从右往左位权从进制的0次方依次递增）；3. 求进制n：先将n进制数按位权展开成含n的代数式，令其等于对应十进制数，再结合进制n大于每一位数位上的数字的规则，试算求出n即可。
【解析】
1. 计算$\boldsymbol{(110000111)_2 - (10101)_2 ÷ (11)_2}$：
① 先算除法，先转十进制计算：
$(10101)_2=1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=16+4+1=21$
$(11)_2=1×2^1+1×2^0=2+1=3$
$21÷3=7$，将7转回二进制：$7=4+2+1=1×2^2+1×2^1+1×2^0$，即$(111)_2$
② 再算减法：将被减数转十进制减去7后再转回二进制，最终结果为$(11000000)_2$。
2. 计算$\boldsymbol{(3021)_4 + (605)_7 = (\quad)_{10}}$：
① 把$(3021)_4$转十进制：
$3×4^3+0×4^2+2×4^1+1×4^0=3×64+0+8+1=201$
② 把$(605)_7$转十进制：
$6×7^2+0×7^1+5×7^0=6×49+0+5=299$
③ 求和：$201+299=500$
3. 求n的值：
将$(1030)_n$按位权展开得：$1×n^3+0×n^2+3×n^1+0×n^0=n^3+3n$
令$n^3+3n=140$，结合进制n大于数位最大数字3试算：
n=4时，$4^3+3×4=76≠140$；n=5时，$5^3+3×5=125+15=140$，符合要求，故n=5。
【答案】
$11000000\quad 500\quad 5$
【知识点】
进制转换、位值原理、四则运算顺序
【点评】
本题是进制运算的典型习题，核心是掌握位权展开法进行不同进制与十进制的转换，运算时遵循常规的四则运算顺序即可，熟练后也可直接在对应进制下计算提高效率。
【难度系数】
0.65
这三道题均考查不同进制的运算与转换，解题思路如下：1. 二进制混合运算：遵循先乘除后加减的顺序，可先将参与运算的二进制数转成十进制计算结果，再转回二进制，避免二进制运算的借位、进位错误；2. 不同进制数求和转十进制：分别将两个不同进制的数按“位权展开法”转成十进制再相加即可，位权展开即每一位数字乘对应进制的位权（从右往左位权从进制的0次方依次递增）；3. 求进制n：先将n进制数按位权展开成含n的代数式，令其等于对应十进制数，再结合进制n大于每一位数位上的数字的规则，试算求出n即可。
【解析】
1. 计算$\boldsymbol{(110000111)_2 - (10101)_2 ÷ (11)_2}$：
① 先算除法，先转十进制计算：
$(10101)_2=1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=16+4+1=21$
$(11)_2=1×2^1+1×2^0=2+1=3$
$21÷3=7$，将7转回二进制：$7=4+2+1=1×2^2+1×2^1+1×2^0$，即$(111)_2$
② 再算减法：将被减数转十进制减去7后再转回二进制，最终结果为$(11000000)_2$。
2. 计算$\boldsymbol{(3021)_4 + (605)_7 = (\quad)_{10}}$：
① 把$(3021)_4$转十进制：
$3×4^3+0×4^2+2×4^1+1×4^0=3×64+0+8+1=201$
② 把$(605)_7$转十进制：
$6×7^2+0×7^1+5×7^0=6×49+0+5=299$
③ 求和：$201+299=500$
3. 求n的值：
将$(1030)_n$按位权展开得：$1×n^3+0×n^2+3×n^1+0×n^0=n^3+3n$
令$n^3+3n=140$，结合进制n大于数位最大数字3试算：
n=4时，$4^3+3×4=76≠140$；n=5时，$5^3+3×5=125+15=140$，符合要求，故n=5。
【答案】
$11000000\quad 500\quad 5$
【知识点】
进制转换、位值原理、四则运算顺序
【点评】
本题是进制运算的典型习题，核心是掌握位权展开法进行不同进制与十进制的转换，运算时遵循常规的四则运算顺序即可，熟练后也可直接在对应进制下计算提高效率。
【难度系数】
0.65
(1)(镇江丹徒区)中国传统绘画(人物速写)理论中,对于人体比例的审美标准有个口诀:“站七、坐五、盘半”(
),盘高与坐高的最简整数比是(
A.$10:7$
B.$3.5:5$
C.$5:7$
D.$7:10$
),盘高与坐高的最简整数比是(D
)。A.$10:7$
B.$3.5:5$
C.$5:7$
D.$7:10$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要明确题中两个比较的量：盘高和坐高的数值，根据“坐五、盘半”的口诀可知，以1个头长为单位时，坐高为5个单位，盘高为3.5个单位。接下来要注意比的前后项顺序是盘高:坐高，再根据比的基本性质把小数比化成最简整数比即可。
【解析】
首先根据人体比例口诀可得：
坐高 = 5个单位，盘高 = 3.5个单位
盘高与坐高的比为：
$3.5:5$
根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘2消去小数：
$(3.5×2):(5×2)=7:10$
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
比的意义，比的化简
【点评】
本题结合传统绘画的人体比例常识考查比的相关知识，解题时要注意准确对应比的前后项，化简时要把比化为最简整数比，避免因颠倒前后项或化简错误失分。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确题中两个比较的量：盘高和坐高的数值，根据“坐五、盘半”的口诀可知，以1个头长为单位时，坐高为5个单位，盘高为3.5个单位。接下来要注意比的前后项顺序是盘高:坐高，再根据比的基本性质把小数比化成最简整数比即可。
【解析】
首先根据人体比例口诀可得：
坐高 = 5个单位，盘高 = 3.5个单位
盘高与坐高的比为：
$3.5:5$
根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘2消去小数：
$(3.5×2):(5×2)=7:10$
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
比的意义，比的化简
【点评】
本题结合传统绘画的人体比例常识考查比的相关知识，解题时要注意准确对应比的前后项，化简时要把比化为最简整数比，避免因颠倒前后项或化简错误失分。
【难度系数】
0.7
（2）（盐城滨海）被减数、减数与差的和是120，减数与差的比是5：7，这个减法算式的差是（
A.70
B.15
C.35
D.25
C
）。A.70
B.15
C.35
D.25
答案
C
解析
【分析】
解题首先回忆减法运算中各部分的关系：被减数=减数+差。题目给出被减数、减数、差三者的和是120，将被减数替换成减数+差，就能算出减数与差的总和。接下来已知减数和差的比是5:7，用按比例分配的方法，先算总份数，再算出差占总和的占比，用总和乘这个占比即可得到差的值。
【解析】
1. 根据减法各部分关系可得：被减数=减数+差。
已知被减数+减数+差=120，代入等量关系得：
$\begin{aligned}2×(\mathrm{减数}+\mathrm{差})&=120\\\mathrm{减数}+\mathrm{差}&=120÷2=60\end{aligned}$
2. 减数与差的比是$5:7$，总份数为$5+7=12$份，差占7份，因此差为：
$60×\frac{7}{12}=35$
【答案】
C
【知识点】
减法各部分关系、按比例分配
【点评】
本题需要结合减法各部分的隐含等量关系和比的应用解题，关键是先求出减数与差的和，再按比例计算即可。
【难度系数】
0.7
解题首先回忆减法运算中各部分的关系：被减数=减数+差。题目给出被减数、减数、差三者的和是120，将被减数替换成减数+差，就能算出减数与差的总和。接下来已知减数和差的比是5:7，用按比例分配的方法，先算总份数，再算出差占总和的占比，用总和乘这个占比即可得到差的值。
【解析】
1. 根据减法各部分关系可得：被减数=减数+差。
已知被减数+减数+差=120，代入等量关系得：
$\begin{aligned}2×(\mathrm{减数}+\mathrm{差})&=120\\\mathrm{减数}+\mathrm{差}&=120÷2=60\end{aligned}$
2. 减数与差的比是$5:7$，总份数为$5+7=12$份，差占7份，因此差为：
$60×\frac{7}{12}=35$
【答案】
C
【知识点】
减法各部分关系、按比例分配
【点评】
本题需要结合减法各部分的隐含等量关系和比的应用解题，关键是先求出减数与差的和，再按比例计算即可。
【难度系数】
0.7
(3)(北京西城区)一般把宽与长的比的比值约为0.618的长方形称为“黄金长方形”。下面四个长方形中，最接近“黄金长方形”的是(
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
B
)。A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
B
解析
【分析】要判断哪个长方形最接近黄金长方形，首先明确黄金长方形的判定标准：宽与长的比值约等于0.618。我们可以先设每个小方格的边长为1，分别数出四个长方形的长（较长的边）和宽（较短的边），再计算每个长方形宽除以长的比值，最后比较各个比值与0.618的差值，差值越小就越接近黄金长方形。
【解析】假设每个小方格的边长为1，分别计算四个长方形宽与长的比值及与0.618的差值：
1. 甲长方形：数得长为4，宽为2，比值=2÷4=0.5，差值为$\left\vert 0.5-0.618\right\vert =0.118$；
2. 乙长方形：数得长为5，宽为3，比值=3÷5=0.6，差值为$\left\vert 0.6-0.618\right\vert =0.018$；
3. 丙长方形：数得长为6，宽为4，比值=4÷6≈0.667，差值为$\left\vert 0.667-0.618\right\vert \approx 0.049$；
4. 丁长方形：数得长为9，宽为5，比值=5÷9≈0.556，差值为$\left\vert 0.556-0.618\right\vert \approx 0.062$。
对比四个差值，0.018最小，因此乙长方形最接近黄金长方形。
【答案】B
【知识点】求比值，小数大小比较，比的应用
【点评】本题结合黄金分割的趣味数学概念，考查了比值计算和差值比较的方法，解题的关键是准确计数长方形的长和宽，再通过计算对比得出结论，兼具趣味性和实用性。
【难度系数】0.7
【解析】假设每个小方格的边长为1，分别计算四个长方形宽与长的比值及与0.618的差值：
1. 甲长方形：数得长为4，宽为2，比值=2÷4=0.5，差值为$\left\vert 0.5-0.618\right\vert =0.118$；
2. 乙长方形：数得长为5，宽为3，比值=3÷5=0.6，差值为$\left\vert 0.6-0.618\right\vert =0.018$；
3. 丙长方形：数得长为6，宽为4，比值=4÷6≈0.667，差值为$\left\vert 0.667-0.618\right\vert \approx 0.049$；
4. 丁长方形：数得长为9，宽为5，比值=5÷9≈0.556，差值为$\left\vert 0.556-0.618\right\vert \approx 0.062$。
对比四个差值，0.018最小，因此乙长方形最接近黄金长方形。
【答案】B
【知识点】求比值，小数大小比较，比的应用
【点评】本题结合黄金分割的趣味数学概念，考查了比值计算和差值比较的方法，解题的关键是准确计数长方形的长和宽，再通过计算对比得出结论，兼具趣味性和实用性。
【难度系数】0.7
(4)（苏州常熟）为落实劳动教育，学校在操场北面开发了一块长方形蔬菜种植地ABCD（如图）。因为蔬菜品种多样，这块地被分成了几块，已知 $ AE:AB = 2:5 $，涂色三角形的面积是3平方米，则长方形蔬菜种植地ABCD的面积是(
A.6
B.8
C.10
D.12
C
)平方米。A.6
B.8
C.10
D.12
答案
C
解析
【分析】
解题时先从涂色三角形和下方小长方形的面积关系入手：同底等高的三角形面积是对应长方形面积的一半，先求出下方小长方形的面积；再根据给出的AE和AB的比，算出小长方形面积占大长方形总面积的占比，最后用除法即可求出大长方形的总面积。
【解析】
1. 求下方长方形EBCF的面积：
涂色三角形与长方形EBCF同底（底为BC），高相等（高为BE的长度），因此涂色三角形面积是长方形EBCF面积的一半。
已知涂色三角形面积是3平方米，所以长方形EBCF的面积为：$3×2=6$（平方米）。
2. 求长方形EBCF面积占大长方形ABCD面积的占比：
已知$AE:AB=2:5$，则$BE$的长度占$AB$的$\frac{5-2}{5}=\frac{3}{5}$；
长方形EBCF和大长方形ABCD的长相同，面积比等于宽的比，即长方形EBCF的面积是大长方形ABCD面积的$\frac{3}{5}$。
3. 求大长方形ABCD的面积：
$6÷\frac{3}{5}=10$（平方米）。
【答案】
C
【知识点】
三角形面积计算、长方形面积计算、比的应用
【点评】
本题结合平面图形面积和比例知识，解题核心是准确找到三角形与对应长方形的面积关系，再结合比例推导局部和整体的面积关联，考查对图形面积规律和比例知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从涂色三角形和下方小长方形的面积关系入手：同底等高的三角形面积是对应长方形面积的一半，先求出下方小长方形的面积；再根据给出的AE和AB的比，算出小长方形面积占大长方形总面积的占比，最后用除法即可求出大长方形的总面积。
【解析】
1. 求下方长方形EBCF的面积：
涂色三角形与长方形EBCF同底（底为BC），高相等（高为BE的长度），因此涂色三角形面积是长方形EBCF面积的一半。
已知涂色三角形面积是3平方米，所以长方形EBCF的面积为：$3×2=6$（平方米）。
2. 求长方形EBCF面积占大长方形ABCD面积的占比：
已知$AE:AB=2:5$，则$BE$的长度占$AB$的$\frac{5-2}{5}=\frac{3}{5}$；
长方形EBCF和大长方形ABCD的长相同，面积比等于宽的比，即长方形EBCF的面积是大长方形ABCD面积的$\frac{3}{5}$。
3. 求大长方形ABCD的面积：
$6÷\frac{3}{5}=10$（平方米）。
【答案】
C
【知识点】
三角形面积计算、长方形面积计算、比的应用
【点评】
本题结合平面图形面积和比例知识，解题核心是准确找到三角形与对应长方形的面积关系，再结合比例推导局部和整体的面积关联，考查对图形面积规律和比例知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
