2026年思维新观察八年级数学上册人教版第35页答案

1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC，BD相交于点O，若AC=BD，求证：AD=BC.

答案

1.证明:连接AB，

解析

【分析】
要证明AD=BC，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察现有图形，△AOD和△BOC缺少足够的全等判定条件，因此考虑添加辅助线连接AB，构造Rt△ABD和Rt△BAC。由已知的垂直关系可得两个三角形均为直角三角形，二者有公共斜边AB，结合题设给出的AC=BD，可利用HL定理证明两个直角三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可推出AD=BC。
【解析】
证明：连接AB，
∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ BAC$中，
$\begin{cases}AB=BA \\AC=BD\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ BAC(\mathrm{HL})$，
∴AD=BC。
【答案】
1.证明:连接AB，

$\because AC⊥ BC,BD⊥ AD$,
$\therefore ∠ ADB=∠ BCA=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ BAC$中,$\begin{cases} AB=BA, \\ AC=BD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ BAC(\mathrm{HL})$,
$\therefore AD=BC.$
【知识点】
HL全等判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础应用题，解题核心是合理添加辅助线构造出含公共斜边的直角三角形，结合HL定理完成全等证明即可得到结论，能有效训练学生合理添加辅助线、灵活选用全等判定方法的能力。
【难度系数】
0.8

2.如图,在△ABC中,点D为BC中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若DE=DF,求证:AB=AC.

答案

2.证明:连接AD，

解析

【分析】
要证明AB=AC，可将AB拆分为AE+BE，AC拆分为AF+CF，只需证明AE=AF、BE=CF即可。已知DE⊥AB、DF⊥AC，图中存在多个直角三角形，结合已知DE=DF、D是BC中点（即BD=CD），还有公共边AD，可通过HL定理分别证明两组直角三角形全等，得到对应边相等，进而推导出AB=AC，解题时首先连接AD构造全等直角三角形。
【解析】
证明：连接AD，
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠AED=∠AFD=∠BED=∠CFD=90°，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ ADF$中，
$\begin{cases} AD=AD \\ DE=DF \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL})$，
∴ $AE=AF$，
∵ 点D为BC中点，
∴ $BD=CD$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\begin{cases} BD=CD \\ DE=DF \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
∴ $BE=CF$，
∴ $AE+BE=AF+CF$，即$AB=AC$。
【答案】
证明:连接AD，

$\because ∠ AED=∠ AFD=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ ADF$中，
$\begin{cases} AD=AD, \\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL})$,
$\therefore AE=AF$,
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中,$\begin{cases} BD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌△ CDF(\mathrm{HL})$,
$\therefore BE=CF,\therefore AB=AC.$
【知识点】
HL定理，全等三角形的性质，中点的定义
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，核心考查直角三角形全等的HL判定方法，需要学生掌握辅助线的构造思路，通过拆分待证线段为两组相等线段的和，结合全等三角形的性质完成证明，有助于巩固直角三角形全等判定的相关知识。
【难度系数】
0.8

3.如图，五边形ABCDE中，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，AP⊥CD于P，求证：P为CD的中点。

答案

3.证明:连接AC,AD，

解析

【分析】
要证明P是CD的中点，本质是要证CP=DP，可通过证明线段所在的三角形全等推导。首先观察已知条件：AB=AE、∠B=∠E、BC=ED，恰好满足SAS全等判定的条件，因此优先考虑连接AC、AD，先证△ABC≌△AED得到AC=AD，此时△ACD为等腰三角形，结合AP⊥CD的条件，可进一步证明两个直角三角形△ACP和△ADP全等，从而得到CP=DP，完成证明。
【解析】
证明：连接AC,AD，

在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠ B=∠ E, \\ BC=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AED(\mathrm{SAS})$，由此可得$AC=AD$，
又$\because AP⊥ CD$，$\therefore ∠ APC=∠ APD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACP$和$\mathrm{Rt}△ ADP$中，$\begin{cases} AC=AD, \\ AP=AP, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACP≌\mathrm{Rt}△ ADP(\mathrm{HL})$，
$\therefore CP=DP$，即P为CD的中点。
【答案】
3.证明:连接AC,AD，

在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠ B=∠ E, \\ BC=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AED(\mathrm{SAS}),\therefore AC=AD$,
又$\because ∠ APC=∠ APD=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ ACP$和$\mathrm{Rt}△ ADP$中,$\begin{cases} AC=AD, \\ AP=AP, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACP≌\mathrm{Rt}△ ADP(\mathrm{HL})$,
$\therefore CP=DP,\therefore P为CD的中点.$
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. HL判定直角三角形全等
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是典型的几何综合证明题，核心考查全等三角形判定与性质的运用，解题的关键是结合已知条件合理构造辅助线，将分散的条件整合到全等三角形中，能很好地锻炼学生的逻辑推理能力和几何图形分析能力。
【难度系数】
0.7

4.如图，$AD⊥BD$，$CE⊥AB$于点$E$，$AB=AC$，$AD=AE$，$CE$的延长线交$BD$于$F$点，
(1)求证:$DF=EF$；
(2)若$DF=1$，$BF=3$，求$CF$的长.

答案

4.证明:连接AF，

(1)$\because ∠ ADF=∠ AEF=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ AEF$中，
$\begin{cases} AF=AF, \\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ AEF(\mathrm{HL})$,
$\therefore DF=EF;$
(2)在$\mathrm{Rt}△ ADB$和$\mathrm{Rt}△ AEC$中,$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ ACE(\mathrm{HL})$,
$\therefore BD=CE=4;$
$CF=EF+CE=1+4=5.$

解析

【分析】
(1) 要证$DF=EF$，观察两条边分别在$Rt△ ADF$和$Rt△ AEF$中，两个三角形有公共斜边$AF$，且已知$AD=AE$，因此先连接$AF$，利用HL判定两个直角三角形全等，即可得到对应边相等。
(2) 已知$DF=1$，由(1)可得$EF=1$；先计算$BD$的长度，再通过HL证明$Rt△ ADB$和$Rt△ AEC$全等，得到$CE=BD$，最后将$CE$与$EF$相加即可求出$CF$的长。
【解析】
首先连接$AF$，

(1) 证明：
$\because AD⊥ BD$，$CE⊥ AB$，
$\therefore ∠ ADF=∠ AEF=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ AEF$中：
$\begin{cases} AF=AF\quad(\mathrm{公共边}) \\ AD=AE\quad(\mathrm{已知}) \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ AEF(\mathrm{HL})$，
$\therefore DF=EF$。
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ ADB$和$\mathrm{Rt}△ AEC$中：
$\begin{cases} AB=AC\quad(\mathrm{已知}) \\ AD=AE\quad(\mathrm{已知}) \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ ACE(\mathrm{HL})$，
$\therefore BD=CE$，
$\because DF=1$，$BF=3$，
$\therefore BD=DF+BF=1+3=4$，即$CE=4$，
由(1)得$EF=DF=1$，
$\therefore CF=CE+EF=4+1=5$。
【答案】
(1) $DF=EF$得证；
(2) $CF=5$
【知识点】
直角三角形全等的判定（HL），全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是合理构造辅助线得到全等三角形，通过全等转化边的数量关系即可求解，考查了学生对HL判定定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7

5.如图，$AD// BC$，$AD=BC$，点E在边AB上，$DE=AC$，$CF⊥ AB$于点F.求证:F是BE的中点.

答案

5.证明:过点D作$DH⊥ AB$交BA的延长线于点H，

解析

【分析】
要证明F是BE的中点，核心是证明$BF=EF$。首先观察已知条件：$AD// BC$、$AD=BC$、$CF⊥ AB$，我们可以通过过点D作$DH⊥ AB$交BA的延长线于H，构造两组全等三角形推导线段关系：第一步利用平行线的性质得到等角，结合直角和已知等边，证明$△ CBF$和$△ DAH$全等，得到$BF=AH$、$DH=CF$；第二步利用HL证明两个直角三角形$△ DEH$和$△ CAF$全等，得到$HE=AF$，再通过线段的和差推导得到$EF=BF$，即可完成证明。
【解析】
过点D作$DH⊥ AB$交BA的延长线于点H，
在$△ BCF$和$△ ADH$中，
$\begin{cases} ∠B=∠DAH（两直线平行，同位角相等）, \\ ∠BFC=∠AHD=90°, \\ BC=DA（已知）, \end{cases}$
$\therefore △ CBF≌△ DAH(\mathrm{AAS})$,
$\therefore BF=AH,DH=CF$,
在$\mathrm{Rt}△ DEH$和$\mathrm{Rt}△ CAF$中,
$\begin{cases} DE=AC（已知）, \\ DH=CF（已证）, \end{cases}$
$\therefore △ DEH≌△ CAF(\mathrm{HL})$,
$\therefore HE=AF$,
$\therefore HE - AE = AF - AE$，即$HA=EF$,
又$\because BF=AH$，$\therefore EF=BF$,
$\therefore F$是$BE$的中点。
【答案】
证明:过点D作$DH⊥ AB$交BA的延长线于点H，

在$△ BCF$和$△ ADH$中，
$\begin{cases} ∠ B=∠ DAH, \\ ∠ BFC=∠ AHD=90°, \\ BC=DA, \end{cases}$
$\therefore △ CBF≌△ DAH(\mathrm{AAS})$,
$\therefore BF=AH,DH=CF$,
在$\mathrm{Rt}△ DEH$和$\mathrm{Rt}△ CAF$中,$\begin{cases} DE=AC, \\ DH=CF, \end{cases}$
$\therefore △ DEH≌△ CAF(\mathrm{HL})$,
$\therefore HE=AF,\therefore HA=EF=BF$,
$\therefore F是BE的中点.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质、平行线的性质、HL判定直角三角形全等
【点评】
本题是全等三角形的典型应用题型，解题关键是通过作垂线构造全等三角形，结合已知条件逐步推导线段等量关系，有效考查了辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

扫码登录