【例1】下列判定两个直角三角形全等的方法中,不正确的是()

A.两条直角边分别对应相等
B.斜边和一锐角分别对应相等
C.斜边和一条直角边分别对应相等
D.两个三角形的面积相等

【例1】D

【分析】
解题思路如下：首先明确直角三角形是特殊的三角形，既适用普通三角形的全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），还有专属的HL判定定理；接下来逐一验证每个选项是否符合全等判定的要求，不符合的即为本题要选的不正确选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 两条直角边分别对应相等，再加上两个三角形的直角为公共夹角，满足SAS全等判定定理，可判定两个直角三角形全等，该选项正确；
B. 斜边和一锐角分别对应相等，再加上两个三角形的直角相等，满足AAS（或ASA）全等判定定理，可判定两个直角三角形全等，该选项正确；
C. 斜边和一条直角边分别对应相等，符合直角三角形专属的HL判定定理，可判定两个直角三角形全等，该选项正确；
D. 两个三角形面积相等仅能说明两直角边的乘积相等，无法推出边或角对应相等，例如直角边为3、4的直角三角形和直角边为2、6的直角三角形面积均为6，但两个三角形不全等，该选项错误。
本题要求选择不正确的判定方法，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直角三角形全等判定
2. 全等三角形的判定定理
3. HL定理
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对直角三角形全等判定方法的理解，解题时要注意全等判定的核心是对应边、对应角相等，不要被面积这类非判定条件迷惑。
【难度系数】
0.8

练习1.在课堂上，李老师发给每人一张印有$\mathrm{Rt}△ ABC$(如图1)的卡片，然后要求同学们画一个$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$，使得$\mathrm{Rt}△ A'B'C'≌\mathrm{Rt}△ ABC$.小宏同学先画出了$∠ MB'N=90°$，后续画图的主要过程如图2所示，这种画图方法的依据是.

练习1.HL

【分析】
首先明确本题需要判断尺规作全等直角三角形的判定依据，先回忆全等三角形的判定定理，其中直角三角形有特殊判定定理HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。接下来分析画图步骤：第一步先作出了与原直角三角形直角相等的∠B'=90°，后续操作分别得到相等的直角边B'C'=BC、相等的斜边A'C'=AC，符合HL的判定条件，即可确定依据。
【解析】
由画图过程可得：
1. 先作∠MB'N=90°，则∠B'=∠B=90°；
2. 在射线B'N上截取B'C'=BC，得到一组直角边对应相等；
3. 以点C'为圆心，AC的长为半径画弧，交射线B'M于点A'，因此A'C'=AC，得到斜边对应相等。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$中：
$\begin{cases}AC=A'C' \\BC=B'C'\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ A'B'C'$（HL）
故该画图方法的依据为HL。
【答案】
HL
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定（HL）
2. 尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图过程考查直角三角形全等的判定定理，解题关键是根据作图步骤找出对应相等的边和角，匹配对应的全等判定依据，属于对基础概念应用的考查。
【难度系数】
0.8

练习2.如图3,已知AD是$△ ABC$的BC边上的高,下列能使$\mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ ACD(\mathrm{HL})$的条件是()

A.$AB=AC$
B.$∠ BAC=90°$
C.$BD=CD$
D.$∠ B=45°$

练习2.A

【分析】
首先明确题干要求用HL定理判定两个直角三角形全等，先回忆HL定理的内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，该定理仅适用于直角三角形的全等判定。由AD是BC边上的高，可得△ABD和△ACD都是直角三角形，且二者有公共直角边AD，已经满足一条直角边相等的条件。若要符合HL的判定要求，需要补充斜边相等的条件，若补充另一条直角边相等则属于SAS判定，不符合题干要求的HL，据此逐一分析选项即可。
【解析】
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即△ABD和△ACD均为直角三角形，且AD是两个三角形共有的直角边，即AD=AD。
若使用HL判定两三角形全等，需满足斜边和一条直角边对应相等，因此只需补充斜边AB=AC即可，此时可证Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）。
对其余选项分析：
B选项∠BAC=90°，无法得到两个三角形的对应边相等，不能用HL判定全等；
C选项BD=CD，属于两条直角边对应相等，此时用SAS判定全等，不符合题干要求的HL判定；
D选项∠B=45°，仅能说明△ABD为等腰直角三角形，无法得到两三角形对应边相等，不能判定全等。
因此只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
HL判定定理、三角形高的定义、全等三角形判定
【点评】
本题重点考查对HL判定定理适用条件的理解，解题时要注意HL是直角三角形特有的判定方法，必须满足斜边和一条直角边对应相等，要注意和SAS等一般全等判定方法区分，避免混淆适用条件。
【难度系数】
0.7

练习3.如图4，$∠ BEC=∠ FCA=90°$，A，B，C在一条直线上，$BE=AC$，$BC=AF$，若$∠ CFA=35°$，则$∠ ECF$为()

A.$35°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$50°$

练习3.C

【分析】
解题时首先从已知条件入手，题目给出两个直角及两组边相等的条件，优先考虑直角三角形全等的HL判定定理：第一步先确定待证全等的两个直角三角形Rt△BEC和Rt△CAF；第二步用HL证明两三角形全等，得到对应角相等的关系；第三步结合A、B、C共线，∠FCA为90°的条件，利用平角的角度和关系计算∠ECF的度数即可。
【解析】
解：
∵$∠ BEC=∠ FCA=90°$，
∴$△ BEC$和$△ CAF$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BEC$和$\mathrm{Rt}△ CAF$中：
$\begin{cases} BE=AC \\ BC=AF \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ BEC≌\mathrm{Rt}△ CAF(\mathrm{HL})$，
∴$∠ BCE=∠ CFA=35°$。
∵点A、B、C在同一条直线上，
∴$∠ BCE+∠ ECF+∠ FCA=180°$，
将$∠ BCE=35°$，$∠ FCA=90°$代入得：
$∠ ECF=180°-35°-90°=55°$。
【答案】
C
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的性质；角度和差计算
【点评】
本题是全等三角形应用的常规基础题，解题关键是准确识别可证全等的直角三角形，利用HL得到对应角的等量关系，再结合直线上的角度和关系求解，解题时需注意找准全等三角形的对应角，避免角度对应错误。
【难度系数】
0.7

练习4.如图，∠ACB=∠DFE=90°,点D,A,F,C在同一直线上,F在AC上,AB=DE,DA=CF,求证:△ABC≌△DEF.

练习4.证明:$\because DA=CF$,
$\therefore DA+AF=CF+AF,\therefore DF=AC$,
$\because ∠ C=∠ DFE=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中,$\begin{cases} AB=DE, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL}).$

【分析】
要证明△ABC≌△DEF，首先观察到两个三角形都是直角三角形，已知斜边AB=DE，根据直角三角形全等的HL判定规则，还需要一组直角边对应相等。已知DA=CF，且D、A、F、C在同一直线上，给DA和CF同时加上公共线段AF，即可得到DF=AC，满足HL的判定条件，进而证明两个三角形全等。
【解析】
证明:$\because DA=CF$,
$\therefore DA+AF=CF+AF,\therefore DF=AC$,
$\because ∠ ACB=∠ DFE=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中,$\begin{cases} AB=DE, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL}).$
【答案】
$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF$，证明过程如上。
【知识点】
1. HL判定全等
2. 线段和差运算
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题关键是通过线段的和差关系推导出全等所需的直角边相等条件，熟练掌握直角三角形全等的HL判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

【例2】如图，已知$∠ A＝90°$，点$E$在$AC$上，$ED⊥ BC$于点$D$，$AB＝BD$，求证：$DE+CE＝AC$.

【例2】证明:连接BE，
$\because ∠ BAE=∠ BDE=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ DBE$中,$\begin{cases} BE=BE, \\ BA=BD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ DBE(\mathrm{HL})$,
$\therefore DE=AE.\therefore DE+CE=AE+CE=AC.$

【分析】
要证明$DE+CE=AC$，观察可得$AC=AE+CE$，因此只需证明$DE=AE$即可。要证明两条线段相等，可通过证明线段所在的三角形全等实现。已知$∠ A$和$∠ BDE$都是直角，且$AB=BD$，若连接公共边$BE$，可得到两个直角三角形$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ DBE$，结合已知的等边条件，可通过HL判定两三角形全等，得到$AE=DE$，等量代换后即可完成证明。
【解析】
证明：连接$BE$，
$\because ∠ BAE=∠ BDE=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ DBE$中，
$\begin{cases} BE=BE, \\ BA=BD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ DBE(\mathrm{HL})$，
$\therefore DE=AE$。
$\therefore DE+CE=AE+CE=AC$，原结论得证。
【答案】
证明:连接BE，
$\because ∠ BAE=∠ BDE=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ DBE$中,$\begin{cases} BE=BE, \\ BA=BD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ DBE(\mathrm{HL})$,
$\therefore DE=AE.\therefore DE+CE=AE+CE=AC.$
【知识点】
HL判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题，解题核心是通过连接辅助线构造全等直角三角形，将线段和的证明转化为对应边相等的证明，逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7