登录
1.(教材 P44T10 变式)如图,已知△ABC,利用直尺和圆规按要求作图.
(1)如图 1,在 AB 右侧作∠BAD=∠BAC,AD=AC(点 D 与点 C 在 AB 的不同侧);
(2)如图 2,在 AC 的延长线上作点 D,使∠CBD=∠ABC;
(3)如图 3,在 BC 的延长线上作点 D,使∠CAD=∠ABC;
(4)如图 4,在 AB 上作点 D,使∠ACD=∠ABC.
(1)如图 1,在 AB 右侧作∠BAD=∠BAC,AD=AC(点 D 与点 C 在 AB 的不同侧);
(2)如图 2,在 AC 的延长线上作点 D,使∠CBD=∠ABC;
(3)如图 3,在 BC 的延长线上作点 D,使∠CAD=∠ABC;
(4)如图 4,在 AB 上作点 D,使∠ACD=∠ABC.
答案
如图所示
解析
【分析】
本题考查尺规作图中作一个角等于已知角的应用，解题思路如下：
核心方法是掌握“作一个角等于已知角”的基本操作，作图前先明确每一问待作角的顶点、已知边、待作角的位置，若有线段等长要求，再结合圆规截取等长线段即可。
各小问思考方向：
(1) 以A为顶点、AB为已知边，在AB右侧作角等于∠BAC，得到射线AD后截取AD=AC即可；
(2) 以B为顶点、BC为已知边，作角等于∠ABC，所作射线与AC延长线的交点即为D；
(3) 以A为顶点、AC为已知边，作角等于∠ABC，所作射线与BC延长线的交点即为D；
(4) 以C为顶点、AC为已知边，作角等于∠ABC，所作射线与AB的交点即为D。
【解析】
依据“作一个角等于已知角”的基本步骤完成作图：
(1) ①以点A为圆心，取小于AC、AB长度的任意长为半径画弧，分别交AC、AB于两点；②保持半径不变，以A为圆心在AB右侧画弧，与AB交于一点，再以该点为圆心，前一步弧与AC、AB交点的连线长为半径画弧，两弧交点确定射线AD的方向；③以A为圆心，AC长为半径画弧，交射线AD于点D，完成作图。
(2) ①以点B为圆心，取小于BA、BC长度的任意长为半径画弧，分别交BA、BC于两点；②保持半径不变，以B为圆心，在BC与BA异侧的位置画弧，与BC交于一点，再以该点为圆心，前一步弧与BA、BC交点的连线长为半径画弧，两弧交点确定射线BD的方向；③射线BD与AC延长线的交点即为所求D。
(3) ①以B为圆心，任意长为半径画弧，交BA、BC于两点；②以A为圆心，相同长度为半径画弧，交AC于一点，再以该点为圆心，前一步弧与BA、BC交点的连线长为半径，在AC远离B的一侧画弧，两弧交点确定射线AD的方向；③射线AD与BC延长线的交点即为所求D。
(4) ①以B为圆心，任意长为半径画弧，交BA、BC于两点；②以C为圆心，相同长度为半径画弧，交AC于一点，再以该点为圆心，前一步弧与BA、BC交点的连线长为半径，在AC靠近AB的一侧画弧，两弧交点确定射线CD的方向；③射线CD与AB的交点即为所求D。
【答案】
如图所示
【知识点】
作一个角等于已知角，尺规作图，截取等长线段
【点评】
本题属于尺规作图基础题，重点考查对“作一个角等于已知角”这一基本作图技能的掌握，作图时需明确角的顶点、边的位置，找准交点即可正确完成，能有效巩固基础作图能力。
【难度系数】
0.7
本题考查尺规作图中作一个角等于已知角的应用，解题思路如下：
核心方法是掌握“作一个角等于已知角”的基本操作，作图前先明确每一问待作角的顶点、已知边、待作角的位置，若有线段等长要求，再结合圆规截取等长线段即可。
各小问思考方向：
(1) 以A为顶点、AB为已知边，在AB右侧作角等于∠BAC，得到射线AD后截取AD=AC即可；
(2) 以B为顶点、BC为已知边，作角等于∠ABC，所作射线与AC延长线的交点即为D；
(3) 以A为顶点、AC为已知边，作角等于∠ABC，所作射线与BC延长线的交点即为D；
(4) 以C为顶点、AC为已知边，作角等于∠ABC，所作射线与AB的交点即为D。
【解析】
依据“作一个角等于已知角”的基本步骤完成作图：
(1) ①以点A为圆心，取小于AC、AB长度的任意长为半径画弧，分别交AC、AB于两点；②保持半径不变，以A为圆心在AB右侧画弧，与AB交于一点，再以该点为圆心，前一步弧与AC、AB交点的连线长为半径画弧，两弧交点确定射线AD的方向；③以A为圆心，AC长为半径画弧，交射线AD于点D，完成作图。
(2) ①以点B为圆心，取小于BA、BC长度的任意长为半径画弧，分别交BA、BC于两点；②保持半径不变，以B为圆心，在BC与BA异侧的位置画弧，与BC交于一点，再以该点为圆心，前一步弧与BA、BC交点的连线长为半径画弧，两弧交点确定射线BD的方向；③射线BD与AC延长线的交点即为所求D。
(3) ①以B为圆心，任意长为半径画弧，交BA、BC于两点；②以A为圆心，相同长度为半径画弧，交AC于一点，再以该点为圆心，前一步弧与BA、BC交点的连线长为半径，在AC远离B的一侧画弧，两弧交点确定射线AD的方向；③射线AD与BC延长线的交点即为所求D。
(4) ①以B为圆心，任意长为半径画弧，交BA、BC于两点；②以C为圆心，相同长度为半径画弧，交AC于一点，再以该点为圆心，前一步弧与BA、BC交点的连线长为半径，在AC靠近AB的一侧画弧，两弧交点确定射线CD的方向；③射线CD与AB的交点即为所求D。
【答案】
如图所示
【知识点】
作一个角等于已知角，尺规作图，截取等长线段
【点评】
本题属于尺规作图基础题，重点考查对“作一个角等于已知角”这一基本作图技能的掌握，作图时需明确角的顶点、边的位置，找准交点即可正确完成，能有效巩固基础作图能力。
【难度系数】
0.7
2.(教材P44T9变式)利用直尺和圆规按下列要求作图.
(1)如图1,已知△ABC,过顶点A作BC的平行线;
(2)如图2,过△ABC的顶点C作AB的平行线;
(3)如图3,过直线AB外一点M作AB的平行线.
(1)如图1,已知△ABC,过顶点A作BC的平行线;
(2)如图2,过△ABC的顶点C作AB的平行线;
(3)如图3,过直线AB外一点M作AB的平行线.
答案
如图所示
解析
【分析】
要作已知直线的平行线，可依据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，借助尺规作一个角等于已知角的基本操作，构造出相等的同位角（或内错角），即可得到所求平行线。三个小问的作图思路一致，先选取合适的截线，再在截线一侧作出与已知角相等的角，该角的另一边即为所求平行线。
【解析】
(1) 图1作图步骤：①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA、BC于两点；②以点A为圆心，和①中相同的长度为半径画弧，交AB于一点；③用圆规量取步骤①中两个交点的距离，以步骤②得到的交点为圆心，该距离为半径画弧，和步骤②的弧交于一点；④过点A和该交点作直线，所得直线就是BC的平行线。
(2) 图2作图步骤：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于两点；②以点C为圆心，和①中相同的长度为半径画弧，交AC于一点；③用圆规量取步骤①中两个交点的距离，以步骤②得到的交点为圆心，该距离为半径画弧，和步骤②的弧交于一点；④过点C和该交点作直线，所得直线就是AB的平行线。
(3) 图3作图步骤：①过点M作一条直线，与AB交于一点；②以该交点为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、所作截线于两点；③以点M为圆心，和②中相同的长度为半径画弧，交截线于一点；④用圆规量取步骤②中两个交点的距离，以步骤③得到的交点为圆心，该距离为半径画弧，和步骤③的弧交于一点；⑤过点M和该交点作直线，所得直线就是AB的平行线。
作图需保留全部作图痕迹。
【答案】
如图所示
【知识点】
作一个角等于已知角；平行线的判定；尺规基本作图
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，核心是通过构造等角得到平行线的判定条件，需要熟练掌握作一个角等于已知角的操作步骤，作图时要注意保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
要作已知直线的平行线，可依据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，借助尺规作一个角等于已知角的基本操作，构造出相等的同位角（或内错角），即可得到所求平行线。三个小问的作图思路一致，先选取合适的截线，再在截线一侧作出与已知角相等的角，该角的另一边即为所求平行线。
【解析】
(1) 图1作图步骤：①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA、BC于两点；②以点A为圆心，和①中相同的长度为半径画弧，交AB于一点；③用圆规量取步骤①中两个交点的距离，以步骤②得到的交点为圆心，该距离为半径画弧，和步骤②的弧交于一点；④过点A和该交点作直线，所得直线就是BC的平行线。
(2) 图2作图步骤：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于两点；②以点C为圆心，和①中相同的长度为半径画弧，交AC于一点；③用圆规量取步骤①中两个交点的距离，以步骤②得到的交点为圆心，该距离为半径画弧，和步骤②的弧交于一点；④过点C和该交点作直线，所得直线就是AB的平行线。
(3) 图3作图步骤：①过点M作一条直线，与AB交于一点；②以该交点为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、所作截线于两点；③以点M为圆心，和②中相同的长度为半径画弧，交截线于一点；④用圆规量取步骤②中两个交点的距离，以步骤③得到的交点为圆心，该距离为半径画弧，和步骤③的弧交于一点；⑤过点M和该交点作直线，所得直线就是AB的平行线。
作图需保留全部作图痕迹。
【答案】
如图所示
【知识点】
作一个角等于已知角；平行线的判定；尺规基本作图
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，核心是通过构造等角得到平行线的判定条件，需要熟练掌握作一个角等于已知角的操作步骤，作图时要注意保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
3.(2026·江岸)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,以顶点$A$为圆心,适当长为半径画弧,分别交$AC$,$AB$于点$M$,$N$,再分别以点$M$,$N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧交于点$P$,作射线$AP$交$BC$于点$D$,若$△ ABC$的面积是$16$,$AB+AC=16$,求$CD$的长,并说明理由.
答案
解:连接 MP,NP,
在△AMP 和△ANP 中,$\begin{cases} AM=AN,\\ AP=AP,\\ MP=NP, \end{cases}$
$\therefore △ AMP≌ △ ANP,\therefore ∠ CAP=∠ BAP.$
过点 D 作 $DE⊥ AB$ 于点 E,在 $△ ACD$ 和 $△ AED$ 中,
$\begin{cases} ∠ C=∠ AED,\\ ∠ CAD=∠ DAE,\\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ AED,\therefore CD=DE,$
$16=\frac{1}{2}AC· CD+\frac{1}{2}AB· CD,\therefore CD=2.$
解析
【分析】
首先观察作图步骤，可判断该操作是作∠BAC的角平分线，因此AD为∠BAC的角平分线。根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过D作DE⊥AB于E，得到CD=DE。接下来△ABC的面积可拆分为△ACD和△ABD的面积之和，两个三角形的高分别为CD和DE（二者相等），底分别为AC和AB，结合已知的△ABC面积和AB+AC的长度，代入面积公式即可求出CD的长度。
【解析】
解：连接MP,NP,
在△AMP 和△ANP 中,
$\begin{cases} AM=AN,\\ AP=AP,\\ MP=NP, \end{cases}$
$\therefore △ AMP≌ △ ANP(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ CAP=∠ BAP$，即AD平分∠BAC。
过点 D 作 $DE⊥ AB$ 于点 E，
在 $△ ACD$ 和 $△ AED$ 中,
$\begin{cases} ∠ C=∠ AED=90°,\\ ∠ CAD=∠ DAE,\\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ AED(\mathrm{AAS}),\therefore CD=DE,$
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ACD}+S_{△ ABD}$，
∴$16=\frac{1}{2}AC· CD+\frac{1}{2}AB· DE$，
又
∵CD=DE，
∴$16=\frac{1}{2}CD·(AC+AB)$，
代入AB+AC=16，得$16=\frac{1}{2}×CD×16$，
解得CD=2。
【答案】
CD的长为2，
【知识点】
角平分线尺规作图，全等三角形判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了尺规作图的识别、全等三角形的证明以及面积法的应用，解题的关键是先识别出AD是角平分线，再利用角平分线的性质得到相等的高，通过拆分三角形面积建立等式求解，需熟练掌握角平分线的相关性质，学会灵活运用面积法解决线段长度问题。
【难度系数】
0.6
首先观察作图步骤，可判断该操作是作∠BAC的角平分线，因此AD为∠BAC的角平分线。根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过D作DE⊥AB于E，得到CD=DE。接下来△ABC的面积可拆分为△ACD和△ABD的面积之和，两个三角形的高分别为CD和DE（二者相等），底分别为AC和AB，结合已知的△ABC面积和AB+AC的长度，代入面积公式即可求出CD的长度。
【解析】
解：连接MP,NP,
在△AMP 和△ANP 中,
$\begin{cases} AM=AN,\\ AP=AP,\\ MP=NP, \end{cases}$
$\therefore △ AMP≌ △ ANP(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ CAP=∠ BAP$，即AD平分∠BAC。
过点 D 作 $DE⊥ AB$ 于点 E，
在 $△ ACD$ 和 $△ AED$ 中,
$\begin{cases} ∠ C=∠ AED=90°,\\ ∠ CAD=∠ DAE,\\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ AED(\mathrm{AAS}),\therefore CD=DE,$
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ACD}+S_{△ ABD}$，
∴$16=\frac{1}{2}AC· CD+\frac{1}{2}AB· DE$，
又
∵CD=DE，
∴$16=\frac{1}{2}CD·(AC+AB)$，
代入AB+AC=16，得$16=\frac{1}{2}×CD×16$，
解得CD=2。
【答案】
CD的长为2，
【知识点】
角平分线尺规作图，全等三角形判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了尺规作图的识别、全等三角形的证明以及面积法的应用，解题的关键是先识别出AD是角平分线，再利用角平分线的性质得到相等的高，通过拆分三角形面积建立等式求解，需熟练掌握角平分线的相关性质，学会灵活运用面积法解决线段长度问题。
【难度系数】
0.6
