【典例1】如图，$∠ 1=∠ 2$，$∠ B=∠ D$，求证：$AB=CD$。

证明:在$△ ABC$和$△ CDA$中,$\begin{cases}∠ 1=∠ 2,\\∠ B=∠ D,\\AC=CA,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ CDA(\mathrm{AAS}),\therefore AB=CD.$

【分析】
要证明两条线段相等，常用方法是证明这两条线段所在的三角形全等，借助全等三角形对应边相等得到结论。首先观察可得AB在$△ ABC$中，CD在$△ CDA$中，题目已给出两组对应角相等：$∠ 1=∠ 2$，$∠ B=∠ D$，同时两个三角形有公共边$AC=CA$，满足角角边（AAS）的全等判定条件，因此先证两个三角形全等，再推导对应边相等即可。
【解析】
证明：在$△ ABC$和$△ CDA$中，
$\begin{cases}∠ 1=∠ 2,\\∠ B=∠ D,\\AC=CA,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ CDA(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AB=CD$。
【答案】
$AB=CD$得证
【知识点】
AAS判定三角形全等、全等三角形对应边相等
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题关键是准确找到待证边所属的三角形，挖掘出公共边相等这一隐含条件，结合已知的角相等条件判定全等，即可得到对应边相等的结论。
【难度系数】
0.8

变式.如图，$∠1=∠2$，$∠3=∠4$，求证:$AC=AD$.

证明:$\because ∠ 3=∠ 4,\therefore ∠ ABD=∠ ABC,$
在$△ ABD$和$△ ABC$中,$\begin{cases}∠ 1=∠ 2,\\AB=AB,\\∠ ABD=∠ ABC,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ABC(\mathrm{ASA}),\therefore AC=AD.$

【分析】
要证明$AC=AD$，可通过证明$AC$、$AD$所在的$△ ABC$和$△ ABD$全等来实现。已知$∠1=∠2$，且$AB$是两个三角形的公共边，还缺少一组对应角相等的条件；由已知$∠3=∠4$，根据等角的补角相等，可推出$∠ABD=∠ABC$，此时满足角边角（ASA）的全等判定条件，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到$AC=AD$。
【解析】
证明：$\because ∠ 3=∠ 4$，
$\therefore 180°-∠3=180°-∠4$，即$∠ ABD=∠ ABC$，
在$△ ABD$和$△ ABC$中，
$\begin{cases}∠ 1=∠ 2,\\AB=AB,\\∠ ABD=∠ ABC,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ABC(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AC=AD$。
【答案】
$AC=AD$
【知识点】
1. 补角的性质
2. 全等三角形ASA判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题关键是通过等角的补角相等推导得到全等所需的对应角相等，结合已知角相等和公共边，利用ASA判定三角形全等，进而得到对应边相等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.8

点E，交AD于点F，BC＝AB，BD＝BE，求证：CF⊥AD.

证明:在$△ CBE$和$△ ABD$中,$\begin{cases}BC=BA,\\∠ CBE=∠ ABD,\\BE=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CBE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ C=∠ A,$而$∠ CEB=∠ AEF,$
$\therefore ∠ AFE=90°,\therefore CF⊥ AD.$

【分析】
要证明CF⊥AD，即需证∠AFE=90°。首先观察已知条件：BC=AB，BD=BE，且AB⊥CD可得∠CBE=∠ABD=90°，可先通过SAS判定△CBE与△ABD全等，得到对应角∠C=∠A；再结合对顶角∠CEB=∠AEF，利用直角三角形两锐角互余的性质，可推出∠A+∠AEF=90°，即可得到∠AFE=90°，完成证明。
【解析】
证明：首先由AB垂直CD可得∠CBE=∠ABD=90°，结合已知的边相等条件，可先证三角形全等：
在$△ CBE$和$△ ABD$中，
$\begin{cases}BC=BA\\∠ CBE=∠ ABD\\BE=BD\end{cases}$
根据SAS判定定理可得$△ ABD≌△ CBE$，由全等三角形对应角相等得$∠ C=∠ A$。
又因为∠CEB和∠AEF是对顶角，所以$∠ CEB=∠ AEF$，在Rt△CBE中$∠ C+∠ CEB=90°$，等量代换得$∠ A+∠ AEF=90°$，因此$∠ AFE=90°$，即CF⊥AD。
【答案】
证明:在$△ CBE$和$△ ABD$中,$\begin{cases}BC=BA,\\∠ CBE=∠ ABD,\\BE=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CBE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ C=∠ A,$而$∠ CEB=∠ AEF,$
$\therefore ∠ AFE=90°,\therefore CF⊥ AD.$
【知识点】
SAS判定全等、全等三角形的性质、垂直的判定
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题型，解题核心是通过证明三角形全等实现角的等量代换，再结合对顶角的性质推导直角，熟练掌握全等三角形的判定和性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

变式.如图，AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，求证：AB//CD.

证明:在$△ ABO$和$△ CDO$中,$\begin{cases}OA=OC,\\∠ AOB=∠ COD,\\OB=OD,\end{cases}$
$\therefore △ ABO≌△ CDO(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ A=∠ C,\therefore AB// CD.$

【分析】
要证明$AB// CD$，根据平行线的判定规则，需先证明内错角$∠ A=∠ C$。观察图形可知$∠ A$、$∠ C$分别在$△ ABO$和$△ CDO$中，题目已给出$OA=OC$、$OB=OD$，再结合对顶角相等可得$∠ AOB=∠ COD$，满足SAS全等判定的条件，证明两三角形全等后即可得到对应角相等，进而推出$AB$与$CD$平行。
【解析】
证明：在$△ ABO$和$△ CDO$中,
$\begin{cases}OA=OC,\\∠ AOB=∠ COD,\\OB=OD,\end{cases}$
$\therefore △ ABO≌△ CDO(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ A=∠ C,$
根据“内错角相等，两直线平行”，可得$AB// CD.$
【答案】
证明:在$△ ABO$和$△ CDO$中,$\begin{cases}OA=OC,\\∠ AOB=∠ COD,\\OB=OD,\end{cases}$
$\therefore △ ABO≌△ CDO(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ A=∠ C,\therefore AB// CD.$
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形和平行线判定相结合的基础题型，核心是通过已知的边相等条件结合对顶角相等证明三角形全等，再利用全等的性质得到内错角相等，进而证明平行，解题思路清晰，是巩固全等基础的典型习题。
【难度系数】
0.85

【典例3】如图，$AB=AD$，$AC=AE$，$∠ BAC=∠ DAE$，$BC$交$AE$于点$M$，$AC$交$DE$于点$N$，求证：$AM=AN$。

证明:在$△ ABC$和$△ ADE$中,$\begin{cases}AB=AD,\\∠ BAC=∠ DAE,\\AC=AE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ B=∠ D,$
在$△ ABM$和$△ ADN$中,$\begin{cases}∠ B=∠ D,\\AB=AD,\\∠ BAM=∠ DAN,\end{cases}$
$\therefore △ ABM≌△ ADN(\mathrm{ASA}),\therefore AM=AN.$

【分析】
要证明$AM=AN$，通常可证明两条线段所在的三角形全等，即证$△ ABM≌△ ADN$。目前仅已知$AB=AD$，缺少其余对应相等的条件，因此可先利用题干给出的$AB=AD$、$AC=AE$、$∠ BAC=∠ DAE$，通过SAS判定证明$△ ABC≌△ ADE$，得到$∠ B=∠ D$；再结合已知的$∠ BAM=∠ DAN$（即题干给出的$∠ BAC=∠ DAE$）和$AB=AD$，通过ASA判定证明$△ ABM≌△ ADN$，即可得到对应边$AM=AN$。
【解析】
证明：在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}AB=AD,\\∠ BAC=∠ DAE,\\AC=AE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ B=∠ D$。
在$△ ABM$和$△ ADN$中，
$\begin{cases}∠ B=∠ D,\\AB=AD,\\∠ BAM=∠ DAN,\end{cases}$
$\therefore △ ABM≌△ ADN(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AM=AN$。
【答案】
证明过程如上，可证得$AM=AN$。
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础典型题，需要通过两次全等推导结论，解题的关键是先利用已知的边角条件证明大三角形全等，得到角相等的过渡条件，再证明目标线段所在的小三角形全等，进而得到对应边相等。
【难度系数】
0.7

变式.如图，AB=CD，BC=DA，E，F是AC上的两点，且AE=CF.求证：BF=DE.

证明:在$△ ABC$和$△ CDA$中,$\begin{cases}AB=CD,\\BC=DA,\\AC=CA,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ CDA(\mathrm{SSS}),$
$\therefore ∠ BCA=∠ DAC,$
在$△ CBF$和$△ ADE$中,$\begin{cases}BC=DA,\\∠ BCF=∠ DAE,\\CF=AE,\end{cases}$
$\therefore △ CBF≌△ ADE(\mathrm{SAS}),\therefore BF=DE.$

【分析】
要证明两条线段相等，最常用的方法是证明两条线段所在的三角形全等。本题中待证的BF在△CBF中，DE在△ADE中，已知BC=DA、AE=CF，还缺一组对应夹角相等的条件。结合已知AB=CD、BC=DA，加公共边AC，可先通过SSS证明△ABC≌△CDA，得到对应角∠BCF=∠DAE，即可凑齐SAS判定△CBF和△ADE全等的条件，最终由全等性质得到BF=DE。
【解析】
证明:在$△ ABC$和$△ CDA$中,
$\begin{cases}AB=CD,\\BC=DA,\\AC=CA,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ CDA(\mathrm{SSS}),$
$\therefore ∠ BCA=∠ DAC,$
在$△ CBF$和$△ ADE$中,
$\begin{cases}BC=DA,\\∠ BCF=∠ DAE,\\CF=AE,\end{cases}$
$\therefore △ CBF≌△ ADE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore BF=DE.$
【答案】
$BF=DE$得证
【知识点】
SSS全等判定，SAS全等判定，全等三角形性质
【点评】
本题是全等证明的基础题型，需要通过两次全等推导得到结论，解题的核心是先利用已知边相等的条件证明大三角形全等，获取角相等的过渡条件，再证明目标三角形全等，考查对全等判定定理和性质的基础应用能力。
【难度系数】
0.8