【典例1】如图，$AD=AB$，$AC=AE$，$∠ DAB=∠ CAE$，求证：$CD=BE$。

证明:$\because ∠ DAB=∠ CAE,\therefore ∠ DAC=∠ BAE$,
在$△ ACD$和$△ AEB$中,$\begin{cases} AC=AE,\\ ∠ CAD=∠ BAE,\\ AD=AB, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ AEB(\mathrm{SAS}),\therefore CD=BE.$

【分析】
要证明线段$CD=BE$，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知$CD$在$△ ACD$中，$BE$在$△ AEB$中，因此解题目标转化为证明$△ ACD≌△ AEB$。已知$AD=AB$、$AC=AE$，还缺少两组对应边的夹角相等的条件；结合已知$∠ DAB=∠ CAE$，给两个等角同时加上公共角$∠ BAC$，即可得到$∠ DAC=∠ BAE$，凑齐SAS判定全等的条件，全等后根据对应边相等即可得证。
【解析】
证明:$\because ∠ DAB=∠ CAE$，$\therefore ∠ DAB+∠BAC=∠ CAE+∠BAC$，即$∠ DAC=∠ BAE$,
在$△ ACD$和$△ AEB$中,
$\begin{cases} AC=AE,\\ ∠ CAD=∠ BAE,\\ AD=AB, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ AEB(\mathrm{SAS})$,
$\therefore CD=BE$（全等三角形对应边相等）.
【答案】
证明:$\because ∠ DAB=∠ CAE,\therefore ∠ DAC=∠ BAE$,
在$△ ACD$和$△ AEB$中,$\begin{cases} AC=AE,\\ ∠ CAD=∠ BAE,\\ AD=AB, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ AEB(\mathrm{SAS}),\therefore CD=BE.$
【知识点】
SAS判定全等；全等三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题是手拉手全等模型的典型基础题，解题关键是利用已知等角结合公共角推导得到全等所需的夹角相等，再结合已知等边用SAS判定三角形全等，进而得到对应边相等，熟练掌握这类模型的推导逻辑能提升全等证明类题目的解题效率。
【难度系数】
0.8

变式.如图，$AB=AC$，$∠ BAC=∠ DAE$，$AD=AE$.求证：$BD=CE$.

证明:$\because ∠ BAC=∠ DAE,\therefore ∠ CAE=∠ BAD.$
在$△ ABD$和$△ ACE$中,$\begin{cases} AD=AE,\\ ∠ DAB=∠ CAE,\\ AB=AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ ACE(\mathrm{SAS}),\therefore BD=CE.$

【分析】
要证明BD=CE，通常可证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知，BD属于△ABD，CE属于△ACE，已知AB=AC、AD=AE，已有两组对应边相等，只需证明两边的夹角相等即可。已知∠BAC=∠DAE，两个角同时减去公共角∠BAE，可推出∠BAD=∠CAE，满足SAS全等判定条件，即可证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形对应边相等得到BD=CE。
【解析】
证明：$\because ∠ BAC=∠ DAE$，
$\therefore ∠ CAE=∠ BAD$。
在$△ ABD$和$△ ACE$中，
$\begin{cases} AD=AE,\\ ∠ DAB=∠ CAE,\\ AB=AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BD=CE$。
【答案】
$BD=CE$
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、角的和差计算
【点评】
本题是手拉手全等模型的基础应用，解题关键是利用已知的等角推导出全等需要的对应夹角相等，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

【典例2】如图，$CA=CB$，$CD=CE$，$∠ ACB=∠ DCE=90°$，$A$，$D$，$E$ 在一条直线上，求证：$BD⊥ AE$。

证明:$\because ∠ ACB=∠ DCE=90°,\therefore ∠ ACE=∠ DCB$,
在$△ ACE$和$△ BCD$中,$\begin{cases} AC=CB,\\ ∠ ACE=∠ BCD,\\ CE=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ACE≌ △ BCD(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ DAC=∠ DBC,\therefore ∠ ADB=90°,$
$\therefore BD⊥ AE.$

【分析】
要证明BD⊥AE，本质是证明BD与AE的夹角为90°，即∠ADB=90°。题目给出两组相等的边CA=CB、CD=CE，以及两个共顶点的直角∠ACB=∠DCE=90°，符合手拉手全等模型的特征，优先通过证明三角形全等推导角的关系：第一步，利用两个直角减去公共部分∠ACD，得到相等的夹角∠ACE=∠BCD；第二步，结合已知的等边条件，用SAS判定△ACE≌△BCD；第三步，利用全等三角形对应角相等得到∠CAE=∠CBD，再结合直角三角形两锐角互余的性质，推导∠DAB+∠DBA=90°，即可得到∠ADB=90°，完成证明。
【解析】
证明：
$\because ∠ ACB=∠ DCE=90°$，
$\therefore ∠ ACB-∠ ACD=∠ DCE-∠ ACD$，即$∠ ACE=∠ DCB$，
在$△ ACE$和$△ BCD$中：
$\begin{cases}AC=CB, \\∠ ACE=∠ BCD, \\CE=CD,\end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ BCD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ CAE=∠ CBD$，
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ CAB+∠ CBA=90°$，即$∠ CAE+∠ DAB+∠ CBA=90°$，
将$∠ CAE$替换为$∠ CBD$，可得：
$∠ CBD+∠ DAB+∠ CBA=∠ DAB+∠ DBA=90°$，
$\therefore ∠ ADB=180°-(∠ DAB+∠ DBA)=90°$，
$\therefore BD⊥ AE$。
【答案】
证明:$\because ∠ ACB=∠ DCE=90°,\therefore ∠ ACE=∠ DCB$,
在$△ ACE$和$△ BCD$中,$\begin{cases} AC=CB,\\ ∠ ACE=∠ BCD,\\ CE=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ACE≌ △ BCD(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ DAC=∠ DBC,\therefore ∠ ADB=90°,$
$\therefore BD⊥ AE.$
【知识点】
SAS判定全等，全等三角形的性质，垂直的判定
【点评】
本题属于典型的手拉手全等模型应用问题，解题关键是利用共顶点的等角推导全等所需的夹角相等，通过全等实现角的等量转化，进而证明垂直关系，熟练掌握该模型的特征可以快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.6

变式.如图，AC=BC，CD=CE，点D在AB上，∠ACB=∠DCE=90°，求证：BE⊥AB.

证明:$\because ∠ ACB=∠ DCE=90°,\therefore ∠ ACD=∠ BCE$,
在$△ ACD$和$△ BCE$中,$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠ ACD=∠ BCE,\\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ CBE=∠ A,\therefore ∠ DBE=90°,$
$\therefore BE⊥ AB.$

【分析】
要证明BE⊥AB，本质是证明∠ABE=90°。首先观察已知条件：存在共顶点C的两组等边AC=BC、CD=CE，且两个直角∠ACB、∠DCE共顶点，首先可通过两个直角减去公共角∠DCB，推导出夹角∠ACD=∠BCE，刚好满足SAS全等的判定条件，即可证明△ACD与△BCE全等。全等后对应角相等，可得∠CBE=∠A，再结合△ACB为等腰直角三角形，∠A与∠ABC的和为90°，等量代换即可得∠CBE+∠ABC=∠ABE=90°，从而证得垂直。
【解析】
证明：$\because ∠ACB=∠DCE=90°$，
$\therefore ∠ACD=∠BCE$，
在$△ ACD$和$△ BCE$中，
$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCE,\\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠CBE=∠A$，
$\therefore ∠DBE=90°$，
$\therefore BE⊥AB$。
【答案】
证明：$\because ∠ACB=∠DCE=90°$，
$\therefore ∠ACD=∠BCE$，
在$△ ACD$和$△ BCE$中，
$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCE,\\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠CBE=∠A$，
$\therefore ∠DBE=90°$，
$\therefore BE⊥AB$。
【知识点】
SAS全等判定、全等三角形的性质、垂直的判定
【点评】
本题是手拉手全等模型的基础应用题，解题核心是利用共顶点的等角推导相等的夹角，结合已知等边用SAS证明三角形全等，再通过全等的性质转化角的关系得出垂直结论，掌握全等三角形的判定和性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7

【典例3】如图，若$∠ NAC$是锐角时，请你求出$∠ DFA$的度数.
变式.如图，若$∠ NAC=135°$，$∠ ACE=15°$，求$∠ D$的度数.

解:$\because ∠ ECD=∠ ACB=60°$,
$\therefore ∠ DCB=∠ ACE$,
在$△ ACE$和$△ BCD$中,$\begin{cases} AC=CB,\\ ∠ ACE=∠ BCD,\\ CE=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ACE≌ △ BCD(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ CEA=∠ D,$
$\therefore ∠ DFE=∠ DCE=60°,\therefore ∠ DFA=120°.$
变式.解:同理可证
$△ ACE≌ △ BCD,\therefore ∠ AEC=∠ D=30°.$

【分析】
本题为手拉手全等模型的典型考题，解题思路可按以下步骤梳理：
1. 识别模型：题中隐含△ABC和△CDE为共顶点C的等边三角形，符合手拉手全等的特征，优先考虑用SAS证全等；
2. 推导等角：利用等边三角形内角都为60°的性质，通过等式性质（两个相等的角同时加/减同一个公共角，结果仍相等）得到△ACE和△BCD的夹角相等；
3. 典例求解：证完全等后，利用全等三角形对应角相等，结合三角形内角和推导得∠DFE和等边三角形内角相等，进而求出∠DFA的度数；
4. 变式求解：同理先证全等，将求∠D转化为求其对应角∠AEC的度数，结合已知角度计算即可得结果。
【解析】
典例解答：
$\because △ ABC$和$△ CDE$均为等边三角形，
$\therefore AC=CB$，$CE=CD$，$∠ ACB=∠ ECD=60°$，
$\therefore ∠ ACB-∠ BCE=∠ ECD-∠ BCE$，即$∠ DCB=∠ ACE$，
在$△ ACE$和$△ BCD$中，
$\begin{cases} AC=CB,\\ ∠ ACE=∠ BCD,\\ CE=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ACE≌ △ BCD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ CEA=∠ D$，
$\therefore ∠ DFE=∠ DCE=60°$，
$\therefore ∠ DFA=180°-∠ DFE=120°$。
变式解答：
同理可证$△ ACE≌ △ BCD$，
$\therefore ∠ AEC=∠ D$，
结合已知角度计算得$∠ AEC=30°$，
$\therefore ∠ D=30°$。
【答案】
典例：$∠ DFA=120°$；变式：$∠ D=30°$
【知识点】
SAS证全等；等边三角形性质；全等三角形性质
【点评】
本题是手拉手全等模型的基础应用题，核心是抓住共顶点的等线段和等角，通过SAS证明全等实现角度的转化，掌握模型后可快速梳理解题逻辑。
【难度系数】
0.7