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【典例1】如图，$AC⊥ BC$，$AC=BC$，$BE⊥ BC$，$AD⊥ CE$交$BC$于$D$，求证：$BE=CD$.
答案
证明:$\because ∠BCE+∠ACE=90^{\circ },∠A+∠ACE=90^{\circ },$
$\therefore ∠BCE=∠A,$
在$△ ACD$和$△ CBE$中,$\begin{cases} ∠A=∠BCE,\\ AC=CB,\\ ∠ACD=∠B, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ CBE(ASA),\therefore BE=CD.$
$\therefore ∠BCE=∠A,$
在$△ ACD$和$△ CBE$中,$\begin{cases} ∠A=∠BCE,\\ AC=CB,\\ ∠ACD=∠B, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ CBE(ASA),\therefore BE=CD.$
解析
【分析】
要证明$BE=CD$，可通过证明两条线段所在的$△ ACD$与$△ CBE$全等来推导。首先根据垂直的性质，可得$∠ ACD=∠ CBE=90°$，已知$AC=BC$，还需一组角相等；由$AD⊥ CE$可知$∠ A+∠ ACE=90°$，又$∠ BCE+∠ ACE=90°$，根据同角的余角相等可推出$∠ A=∠ BCE$，此时满足ASA全等判定条件，证得两三角形全等后即可得到对应边相等的结论。
【解析】
证明：$\because ∠BCE+∠ACE=90^{\circ },∠A+∠ACE=90^{\circ },$
$\therefore ∠BCE=∠A,$
又$\because AC⊥ BC,BE⊥ BC,$
$\therefore ∠ACD=∠CBE=90^{\circ },$
在$△ ACD$和$△ CBE$中,
$\begin{cases} ∠A=∠BCE,\\ AC=CB,\\ ∠ACD=∠CBE, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ CBE(\mathrm{ASA}),$
$\therefore BE=CD.$
【答案】
$BE=CD$
【知识点】
ASA判定全等、同角的余角相等、垂直的性质
【点评】
本题属于典型的三垂直全等模型问题，解题核心是利用垂直关系推导等角，结合已知边相等的条件证明三角形全等，进而得到对应边相等，熟练掌握该模型能大幅提升几何证明的解题效率。
【难度系数】
0.7
要证明$BE=CD$，可通过证明两条线段所在的$△ ACD$与$△ CBE$全等来推导。首先根据垂直的性质，可得$∠ ACD=∠ CBE=90°$，已知$AC=BC$，还需一组角相等；由$AD⊥ CE$可知$∠ A+∠ ACE=90°$，又$∠ BCE+∠ ACE=90°$，根据同角的余角相等可推出$∠ A=∠ BCE$，此时满足ASA全等判定条件，证得两三角形全等后即可得到对应边相等的结论。
【解析】
证明：$\because ∠BCE+∠ACE=90^{\circ },∠A+∠ACE=90^{\circ },$
$\therefore ∠BCE=∠A,$
又$\because AC⊥ BC,BE⊥ BC,$
$\therefore ∠ACD=∠CBE=90^{\circ },$
在$△ ACD$和$△ CBE$中,
$\begin{cases} ∠A=∠BCE,\\ AC=CB,\\ ∠ACD=∠CBE, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ CBE(\mathrm{ASA}),$
$\therefore BE=CD.$
【答案】
$BE=CD$
【知识点】
ASA判定全等、同角的余角相等、垂直的性质
【点评】
本题属于典型的三垂直全等模型问题，解题核心是利用垂直关系推导等角，结合已知边相等的条件证明三角形全等，进而得到对应边相等，熟练掌握该模型能大幅提升几何证明的解题效率。
【难度系数】
0.7
变式.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AB⊥ AC$,过$A$作直线$l$,$BD⊥ l$于$D$,$CE⊥ l$于$E$,求证:$DE=BD+CE.$
答案
证明:$\because ∠DAB+∠CAE=90^{\circ },$
$∠ACE+∠CAE=90^{\circ },\therefore ∠DAB=∠ACE,$
在$△ ABD$和$△ CAE$中,$\begin{cases} ∠DAB=∠ACE,\\ ∠ADB=∠AEC=90^{\circ },\\ AB=AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ CAE(AAS),BD=AE,AD=CE,$
$\therefore DE=AD+AE=BD+CE.$
$∠ACE+∠CAE=90^{\circ },\therefore ∠DAB=∠ACE,$
在$△ ABD$和$△ CAE$中,$\begin{cases} ∠DAB=∠ACE,\\ ∠ADB=∠AEC=90^{\circ },\\ AB=AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ CAE(AAS),BD=AE,AD=CE,$
$\therefore DE=AD+AE=BD+CE.$
解析
【分析】
要证明$DE=BD+CE$，可先将长线段$DE$拆分为$AD+AE$，只需证明$BD=AE$、$AD=CE$即可。观察图形存在多个直角：首先由$AB⊥ AC$可得$∠ DAB$与$∠ CAE$互余，由$CE⊥ l$可得$∠ ACE$与$∠ CAE$互余，根据同角的余角相等可推出$∠ DAB=∠ ACE$；再结合$BD⊥ l$、$CE⊥ l$得到两个直角相等，加上已知$AB=AC$的条件，可用AAS证明$△ ABD$和$△ CAE$全等，利用全等三角形对应边相等得到$BD=AE$、$AD=CE$，最后代入线段和的关系即可得证。
【解析】
证明：$\because AB⊥ AC$，$\therefore ∠ BAC=90°$，即$∠ DAB+∠ CAE=90^{\circ }$，
$\because CE⊥ l$，$\therefore ∠ ACE+∠ CAE=90^{\circ }$，
$\therefore ∠ DAB=∠ ACE$，
在$△ ABD$和$△ CAE$中,
$\begin{cases} ∠DAB=∠ACE,\\ ∠ADB=∠AEC=90^{\circ },\\ AB=AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ CAE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BD=AE,AD=CE$，
$\because DE=AD+AE$，
$\therefore DE=BD+CE$。
【答案】
$DE=BD+CE$
【知识点】
同角的余角相等；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是典型的三垂直全等模型考题，解题核心是通过直角的性质推导等角，结合已知等边证明三角形全等，再利用全等性质转化线段关系，熟练掌握该模型可快速解决同类线段和差证明问题。
【难度系数】
0.7
要证明$DE=BD+CE$，可先将长线段$DE$拆分为$AD+AE$，只需证明$BD=AE$、$AD=CE$即可。观察图形存在多个直角：首先由$AB⊥ AC$可得$∠ DAB$与$∠ CAE$互余，由$CE⊥ l$可得$∠ ACE$与$∠ CAE$互余，根据同角的余角相等可推出$∠ DAB=∠ ACE$；再结合$BD⊥ l$、$CE⊥ l$得到两个直角相等，加上已知$AB=AC$的条件，可用AAS证明$△ ABD$和$△ CAE$全等，利用全等三角形对应边相等得到$BD=AE$、$AD=CE$，最后代入线段和的关系即可得证。
【解析】
证明：$\because AB⊥ AC$，$\therefore ∠ BAC=90°$，即$∠ DAB+∠ CAE=90^{\circ }$，
$\because CE⊥ l$，$\therefore ∠ ACE+∠ CAE=90^{\circ }$，
$\therefore ∠ DAB=∠ ACE$，
在$△ ABD$和$△ CAE$中,
$\begin{cases} ∠DAB=∠ACE,\\ ∠ADB=∠AEC=90^{\circ },\\ AB=AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ CAE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BD=AE,AD=CE$，
$\because DE=AD+AE$，
$\therefore DE=BD+CE$。
【答案】
$DE=BD+CE$
【知识点】
同角的余角相等；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是典型的三垂直全等模型考题，解题核心是通过直角的性质推导等角，结合已知等边证明三角形全等，再利用全等性质转化线段关系，熟练掌握该模型可快速解决同类线段和差证明问题。
【难度系数】
0.7
【典例2】如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，$BE⊥ CE$于$E$，$AD⊥ CE$于$D$，$AD=7$，$BE=3$.求$△ BDE$的面积.
答案
解:$\because ∠CAD+∠ACD=90^{\circ },∠BCE+∠ACD=90^{\circ },$
$\therefore ∠CAD=∠BCE,$
在$△ ACD$和$△ CBE$中,$\begin{cases} ∠CAD=∠BCE,\\ ∠CDA=∠BEC=90^{\circ },\\ AC=BC, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ CBE(AAS),$
$\therefore CD=BE=3,CE=AD=7,$
$\therefore S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×4×3=6.$
$\therefore ∠CAD=∠BCE,$
在$△ ACD$和$△ CBE$中,$\begin{cases} ∠CAD=∠BCE,\\ ∠CDA=∠BEC=90^{\circ },\\ AC=BC, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ CBE(AAS),$
$\therefore CD=BE=3,CE=AD=7,$
$\therefore S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×4×3=6.$
解析
【分析】
本题属于三垂直全等模型的应用题型，解题思路如下：首先根据已知的多个直角，利用同角的余角相等推导得到一组相等的锐角；再结合等腰直角三角形的等边条件、两个直角相等，用AAS判定两个三角形全等；然后利用全等三角形对应边相等的性质，得到相关线段的长度，求出△BDE的底和高，最后用三角形面积公式计算结果。
【解析】
解：$\because ∠CAD+∠ACD=90^{\circ },∠BCE+∠ACD=90^{\circ },$
$\therefore ∠CAD=∠BCE,$
在$△ ACD$和$△ CBE$中,$\begin{cases} ∠CAD=∠BCE,\\ ∠CDA=∠BEC=90^{\circ },\\ AC=BC, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ CBE(AAS),$
$\therefore CD=BE=3,CE=AD=7,$
$\therefore DE=CE-CD=7-3=4$，
又$\because BE⊥CE$，即BE为△BDE中DE边上的高，
$\therefore S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×DE×BE=\frac{1}{2}×4×3=6$。
【答案】
$\boxed{6}$
【知识点】
1. 同角的余角相等；2. AAS证三角形全等；3. 三角形面积计算
【点评】
本题是三垂直全等模型的基础考法，解题关键是通过直角的互余关系找到相等的角，证明全等后得到对应线段长度，熟练掌握该模型可以快速解决同类几何计算、证明题。
【难度系数】
0.7
本题属于三垂直全等模型的应用题型，解题思路如下：首先根据已知的多个直角，利用同角的余角相等推导得到一组相等的锐角；再结合等腰直角三角形的等边条件、两个直角相等，用AAS判定两个三角形全等；然后利用全等三角形对应边相等的性质，得到相关线段的长度，求出△BDE的底和高，最后用三角形面积公式计算结果。
【解析】
解：$\because ∠CAD+∠ACD=90^{\circ },∠BCE+∠ACD=90^{\circ },$
$\therefore ∠CAD=∠BCE,$
在$△ ACD$和$△ CBE$中,$\begin{cases} ∠CAD=∠BCE,\\ ∠CDA=∠BEC=90^{\circ },\\ AC=BC, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ CBE(AAS),$
$\therefore CD=BE=3,CE=AD=7,$
$\therefore DE=CE-CD=7-3=4$，
又$\because BE⊥CE$，即BE为△BDE中DE边上的高，
$\therefore S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×DE×BE=\frac{1}{2}×4×3=6$。
【答案】
$\boxed{6}$
【知识点】
1. 同角的余角相等；2. AAS证三角形全等；3. 三角形面积计算
【点评】
本题是三垂直全等模型的基础考法，解题关键是通过直角的互余关系找到相等的角，证明全等后得到对应线段长度，熟练掌握该模型可以快速解决同类几何计算、证明题。
【难度系数】
0.7
变式.如图，AC⊥BC，AC＝BC，AM⊥CM，CM＝4，求△BCM 的面积.
答案
解:过 B 点作$BN⊥CM$于 N 点，
证$△ BCN≌ △ CAM(AAS),$
$\therefore BN=CM=4,$
$\therefore S_{△ BCM}=\frac{1}{2}×4×4=8.$
解析
【分析】
要求△BCM的面积，已知CM=4，可将CM作为三角形的底，只需再求出CM边上的高即可计算面积，因此考虑过点B作BN⊥CM于N，只需推导BN的长度即可。结合已知的垂直条件，可得∠CAM和∠BCN都是∠ACM的余角，根据同角的余角相等可推出∠CAM=∠BCN，再结合AC=BC、两组直角相等的条件，可通过AAS证明△CAM和△BCN全等，从而得到BN=CM=4，最后代入面积公式即可求解。
【解析】
解：过B点作$BN⊥CM$于N点，
∵$AC⊥BC$，$AM⊥CM$，
∴$∠ ACB=∠ M=∠ BNC=90°$，
∴$∠ CAM+∠ ACM=90°$，$∠ BCN+∠ ACM=90°$，
∴$∠ CAM=∠ BCN$，
在$△ CAM$和$△ BCN$中：
$\begin{cases}∠ M=∠ BNC \\∠ CAM=∠ BCN \\AC=BC\end{cases}$
∴$△ CAM≌△ BCN\mathrm{(AAS)}$，
∴$BN=CM=4$，
∴$S_{△ BCM}=\frac{1}{2}× CM× BN=\frac{1}{2}×4×4=8$。
【答案】
过 B 点作$BN⊥CM$于 N 点，
证$△ BCN≌ △ CAM(AAS),$
$\therefore BN=CM=4,$
$\therefore S_{△ BCM}=\frac{1}{2}×4×4=8.$
【知识点】
AAS证全等，三角形面积计算，三垂直全等模型
【点评】
本题是三垂直全等模型的典型应用，解题核心是通过作垂线构造全等三角形，利用角度互余关系推导等角，将未知的高转化为已知边长，体现了几何题中构造辅助线转化条件的常用思路。
【难度系数】
0.65
要求△BCM的面积，已知CM=4，可将CM作为三角形的底，只需再求出CM边上的高即可计算面积，因此考虑过点B作BN⊥CM于N，只需推导BN的长度即可。结合已知的垂直条件，可得∠CAM和∠BCN都是∠ACM的余角，根据同角的余角相等可推出∠CAM=∠BCN，再结合AC=BC、两组直角相等的条件，可通过AAS证明△CAM和△BCN全等，从而得到BN=CM=4，最后代入面积公式即可求解。
【解析】
解：过B点作$BN⊥CM$于N点，
∵$AC⊥BC$，$AM⊥CM$，
∴$∠ ACB=∠ M=∠ BNC=90°$，
∴$∠ CAM+∠ ACM=90°$，$∠ BCN+∠ ACM=90°$，
∴$∠ CAM=∠ BCN$，
在$△ CAM$和$△ BCN$中：
$\begin{cases}∠ M=∠ BNC \\∠ CAM=∠ BCN \\AC=BC\end{cases}$
∴$△ CAM≌△ BCN\mathrm{(AAS)}$，
∴$BN=CM=4$，
∴$S_{△ BCM}=\frac{1}{2}× CM× BN=\frac{1}{2}×4×4=8$。
【答案】
过 B 点作$BN⊥CM$于 N 点，
证$△ BCN≌ △ CAM(AAS),$
$\therefore BN=CM=4,$
$\therefore S_{△ BCM}=\frac{1}{2}×4×4=8.$
【知识点】
AAS证全等，三角形面积计算，三垂直全等模型
【点评】
本题是三垂直全等模型的典型应用，解题核心是通过作垂线构造全等三角形，利用角度互余关系推导等角，将未知的高转化为已知边长，体现了几何题中构造辅助线转化条件的常用思路。
【难度系数】
0.65
【典例3】如图，CA＝CB，CA⊥CB，CE＝EF，CE⊥EF，连接BF交CE于M点，求证：BM＝FM.
答案
证明:过 B 点作$BH⊥CE$于 H 点，
在$△ BCH$和$△ CAE$中，
$\begin{cases} ∠CBH=∠ACE,\\ ∠BHC=∠E,\\ BC=CA, \end{cases}$
$\therefore △ BCH≌ △ CAE(AAS),$
$\therefore BH=CE=EF,$
在$△ BMH$和$△ FME$中,$\begin{cases} ∠BHM=∠E,\\ ∠BMH=∠EMF,\\ BH=EF, \end{cases}$
$\therefore △ BMH≌ △ FME(AAS),\therefore BM=FM.$
解析
【分析】
要证明BM=FM，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导结论。首先构造全等的直角三角形：过点B作BH⊥CE于H，此时可得∠BHM=∠E=90°，且对顶角∠BMH=∠FME，只需再证明一组边BH=EF即可。结合已知CA=CB、CA⊥CB、CE⊥EF的条件，可先利用三垂直模型证明△BCH≌△CAE，得到BH=CE，再结合CE=EF的条件，即可得到BH=EF，进而证明△BMH≌△FME，最终得到BM=FM。
【解析】
证明：过 B 点作$BH⊥CE$于 H 点，
在$△ BCH$和$△ CAE$中，
$\begin{cases} ∠CBH=∠ACE,\\ ∠BHC=∠E,\\ BC=CA, \end{cases}$
$\therefore △ BCH≌ △ CAE(AAS),$
$\therefore BH=CE=EF,$
在$△ BMH$和$△ FME$中,
$\begin{cases} ∠BHM=∠E,\\ ∠BMH=∠EMF,\\ BH=EF, \end{cases}$
$\therefore △ BMH≌ △ FME(AAS),\therefore BM=FM.$
【答案】
证明:过 B 点作$BH⊥CE$于 H 点，
在$△ BCH$和$△ CAE$中，
$\begin{cases} ∠CBH=∠ACE,\\ ∠BHC=∠E,\\ BC=CA, \end{cases}$
$\therefore △ BCH≌ △ CAE(AAS),$
$\therefore BH=CE=EF,$
在$△ BMH$和$△ FME$中,$\begin{cases} ∠BHM=∠E,\\ ∠BMH=∠EMF,\\ BH=EF, \end{cases}$
$\therefore △ BMH≌ △ FME(AAS),\therefore BM=FM.$
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）、三垂直全等模型、全等三角形的性质
【点评】
本题是三垂直全等模型的典型应用，解题的关键是结合已知的垂直、等线段条件，合理作垂线构造全等三角形，通过两次全等证明推导出待证线段相等，对辅助线构造能力和全等判定的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要证明BM=FM，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导结论。首先构造全等的直角三角形：过点B作BH⊥CE于H，此时可得∠BHM=∠E=90°，且对顶角∠BMH=∠FME，只需再证明一组边BH=EF即可。结合已知CA=CB、CA⊥CB、CE⊥EF的条件，可先利用三垂直模型证明△BCH≌△CAE，得到BH=CE，再结合CE=EF的条件，即可得到BH=EF，进而证明△BMH≌△FME，最终得到BM=FM。
【解析】
证明：过 B 点作$BH⊥CE$于 H 点，
在$△ BCH$和$△ CAE$中，
$\begin{cases} ∠CBH=∠ACE,\\ ∠BHC=∠E,\\ BC=CA, \end{cases}$
$\therefore △ BCH≌ △ CAE(AAS),$
$\therefore BH=CE=EF,$
在$△ BMH$和$△ FME$中,
$\begin{cases} ∠BHM=∠E,\\ ∠BMH=∠EMF,\\ BH=EF, \end{cases}$
$\therefore △ BMH≌ △ FME(AAS),\therefore BM=FM.$
【答案】
证明:过 B 点作$BH⊥CE$于 H 点，
在$△ BCH$和$△ CAE$中，
$\begin{cases} ∠CBH=∠ACE,\\ ∠BHC=∠E,\\ BC=CA, \end{cases}$
$\therefore △ BCH≌ △ CAE(AAS),$
$\therefore BH=CE=EF,$
在$△ BMH$和$△ FME$中,$\begin{cases} ∠BHM=∠E,\\ ∠BMH=∠EMF,\\ BH=EF, \end{cases}$
$\therefore △ BMH≌ △ FME(AAS),\therefore BM=FM.$
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）、三垂直全等模型、全等三角形的性质
【点评】
本题是三垂直全等模型的典型应用，解题的关键是结合已知的垂直、等线段条件，合理作垂线构造全等三角形，通过两次全等证明推导出待证线段相等，对辅助线构造能力和全等判定的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
