【典例1】如图，$△ ACB$为等腰直角三角形，$AC=BC$，$AC⊥ BC$，$A(0,3)$，$C(1,0)$。求点B的坐标。

过点B作BE⊥x轴于点E，
∴△AOC≌△CEB，
∴BE=OC=1，
CE=AO=3，
∴B(4,1)。

【分析】
要求点B的坐标，在平面直角坐标系中通常过点向坐标轴作垂线，将坐标问题转化为求线段长度的问题。已知△ACB是等腰直角三角形，∠ACB=90°，x轴上已有∠AOC=90°，我们过B作BE⊥x轴得到第三个直角∠CEB=90°，构成“一线三等角”模型。接下来利用同角的余角相等推导角相等，结合已知AC=BC，即可证明△AOC和△CEB全等，再根据A、C的坐标得到对应线段长度，最终推出点B的坐标。
【解析】
解：过点B作BE⊥x轴于点E，
∴∠AOC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠OAC + ∠ACO = 90°，∠BCE + ∠ACO = 90°，
∴∠OAC = ∠BCE。
在△AOC和△CEB中：
$\{\begin{array}{l}∠AOC=∠CEB \\∠OAC=∠BCE \\AC=CB\end{array} $
∴△AOC≌△CEB（AAS），
∵A(0,3)，C(1,0)，
∴OA=3，OC=1，
由全等三角形对应边相等得：BE=OC=1，CE=AO=3，
∴OE=OC+CE=1+3=4，
∵点B在第一象限，
∴点B的坐标为(4,1)。
【答案】
过点B作BE⊥x轴于点E，
∴△AOC≌△CEB，
∴BE=OC=1，
CE=AO=3，
∴B(4,1)。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰直角三角形的性质
3. 坐标与图形性质
【点评】
本题是全等三角形与坐标系结合的常见考法，核心是通过“一线三等角”模型构造全等三角形，实现点的坐标和线段长度的互相转化，熟练掌握全等判定方法和特殊三角形性质可快速求解。
【难度系数】
0.7

变式.如图,在平面直角坐标系中,A(0,4),C(-1,0),AC=BA,AC⊥BA,求点B坐标.

过点B作BM⊥AO交y轴于点M，
∴△AOC≌△BMA，
∴BM=AO=4,AM=OC=1，
∴B(4,3)。

【分析】
本题是坐标系中的全等求解问题，解题思路如下：首先观察已知条件有AC⊥BA、AC=BA，结合坐标系自带的直角特征，想到构造“一线三垂直”全等模型求解：过点B作y轴的垂线，即可得到两个含直角的三角形，再利用同角的余角相等推导得到一组等角，结合已知的等边，就能证明两个三角形全等，最后利用全等三角形对应边相等计算出点B到坐标轴的距离，即可得到B的坐标。
【解析】
解：过点B作BM⊥AO交y轴于点M，
∴∠AMB=∠COA=90°，
∵AC⊥BA，
∴∠CAB=90°，
∴∠OAC+∠MAB=90°，
又
∵在Rt△AOC中，∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠ACO=∠MAB，
在△AOC和△BMA中：
$\{\begin{array}{l}∠ COA=∠ AMB\\ ∠ ACO=∠ BAM\\ AC=BA\end{array} $
∴△AOC≌△BMA（AAS），
∴对应边相等：BM=AO，AM=OC，
∵A(0,4)，C(-1,0)，
∴AO=4，OC=1，
∴BM=4，AM=1，
∴OM=AO-AM=4-1=3，
∵点B在第一象限，横坐标为BM的长度，纵坐标为OM的长度，
∴B的坐标为(4,3)。
【答案】
过点B作BM⊥AO交y轴于点M，
∴△AOC≌△BMA，
∴BM=AO=4,AM=OC=1，
∴B(4,3)。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，一线三垂直全等模型，平面直角坐标系坐标
【点评】
本题是坐标系中全等应用的典型习题，核心突破口是通过作垂线构造一线三垂直的全等结构，利用同角的余角相等得到等角后证明全等，再结合全等的性质推导线段长度，最终得到点的坐标，熟练掌握该模型可大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7

【典例2】如图,在平面直角坐标系中,A(-1,0),C(1,3),AC=BC且AC⊥BC,求点B坐标.

过点C作直线l//x轴,过点A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为D,E，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴BE=CD=2，
CE=AD=3，
∴B(4,1)。

【分析】
要求点B的坐标，已知AC⊥BC且AC=BC，可通过构造“一线三等角”全等模型求解：首先过点C作平行于x轴的直线，再分别过A、B向该直线作垂线，得到两个直角三角形，利用同角的余角相等推出一组角相等，结合直角和AC=BC的条件证明两个三角形全等，再根据全等三角形对应边相等，结合已知点的坐标计算线段长度，最终推导出点B的坐标。
【解析】
解：过点C作直线$l// x$轴，过点A,B分别作直线$l$的垂线，垂足分别为D,E，
$\therefore ∠ D=∠ E=90°$，
$\because AC⊥ BC$，$\therefore ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ BCE=90°$，
又$\because ∠ ACD+∠ CAD=90°$，
$\therefore ∠ CAD=∠ BCE$，
在$△ ADC$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ D=∠ E \\∠ CAD=∠ BCE \\AC=BC\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS})$，
由$A(-1,0)$，$C(1,3)$可得：
$CD=1-(-1)=2$，$AD=3-0=3$，
$\therefore BE=CD=2$，$CE=AD=3$，
$\because$点E的横坐标为$1+3=4$，纵坐标和点C相同为3，BE垂直于$l$，方向向下，
$\therefore$点B的纵坐标为$3-2=1$，
$\therefore B(4,1)$。
【答案】
过点C作直线l//x轴,过点A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为D,E，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴BE=CD=2，
CE=AD=3，
∴B(4,1)。
【知识点】
一线三等角全等模型、全等三角形的判定与性质、平面直角坐标系点坐标计算
【点评】
本题是坐标系中构造全等求点坐标的典型习题，核心是利用“一线三等角”模型构造辅助线证明全等，将几何线段的长度关系转化为坐标的数量关系，掌握该辅助线构造方法能快速解决同类坐标系几何问题。
【难度系数】
0.6

变式2.如图,在平面直角坐标系中,C(0,−1),B(−4,0),AB=AC,且AB⊥AC,求点A坐标.

过A作AE⊥x轴于E,过A作AF⊥y轴于F，
∴△ABE≌△ACF，
∴AE=AF,BE=CF，
设AE=AF=m，
4−m=m+1，
∴m=3/2,
∴A(-3/2, 3/2)。

【分析】
看到题目中有AB=AC且AB⊥AC，要求平面直角坐标系中点A的坐标，可考虑构造全等三角形转化边的关系：首先过点A分别向x轴、y轴作垂线，得到两个直角三角形；结合∠BAC为直角，可推导两个三角形的对应锐角相等，结合已知的AB=AC即可证明两个三角形全等，得到对应边相等；再设A到两坐标轴的距离为m，用B、C的坐标表示出全等三角形的对应边长度，列方程求解m即可得到点A的坐标。
【解析】
解：过点A作AE⊥x轴于点E，AF⊥y轴于点F，
则$∠ AEB=∠ AFC=90°$。
∵x轴⊥y轴，即$∠ EOF=90°$，
∴四边形AEOF是矩形，$∠ EAF=90°$，
∴$∠ CAF+∠ EAC=90°$。
又
∵AB⊥AC，即$∠ BAC=90°$，
∴$∠ BAE+∠ EAC=90°$，
∴$∠ BAE=∠ CAF$。
在$△ ABE$和$△ ACF$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ AFC \\∠ BAE=∠ CAF \\AB=AC\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ ACF$（AAS），
∴$AE=AF$，$BE=CF$。
设$AE=AF=m$，点A在第二象限，则A的坐标为$(-m,m)$，点E坐标为$(-m,0)$，点F坐标为$(0,m)$。
∵B$(-4,0)$，C$(0,-1)$，
∴$BE=(-m)-(-4)=4-m$，$CF=m-(-1)=m+1$。
由$BE=CF$列方程：
$4-m=m+1$
解得$m=\frac{3}{2}$，
∴点A的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{3}{2})$。
【答案】
A$(-\frac{3}{2},\frac{3}{2})$
【知识点】
全等三角形判定与性质、平面直角坐标系、一线三等角模型
【点评】
本题是坐标系中几何计算的典型题型，通过构造垂线得到“一线三等角”全等模型，将几何边的等量关系转化为坐标相关的长度关系，结合一元一次方程求解坐标，解题核心是准确构造全等三角形，找准对应边的等量关系。
【难度系数】
0.6

C(-1,-1),且AC=BC,∠ACB=90°,求点B坐标.

过点C作直线l//y轴,过点A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为E,F
∴△AEC≌△CFB(AAS)，
∴BF=CE=3，
AE=CF=1，
∴B(2,-2)。

【分析】
本题是坐标系下的等腰直角三角形求坐标问题，可利用“一线三等角”全等模型求解：首先过直角顶点C作平行于y轴的直线作为公共边所在直线，再分别过A、B作该直线的垂线构造出两个直角三角形；接着利用同角的余角相等得到一组对应角相等，结合已知的AC=BC和两个直角，用AAS证明两三角形全等；最后根据全等三角形对应边相等，结合点C的坐标计算出点B的横、纵坐标即可。
【解析】
解：过点C作直线$l// y$轴，过点A、B分别作直线$l$的垂线，垂足分别为E、F，
$\therefore ∠ E=∠ F=90°$。
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACE + ∠ BCF=90°$，
又$\because ∠ ACE + ∠ CAE=90°$，
$\therefore ∠ CAE=∠ BCF$。
在$△ AEC$和$△ CFB$中：
$\begin{cases}∠ E=∠ F \\∠ CAE=∠ BCF \\AC=BC\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ CFB(\mathrm{AAS})$。
根据点C坐标为$(-1,-1)$，直线$l$为$x=-1$，可得$AE=1$，$CE=3$，
由全等性质得：$BF=CE=3$，$CF=AE=1$，
因此点B的横坐标为$-1+3=2$，纵坐标为$-1-1=-2$，即$B(2,-2)$。
【答案】
过点C作直线l//y轴,过点A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为E,F
∴△AEC≌△CFB(AAS)，
∴BF=CE=3，
AE=CF=1，
∴B(2,-2)。
【知识点】
一线三等角全等模型，全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系坐标计算
【点评】
本题是坐标系中等腰直角三角形与全等结合的典型题型，解题关键是掌握“一线三等角”辅助线的构造方法，通过全等将边的关系转化为坐标的数量关系，这类题型是全等章节的常考题型。
【难度系数】
0.6

变式3.如图，△ABC在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AC的中点，点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标为。

由“X”型全等易知C(-1,-2)，
过点C作直线l//x轴,分别过点A,B作直线l的垂线,垂足分别为F,E，
∴△BCE≌△CAF,
∴CE=AF=4，
∴OB=4+1=5,
∴B(-5,0)。

【分析】
首先根据O是AC的中点且O为坐标原点，可得点A和点C关于原点对称，结合A的坐标可直接求出点C的坐标；已知∠ACB=90°且AC=BC，符合“一线三等角”全等模型的使用条件，我们过C作平行于x轴的直线，再分别过A、B作该直线的垂线，即可构造出一组全等的直角三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，结合已知点的坐标就能求出点B的坐标。
【解析】
解：
∵O是AC的中点，且O为坐标原点(0,0)，点A的坐标为(1,2)，
∴点C与点A关于原点对称，即C(-1,-2)。
过点C作直线$l// x$轴，分别过点A、B作直线$l$的垂线，垂足分别为F、E，
∴$∠ E=∠ AFC=90°$。
∵$∠ ACB=90°$，
∴$∠ BCE + ∠ ACF = 90°$，
又
∵$∠ CAF + ∠ ACF = 90°$，
∴$∠ BCE = ∠ CAF$。
在$△ BCE$和$△ CAF$中：
$\begin{cases}∠ E=∠ AFC \\∠ BCE=∠ CAF \\BC=AC\end{cases}$
∴$△ BCE≌△ CAF$（AAS）。
∴$CE=AF$，
∵AF为A、F两点的纵坐标之差，即$AF=2-(-2)=4$，
∴$CE=4$。
∵点B在x轴上，E点横坐标与B点横坐标相同，点C的横坐标为-1，
∴B点的横坐标为$-1-4=-5$，纵坐标为0，
即点B的坐标为(-5,0)。

【答案】
(-5,0)
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；一线三等角全等模型；全等三角形的性质
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查全等三角形的判定与性质，先利用中点性质确定点C的坐标是解题的前提，构造“一线三等角”全等模型转化线段长度是解题的关键，能较好地锻炼几何构造能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6