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【典例1】如图1，DE的长为
变式.如图2，DE的长为
7
.变式.如图2，DE的长为
3
.答案
【典例1】7
解:
∵△ACD≌△CBE，
CE=AD=2，
CD=BE=5，
∴DE=CD+CE=7.
变式 3
解:△CAD≌△BCE，
∴CE=AD=2，
CD=BE=5，
∴DE=CD-CE=3.
解析
【分析】
这两道题均为三垂直全等模型的典型应用，解题思路如下：1、先识别图形特征：两个图形均有共顶点的直角∠ACB，且直线l上存在AD⊥l、BE⊥l两个垂直关系，可通过“同角的余角相等”推导两个直角三角形的对应锐角相等，结合边相等的条件证明三角形全等；2、判断DE的构成：典例1中直线l在△ABC外侧，DE为CD、CE两条线段的和；变式中直线l穿过△ABC内部，DE为CD、CE两条线段的差；3、利用全等三角形对应边相等的性质，代入对应边长计算即可得到DE的长度。
【解析】
典例1
已知∠ACB=90°，AD⊥直线l，BE⊥直线l，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠CBE。
在△ACD和△CBE中：
$\begin{cases}∠ADC=∠CEB \\∠ACD=∠CBE \\AC=CB\end{cases}$
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CE=AD=2，CD=BE=5，
∴DE=CD+CE=5+2=7。
变式
已知∠ACB=90°，AD⊥直线l，BE⊥直线l，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠CBE。
在△CAD和△BCE中：
$\begin{cases}∠ADC=∠CEB \\∠ACD=∠CBE \\AC=CB\end{cases}$
∴△CAD≌△BCE（AAS），
∴CE=AD=2，CD=BE=5，
∴DE=CD-CE=5-2=3。
【答案】
典例1：7
变式：3
【知识点】
三垂直全等模型，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的经典模型应用题，解题核心是先通过角度推导证明三角形全等，再根据直线与三角形的位置关系区分线段的和差计算，熟练掌握三垂直模型的特征可以快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.7
这两道题均为三垂直全等模型的典型应用，解题思路如下：1、先识别图形特征：两个图形均有共顶点的直角∠ACB，且直线l上存在AD⊥l、BE⊥l两个垂直关系，可通过“同角的余角相等”推导两个直角三角形的对应锐角相等，结合边相等的条件证明三角形全等；2、判断DE的构成：典例1中直线l在△ABC外侧，DE为CD、CE两条线段的和；变式中直线l穿过△ABC内部，DE为CD、CE两条线段的差；3、利用全等三角形对应边相等的性质，代入对应边长计算即可得到DE的长度。
【解析】
典例1
已知∠ACB=90°，AD⊥直线l，BE⊥直线l，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠CBE。
在△ACD和△CBE中：
$\begin{cases}∠ADC=∠CEB \\∠ACD=∠CBE \\AC=CB\end{cases}$
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CE=AD=2，CD=BE=5，
∴DE=CD+CE=5+2=7。
变式
已知∠ACB=90°，AD⊥直线l，BE⊥直线l，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠CBE。
在△CAD和△BCE中：
$\begin{cases}∠ADC=∠CEB \\∠ACD=∠CBE \\AC=CB\end{cases}$
∴△CAD≌△BCE（AAS），
∴CE=AD=2，CD=BE=5，
∴DE=CD-CE=5-2=3。
【答案】
典例1：7
变式：3
【知识点】
三垂直全等模型，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的经典模型应用题，解题核心是先通过角度推导证明三角形全等，再根据直线与三角形的位置关系区分线段的和差计算，熟练掌握三垂直模型的特征可以快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.7
【典例2】如图，在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$AC=2$，过点$A$作$AD⊥ AB$，且$AD=AB$，则$△ ACD$的面积为
2
。答案
【典例2】2
解:过点D作DM⊥AC交CA的延长线于点M，
∵∠DAM+∠BAC=90°，
而∠B+∠BAC=90°，
∴∠DAM=∠B,
∴△ABC≌△DAM(AAS)，
∴DM=AC=2,
∴S△ACD=$\frac{1}{2}×2×2=2$.
解析
【分析】
要求△ACD的面积，已知底AC=2，只需要找到AC边上的高即可求解。观察已知条件：∠ACB=∠BAD=90°，AB=AD，可通过构造“三垂直”模型证明三角形全等得到高的长度：过点D作DM垂直于CA的延长线，利用同角的余角相等得到∠DAM=∠B，结合直角条件和AB=AD证明△ABC≌△DAM，即可得到高DM的长度，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
解：过点D作DM⊥AC，交CA的延长线于点M，
∵∠BAD=90°，
∴∠DAM+∠BAC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∴∠DAM=∠B，
在△ABC和△DAM中：
$\{\begin{array}{l}∠ACB=∠M=90° \\∠B=∠DAM \\AB=AD\end{array} $
∴△ABC≌△DAM（AAS），
∴DM=AC=2，
∴$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DM=\frac{1}{2}×2×2=2$。
【答案】
2
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算，三垂直全等模型
【点评】
本题是全等三角形在面积计算中的典型应用，核心思路是通过构造辅助线建立三垂直全等模型，将未知的高线转化为已知线段，解题的关键是利用角度互余推导等角，进而证明三角形全等，对辅助线构造的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要求△ACD的面积，已知底AC=2，只需要找到AC边上的高即可求解。观察已知条件：∠ACB=∠BAD=90°，AB=AD，可通过构造“三垂直”模型证明三角形全等得到高的长度：过点D作DM垂直于CA的延长线，利用同角的余角相等得到∠DAM=∠B，结合直角条件和AB=AD证明△ABC≌△DAM，即可得到高DM的长度，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
解：过点D作DM⊥AC，交CA的延长线于点M，
∵∠BAD=90°，
∴∠DAM+∠BAC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∴∠DAM=∠B，
在△ABC和△DAM中：
$\{\begin{array}{l}∠ACB=∠M=90° \\∠B=∠DAM \\AB=AD\end{array} $
∴△ABC≌△DAM（AAS），
∴DM=AC=2，
∴$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DM=\frac{1}{2}×2×2=2$。
【答案】
2
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算，三垂直全等模型
【点评】
本题是全等三角形在面积计算中的典型应用，核心思路是通过构造辅助线建立三垂直全等模型，将未知的高线转化为已知线段，解题的关键是利用角度互余推导等角，进而证明三角形全等，对辅助线构造的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
求面积
变式.如图,在平面直角坐标系中C(5,0),D(3,m),DA⊥y轴于点A,BD⊥CD,且BD=CD,点B在第一象限,则△ADB的面积为
变式.如图,在平面直角坐标系中C(5,0),D(3,m),DA⊥y轴于点A,BD⊥CD,且BD=CD,点B在第一象限,则△ADB的面积为
3
.答案
变式 3
解:过点B,C分别作BN⊥AD，CM⊥AD交直线AD于点N,M，
∴△BDN≌△DCM，
∴BN=DM=2，
∴S△ADB=$\frac{1}{2}×3×2=3$.
解析
【分析】
本题出现了共点等长（BD=CD）且互相垂直的条件，可考虑构造三垂直全等模型求解。首先根据坐标特征可直接得到AD的长度，要求△ADB的面积，只需求出AD边上的高（点B到直线AD的距离）；通过作BN⊥AD、CM⊥AD构造直角三角形，利用同角的余角相等推出对应角相等，结合BD=CD证明两个直角三角形全等，即可将待求的高转化为可通过坐标计算的线段DM，最后代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
过点B作BN⊥AD，交AD的延长线于点N，过点C作CM⊥AD，交AD的延长线于点M，则∠N=∠DMC=90°。
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∴∠BDN+∠CDM=90°，
又
∵∠CDM+∠DCM=90°，
∴∠BDN=∠DCM。
在△BDN和△DCM中：
$\{\begin{array}{l}∠ N=∠ DMC\\ ∠ BDN=∠ DCM\\ BD=CD\end{array} $
∴△BDN≌△DCM（AAS），
∴BN=DM。
∵DA⊥y轴，D(3,m)，C(5,0)，
∴点A坐标为(0,m)，AD=3，点M的横坐标为5、纵坐标为m，
∴DM=5-3=2，
∴BN=2，
∴$S_{△ ADB}=\frac{1}{2}× AD× BN=\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
3
【知识点】
1.三垂直全等模型 2.全等三角形的判定与性质 3.坐标系线段长度计算
【点评】
本题是坐标系结合全等三角形的典型面积计算题，核心是通过构造三垂直全等模型，将未知的高转化为可通过坐标计算的线段，这类辅助线构造方法是解决直角共点等长类几何问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
本题出现了共点等长（BD=CD）且互相垂直的条件，可考虑构造三垂直全等模型求解。首先根据坐标特征可直接得到AD的长度，要求△ADB的面积，只需求出AD边上的高（点B到直线AD的距离）；通过作BN⊥AD、CM⊥AD构造直角三角形，利用同角的余角相等推出对应角相等，结合BD=CD证明两个直角三角形全等，即可将待求的高转化为可通过坐标计算的线段DM，最后代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
过点B作BN⊥AD，交AD的延长线于点N，过点C作CM⊥AD，交AD的延长线于点M，则∠N=∠DMC=90°。
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∴∠BDN+∠CDM=90°，
又
∵∠CDM+∠DCM=90°，
∴∠BDN=∠DCM。
在△BDN和△DCM中：
$\{\begin{array}{l}∠ N=∠ DMC\\ ∠ BDN=∠ DCM\\ BD=CD\end{array} $
∴△BDN≌△DCM（AAS），
∴BN=DM。
∵DA⊥y轴，D(3,m)，C(5,0)，
∴点A坐标为(0,m)，AD=3，点M的横坐标为5、纵坐标为m，
∴DM=5-3=2，
∴BN=2，
∴$S_{△ ADB}=\frac{1}{2}× AD× BN=\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
3
【知识点】
1.三垂直全等模型 2.全等三角形的判定与性质 3.坐标系线段长度计算
【点评】
本题是坐标系结合全等三角形的典型面积计算题，核心是通过构造三垂直全等模型，将未知的高转化为可通过坐标计算的线段，这类辅助线构造方法是解决直角共点等长类几何问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
【典例 3】如图，$AB=AC$，$AB⊥ AC$，$AE=EF$，$CE⊥ AE$，点 $F$ 在 $CE$ 上，连接 $BF$ 交 $AE$ 延长线于 $M$ 点.若 $AE=4ME$，则 $\frac{CF}{EF}$ 的值为 
变式.已知 $A(6,0)$，点 $B$ 为 $y$ 轴负半轴上一个动点，分别以 $OB$，$AB$ 为直角边，$B$ 为直角顶点，在第三、四象限作等腰直角 $△ OBF$，$△ ABE$，连 $EF$ 交 $y$ 轴于点 $P$，则 $PB$ 的长度为
$\frac{1}{2}$
. 变式.已知 $A(6,0)$，点 $B$ 为 $y$ 轴负半轴上一个动点，分别以 $OB$，$AB$ 为直角边，$B$ 为直角顶点，在第三、四象限作等腰直角 $△ OBF$，$△ ABE$，连 $EF$ 交 $y$ 轴于点 $P$，则 $PB$ 的长度为
3
. 答案
【典例3】$\frac{1}{2}$
解:作BN⊥AM交直线AM于N点.
设ME=1,AE=4，
∵△AEC≌△BNA，
∴BN=AE=EF，
∴△BNM≌△FEM，
∴NM=ME=1,AN=CE=6，
CF=2,
∴$\frac{CF}{EF}=\frac{1}{2}$.
变式 3
解:过点E作EM⊥y轴于点M，
∴△AOB≌△BME，
∴BM=AO=6，
ME=OB=BF，
∴△MEP≌△BFP，
∴BP=PM=3.
解析
【分析】
典例3思路：
题目存在AB⊥AC、CE⊥AE多个垂直条件，符合三垂直全等模型特征，首先作BN⊥AM构造全等所需的直角：①先证△AEC≌△BNA，得到CE=AN、BN=AE，结合已知AE=EF可得BN=EF；②再证△BNM≌△FEM，得到NM=ME，结合AE=4ME的比例关系设参数计算CE、EF的长度，即可求出$\frac{CF}{EF}$的比值。
变式思路：
题目有两个以B为直角顶点的等腰直角三角形，同样适用三垂直模型求解，过E作EM⊥y轴构造直角：①先证△AOB≌△BME，得到BM=AO、ME=OB；②结合等腰直角△OBF的性质得OB=BF，因此ME=BF，再证△MEP≌△BFP，得到BP=PM，即BP为BM的一半，代入AO的长度即可求出PB。
【解析】
典例3：
作BN⊥AM，交AM的延长线于点N。
设$ME=1$，由$AE=4ME$得$AE=4$，因此$EF=AE=4$。
$\because AB⊥ AC$，$\therefore ∠ BAC=90°$，可得$∠ CAE+∠ BAN=90°$。
又$\because CE⊥ AE$，$BN⊥ AM$，$\therefore ∠ AEC=∠ N=90°$，可得$∠ ACE+∠ CAE=90°$，因此$∠ ACE=∠ BAN$。
在$△ AEC$和$△ BNA$中：
$\begin{cases}∠ AEC=∠ N \\∠ ACE=∠ BAN \\AC=AB\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ BNA(\mathrm{AAS})$，得$BN=AE=4$，$AN=CE$。
$\because BN=EF=4$，在$△ BNM$和$△ FEM$中：
$\begin{cases}∠ N=∠ FEM=90° \\∠ BMN=∠ FME \\BN=EF\end{cases}$
$\therefore △ BNM≌△ FEM(\mathrm{AAS})$，得$NM=ME=1$。
$\therefore AN=AE+ME+NM=4+1+1=6$，即$CE=6$。
$\therefore CF=CE-EF=6-4=2$，则$\frac{CF}{EF}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
变式：
过点E作$EM⊥ y$轴于点M，因此$∠ EMB=∠ AOB=90°$。
$\because △ ABE$是等腰直角三角形，B为直角顶点，$\therefore AB=BE$，$∠ ABE=90°$，可得$∠ ABO+∠ EBM=90°$。
又$\because ∠ ABO+∠ OAB=90°$，$\therefore ∠ OAB=∠ EBM$。
在$△ AOB$和$△ BME$中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ BME \\∠ OAB=∠ MBE \\AB=BE\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ BME(\mathrm{AAS})$，得$BM=AO=6$，$ME=OB$。
$\because △ OBF$是等腰直角三角形，B为直角顶点，$\therefore OB=BF$，因此$ME=BF$。
在$△ BFP$和$△ MEP$中：
$\begin{cases}∠ FBP=∠ EMP=90° \\∠ FPB=∠ EPM \\BF=ME\end{cases}$
$\therefore △ BFP≌△ MEP(\mathrm{AAS})$，得$BP=PM$。
$\therefore BP=\frac{1}{2}BM=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
典例3：$\frac{1}{2}$
变式：3
【知识点】
三垂直全等模型，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质
【点评】
两道题均考查三垂直全等模型的应用，核心是通过作垂线构造全等直角三角形，将已知边的关系转化为所求线段的关系，设参数法和等量代换是解题的常用技巧，熟练掌握全等判定定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.6
典例3思路：
题目存在AB⊥AC、CE⊥AE多个垂直条件，符合三垂直全等模型特征，首先作BN⊥AM构造全等所需的直角：①先证△AEC≌△BNA，得到CE=AN、BN=AE，结合已知AE=EF可得BN=EF；②再证△BNM≌△FEM，得到NM=ME，结合AE=4ME的比例关系设参数计算CE、EF的长度，即可求出$\frac{CF}{EF}$的比值。
变式思路：
题目有两个以B为直角顶点的等腰直角三角形，同样适用三垂直模型求解，过E作EM⊥y轴构造直角：①先证△AOB≌△BME，得到BM=AO、ME=OB；②结合等腰直角△OBF的性质得OB=BF，因此ME=BF，再证△MEP≌△BFP，得到BP=PM，即BP为BM的一半，代入AO的长度即可求出PB。
【解析】
典例3：
作BN⊥AM，交AM的延长线于点N。
设$ME=1$，由$AE=4ME$得$AE=4$，因此$EF=AE=4$。
$\because AB⊥ AC$，$\therefore ∠ BAC=90°$，可得$∠ CAE+∠ BAN=90°$。
又$\because CE⊥ AE$，$BN⊥ AM$，$\therefore ∠ AEC=∠ N=90°$，可得$∠ ACE+∠ CAE=90°$，因此$∠ ACE=∠ BAN$。
在$△ AEC$和$△ BNA$中：
$\begin{cases}∠ AEC=∠ N \\∠ ACE=∠ BAN \\AC=AB\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ BNA(\mathrm{AAS})$，得$BN=AE=4$，$AN=CE$。
$\because BN=EF=4$，在$△ BNM$和$△ FEM$中：
$\begin{cases}∠ N=∠ FEM=90° \\∠ BMN=∠ FME \\BN=EF\end{cases}$
$\therefore △ BNM≌△ FEM(\mathrm{AAS})$，得$NM=ME=1$。
$\therefore AN=AE+ME+NM=4+1+1=6$，即$CE=6$。
$\therefore CF=CE-EF=6-4=2$，则$\frac{CF}{EF}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
变式：
过点E作$EM⊥ y$轴于点M，因此$∠ EMB=∠ AOB=90°$。
$\because △ ABE$是等腰直角三角形，B为直角顶点，$\therefore AB=BE$，$∠ ABE=90°$，可得$∠ ABO+∠ EBM=90°$。
又$\because ∠ ABO+∠ OAB=90°$，$\therefore ∠ OAB=∠ EBM$。
在$△ AOB$和$△ BME$中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ BME \\∠ OAB=∠ MBE \\AB=BE\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ BME(\mathrm{AAS})$，得$BM=AO=6$，$ME=OB$。
$\because △ OBF$是等腰直角三角形，B为直角顶点，$\therefore OB=BF$，因此$ME=BF$。
在$△ BFP$和$△ MEP$中：
$\begin{cases}∠ FBP=∠ EMP=90° \\∠ FPB=∠ EPM \\BF=ME\end{cases}$
$\therefore △ BFP≌△ MEP(\mathrm{AAS})$，得$BP=PM$。
$\therefore BP=\frac{1}{2}BM=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
典例3：$\frac{1}{2}$
变式：3
【知识点】
三垂直全等模型，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质
【点评】
两道题均考查三垂直全等模型的应用，核心是通过作垂线构造全等直角三角形，将已知边的关系转化为所求线段的关系，设参数法和等量代换是解题的常用技巧，熟练掌握全等判定定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.6
